2021年北京市順義區(qū)高考數(shù)學(xué)第二次統(tǒng)練試卷(二模)-(解析版)

2021年北京市順義區(qū)高考數(shù)學(xué)第二次統(tǒng)練試卷（二模）一、選擇題（共10小題）.1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，則A∪B＝（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（i+2）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在的展開式中，x3的系數(shù)為（）A． B． C．﹣40 D．404．已知a，b∈R，且a＞b，則下列不等式恒成立的是（）A．2a＜2b B． C．a(chǎn)3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）5．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是（）A． B．1 C． D．26．已知函數(shù)f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，則不等式f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）7．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1℃，空氣的溫度是θ0℃．那么tmin后物體的溫度θ（單位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù)．現(xiàn)有46℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是38℃，則k的值約為（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.898．已知圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1經(jīng)過原點(diǎn)，則圓上的點(diǎn)到直線y＝x+2距離的最大值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f（x）＝sinx，x∈[a，b]，則“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．設(shè)函數(shù)f（x）＝，若f（x）恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．設(shè)向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，則實(shí)數(shù)m＝．12．若雙曲線的焦距等于實(shí)軸長的倍，則C的漸近線方程為．13．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＝6，S3＝2a1，則公差d＝，Sn的最大值為．14．已知α是任意角，且滿足，則常數(shù)k的一個取值為．15．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1（0，1），F(xiàn)2（0，﹣1）的距離的積等于的點(diǎn)P的軌跡，給出下列四個結(jié)論：①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；②△F1PF2周長的最小值為；③點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為；④點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN與平面PBD所成角的正弦值．17．在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△ABC的面積．條件①：ab＝2；條件②：asinB＝6．18．某學(xué)校食堂為了解師生對某種新推出的菜品的滿意度，從品嘗過該菜品的學(xué)生和老師中分別隨機(jī)調(diào)查了20人，得到師生對該菜品的滿意度評分如下：教師：6063656775777779798283868789929396969696學(xué)生：4749525455576365666674747577808283849596根據(jù)師生對該菜品的滿意度評分，將滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)教師和學(xué)生對該菜品的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（Ⅰ）設(shè)數(shù)據(jù)中教師和學(xué)生評分的平均值分別為μ1和μ2，方差分別為η1和η2，試比較μ1和μ2，η1和η2的大?。ńY(jié)論不要求證明）；（Ⅱ）從全校教師中隨機(jī)抽取3人，設(shè)X為3人中對該菜品非常滿意的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求教師的滿意度等級高于學(xué)生的滿意度等級的概率．19．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，1）斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N使得∠ANM＝∠BNM（點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合），若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．20．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．（Ⅰ）已知曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣ex+e，求m的值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范圍．21．已知數(shù)列{an}（an∈N），記Sn＝a1+a2+?+an，首項(xiàng)a1＝n0＞0，若對任意整數(shù)k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整數(shù)倍．（Ⅰ）若a1＝21，寫出數(shù)列{an}的前10項(xiàng)；（Ⅱ）證明：對任意n≥2，數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an由a1唯一確定；（Ⅲ）證明：對任意正整數(shù)n0，數(shù)列{Sn}從某一項(xiàng)起為等差數(shù)列．

參考答案一、選擇題（共10小題）.1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，則A∪B＝（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}解：由|x|≤1，得﹣1≤x≤1，∴A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，又B＝{x|0≤x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤1}∪{x|0≤x＜2}＝{x|﹣1≤x＜2}．故選：D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（i+2）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由z＝i（i+2）＝﹣i2+2i＝﹣1+2i，可得復(fù)數(shù)z＝i（i+2）對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），位于第二象限．故選：B．3．在的展開式中，x3的系數(shù)為（）A． B． C．﹣40 D．40解：的展開式中，x3的系數(shù)為＝﹣40．故選：A．4．已知a，b∈R，且a＞b，則下列不等式恒成立的是（）A．2a＜2b B． C．a(chǎn)3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）解：對于A，函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，因?yàn)閍＞b，所以2a＞2b，故A錯誤；對于B，取a＝1，b＝﹣1，可得，故B錯誤；對于C，冪函數(shù)y＝x3為增函數(shù)，由a＞b，可得a3＞b3，故C正確；對于D，取a＝1，b＝﹣1，則a2+1＝b2+1，所以lg（a2+1）＝lg（b2+1），故D錯誤．故選：C．5．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是（）A． B．1 C． D．2解：由三視圖還原原幾何體如圖，底面三角形BCD為直角三角形，BC⊥CD，BC＝1，CD＝2，側(cè)面ABC⊥底面BCD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，，，，，∴該四面體四個面的面積中最大的是．故選：C．6．已知函數(shù)f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，則不等式f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）解：令g（t）＝t﹣1﹣log2t，t∈（0，+∞），g′（t）＝1﹣＝，t∈（0，）時，g′（t）＜0，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；t∈（，+∞）時，g′（t）＞0，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞增．又g（1）＝g（2）＝0，∈（1，2）．∴1＜t＜2時，g（t）＜0，則1＜|x|＜2時，f（x）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1，或1＜x＜2．∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故選：D．7．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1℃，空氣的溫度是θ0℃．那么tmin后物體的溫度θ（單位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù)．現(xiàn)有46℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是38℃，則k的值約為（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.89解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且當(dāng)θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min時，θ＝38℃，∴38＝10+（46﹣10）e﹣k，∴e﹣k＝，∴﹣k＝＝ln7﹣ln9，∴k＝ln9﹣ln7＝2ln3﹣ln7≈0.25，故選：A．8．已知圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1經(jīng)過原點(diǎn)，則圓上的點(diǎn)到直線y＝x+2距離的最大值為（）A． B． C． D．解：∵圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1經(jīng)過原點(diǎn)，∴a2+b2＝1，則動圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圓心在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，如圖：原點(diǎn)O到直線y＝x+2的距離d＝，則圓上的點(diǎn)到直線y＝x+2距離的最大值為．故選：B．9．已知函數(shù)f（x）＝sinx，x∈[a，b]，則“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件解：無妨設(shè)x1＜x2，①若存在x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）﹣f（x2）＝2，又∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，∴x1＝+2kπ，x2＝+2mπ，k，m∈Z，則x2﹣x1＝π+2kπ，k∈Z，又∵x1＜x2，∴x2﹣x1≥π，∵x1，x2∈[a，b]，∴b﹣a≥π，②若b﹣a≥π，比如b＝，a＝，b﹣a＝π，但f（x1）﹣f（x2）＝2不成立，∴存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2是b﹣a≥π的充分不必要條件．故選：B．10．設(shè)函數(shù)f（x）＝，若f（x）恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．解：函數(shù)y＝﹣x3+3x，x∈R，則y'＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），所以當(dāng)﹣1＜x＜1時，y'＞0，故函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜﹣1或x＞1時，y'＜0，故函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣2，當(dāng)x＝1時，y＝2，作出函數(shù)y＝﹣x3+3x，x∈R的圖象與y＝2x，x∈R的圖象，如圖所示，在圖象中作直線x＝a，通過x＝a左右平移，得到函數(shù)f（x）＝的圖象，因?yàn)閒（x）恰有兩個零點(diǎn)，則f（x）的圖象與x軸恰有兩個交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．設(shè)向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，則實(shí)數(shù)m＝2．解：根據(jù)題意，向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），則﹣＝（m﹣1，1），若（﹣）⊥，則（﹣）?＝m﹣1﹣1＝0，解可得m＝2，故答案為：212．若雙曲線的焦距等于實(shí)軸長的倍，則C的漸近線方程為y＝±x．解：由題意知，2c＝?2a，∴c＝a，∴b＝＝＝a，∴C的漸近線方程為y＝±x＝±x．故答案為：y＝±x．13．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＝6，S3＝2a1，則公差d＝﹣2，Sn的最大值為12．解：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，a1＝6，S3＝2a1，所以3×6+3d＝12，則d＝﹣2，Sn＝6n+＝7n﹣n2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)n＝3或n＝4時，Sn取最大值12．故答案為：﹣2，12．14．已知α是任意角，且滿足，則常數(shù)k的一個取值為﹣3（答案不唯一）．解：因?yàn)椋頺＝﹣，則k＝﹣3．故答案為：﹣3（答案不唯一）．15．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1（0，1），F(xiàn)2（0，﹣1）的距離的積等于的點(diǎn)P的軌跡，給出下列四個結(jié)論：①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；②△F1PF2周長的最小值為；③點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為；④點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．解：由題意，曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1（0，1），F(xiàn)2（0，﹣1）的距離的積等于的點(diǎn)P的軌跡，設(shè)P（x，y），可得，即，以﹣x替換x，﹣y替換y方程不變，∴曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故①正確；設(shè)a＝，b＝，得到ab＝，則a+b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，∴△F1PF2周長的最小值為，故②正確；過點(diǎn)P作PE⊥F1F2，則cos∠F1PF2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，當(dāng)時，sin∠F1PF2取得最大值，∴△F1PF2的最大面積為S＝，又由，解得|PE|＝，即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，故③不正確；由（a+b）2＝a2+b2+2ab＝[x2+（y+1）2]+[x2+（y﹣1）2]+2ab＝+2+2ab＝，又由a+b＝2?＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，∴2，可得，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN與平面PBD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．取PC中點(diǎn)P，連結(jié)PM，PN，則PM∥BC，PN∥CD，∵PM∩PN＝P，BC∩CD＝C，∴平面ABCD∥平面PMN，∵M(jìn)N?平面PMN，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）∵底面ABCD為正方形．PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（2，2，0），N（0，1，1），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），＝（﹣2，﹣1，1），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），設(shè)平面PBD的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，1），設(shè)CN與平面PBD所成角為θ，則CN與平面PBD所成角的正弦值為：sinθ＝＝＝．17．在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△ABC的面積．條件①：ab＝2；條件②：asinB＝6．解：由正弦定理知，＝，∵sinB＝sinC，∴b＝c，選擇條件①：（Ⅰ）∵ab＝2，∴a＝＝＝，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc?cosA，∴（）2＝（c）2+c2﹣2?c?c?cos30°，化簡得，c4＝4，∵c＞0，∴c＝．（Ⅱ）b＝c＝，∴△ABC的面積S＝bc?sinA＝××sin30°＝．選擇條件②：（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，∴bsinA＝asinB＝6，∴b＝＝12，∵b＝c，∴c＝＝4．（Ⅱ）△ABC的面積S＝bc?sinA＝×12×4sin30°＝12．18．某學(xué)校食堂為了解師生對某種新推出的菜品的滿意度，從品嘗過該菜品的學(xué)生和老師中分別隨機(jī)調(diào)查了20人，得到師生對該菜品的滿意度評分如下：教師：6063656775777779798283868789929396969696學(xué)生：4749525455576365666674747577808283849596根據(jù)師生對該菜品的滿意度評分，將滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)教師和學(xué)生對該菜品的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（Ⅰ）設(shè)數(shù)據(jù)中教師和學(xué)生評分的平均值分別為μ1和μ2，方差分別為η1和η2，試比較μ1和μ2，η1和η2的大?。ńY(jié)論不要求證明）；（Ⅱ）從全校教師中隨機(jī)抽取3人，設(shè)X為3人中對該菜品非常滿意的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求教師的滿意度等級高于學(xué)生的滿意度等級的概率．解：（Ⅰ）μ1＞μ2，η1＜η2．（Ⅱ）教師對菜品滿意的概率P＝＝，則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B（3，），X的所有可能取值為0，1，2，3，且P（X＝k）＝pk（1﹣p）3﹣k，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列為：X0123P所以數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅲ）記事件C：教師的滿意度等級高于學(xué)生的滿意度等級，用A1，A2，A3分別表示教師對該菜品“不滿意”、“滿意”、“非常滿意”，用B1，B2，B3分別表示學(xué)生該菜品“不滿意”、“滿意”、“非常滿意”，且A1，A2，A3，B1，B2，B3相互獨(dú)立，則P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（B1）＝，P（B2）＝，P（B3）＝，所以P（C）＝P（A2B1）+P（A3B1）P（A3B2）＝×+×+×＝，即教師的滿意度等級高于學(xué)生的滿意度等級的概率為．19．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，1）斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N使得∠ANM＝∠BNM（點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合），若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（Ⅰ）由題意可得，解得a＝2，b＝2，所以橢圓G的方程為+＝1．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t≠1），所以直線AN的斜率為k1＝，直線BN的斜率為k2＝，所以∠ANM＝∠BNM，當(dāng)且僅當(dāng)k1+k2＝0，所以+＝＝＝＝0，即2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，根據(jù)題意，直線l的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，得（1+2k2）x2+4kx﹣6＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以2k?﹣+（1﹣t）＝＝0，由因?yàn)閗≠0，所以t＝4，所以+＝1．所以在y軸上存在點(diǎn)N使得∠ANM＝∠BNM，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，4）．20．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．（Ⅰ）已知曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣ex+e，求m的值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范圍．解：（Ⅰ）由切線方程為y＝﹣ex+e＝﹣e（x﹣1），可得斜率k＝﹣e，因?yàn)閒（x）＝ex﹣mx2，f′（x）＝ex﹣2mx，所以k＝f′（1）＝e﹣2m＝﹣e，解得m＝e．（Ⅱ）存在x0∈[0，1]，使得f（x0）＝﹣mx02≥2，當(dāng)x0＝0時，1≥2成立，m∈R，當(dāng)x0∈（0，1]時，即≥m有解，令g（x）＝，則g′（x）＝＝，設(shè)h（x）＝xex﹣2ex+4，h′（x）＝ex+xe