高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（十二）函數(shù)模型及應(yīng)用 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（十二）函數(shù)模型及應(yīng)用[小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)]對(duì)點(diǎn)練(一)基本初等函數(shù)模型1．(2018·貴州遵義期中)某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn)，第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用2萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加3萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為21萬(wàn)元．設(shè)該設(shè)備使用了n(n∈N*)年后，盈利總額達(dá)到最大值(盈利總額等于總收入減去總成本)，則n等于()A．6 B．7C．8 D．7或8解析：選B盈利總額為21n－9－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×nn－1×3))＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(41,2)n－9.因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為n＝eq\f(41,6)，所以當(dāng)n＝7時(shí)取最大值，即盈利總額達(dá)到最大值．故選B.2．(2018·湖北八校聯(lián)考)有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3解析：選B由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的解析式應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)類型、二次函數(shù)類型、冪函數(shù)類型，選項(xiàng)C不正確．取x＝2.01，代入A選項(xiàng)，得y＝2x＋1－1>4，代入B選項(xiàng)，得y＝x2－1≈3，代入D選項(xiàng)，得y＝x3>8；取x＝3，代入A選項(xiàng)，得y＝2x＋1－1＝15，代入B選項(xiàng)，得y＝x2－1＝8，代入D選項(xiàng)，得y＝x3＝27，故選B.3．(2018·德陽(yáng)一診)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時(shí)間t(單位：小時(shí))滿足p(t)＝p02－eq\f(t,30)，其中p0為t＝0時(shí)的污染物數(shù)量．又測(cè)得當(dāng)t∈[0,30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是－10ln2，則p(60)＝()A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：選C因?yàn)楫?dāng)t∈[0,30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2，因?yàn)閜(t)＝p02－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．4．(2018·開(kāi)封質(zhì)檢)用長(zhǎng)度為24的材料設(shè)計(jì)一場(chǎng)地，場(chǎng)地為矩形，且中間用該材料加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為()A．3 B．4C．6 D．12解析：選A隔墻的長(zhǎng)為x(0<x<6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大．5．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬，研究燕子的專家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為v＝5log2eq\f(q,10)(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，則燕子靜止時(shí)的耗氧量為_(kāi)_______個(gè)單位．當(dāng)一只兩歲燕子的耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，其速度是________m/s.解析：由題意，燕子靜止時(shí)v＝0，即5log2eq\f(q,10)＝0，解得q＝10；當(dāng)q＝80時(shí)，v＝5log2eq\f(80,10)＝15(m/s)．答案：10156．調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定，駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車時(shí)血液中酒精含量不得超過(guò)0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量將上升到3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時(shí)50%的速度減少，則至少經(jīng)過(guò)________小時(shí)他才可以駕駛機(jī)動(dòng)車．(精確到小時(shí))解析：設(shè)n小時(shí)后他才可以駕駛機(jī)動(dòng)車，由題意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，解得n≥log215，故至少經(jīng)過(guò)4小時(shí)他才可以駕駛機(jī)動(dòng)車．答案：47．(2018·漳州模擬)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，它們的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下結(jié)論：①當(dāng)x>1時(shí)，甲走在最前面；②當(dāng)x>1時(shí)，乙走在最前面；③當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型．當(dāng)x＝2時(shí)，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以①不正確；當(dāng)x＝5時(shí)，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以②不正確；根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先快后慢，又當(dāng)x＝1時(shí)，甲、乙、丙、丁四個(gè)物體走過(guò)的路程相等，從而可知，當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最后面，所以③正確；指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)模型運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體，所以⑤正確；結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以④正確．答案：③④⑤對(duì)點(diǎn)練(二)兩類特殊函數(shù)的模型1．(2018·嘉定模擬)某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境中放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋1)－a))＋2a＋eq\f(2,3)，x∈[0,24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).如果以每天f(x)的最大值為當(dāng)天的環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)，并記為M(a)，若規(guī)定當(dāng)M(a)≤2時(shí)為環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)不超標(biāo)，則該市中心的環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)，a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(4,9))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(1,2)))解析：選B設(shè)t＝eq\f(x,x2＋1)，當(dāng)x≠0時(shí)，可得t＝eq\f(1,x＋\f(1,x))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0，因而f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋eq\f(2,3)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＋3a＋\f(2,3)，0≤t≤a，,t＋a＋\f(2,3)，a<t≤\f(1,2)，))從而有g(shù)(0)＝3a＋eq\f(2,3)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝a＋eq\f(7,6)，g(0)－geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,4)))，因而M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，0≤a≤\f(1,4)，,g0，\f(1,4)<a≤\f(1,2)，))即M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(7,6)，0≤a≤\f(1,4)，,3a＋\f(2,3)，\f(1,4)<a≤\f(1,2)，))當(dāng)0≤a≤eq\f(1,4)時(shí)，M(a)<2，當(dāng)eq\f(1,4)<a≤eq\f(4,9)時(shí)，M(a)≤2，當(dāng)eq\f(4,9)<a≤eq\f(1,2)時(shí)，M(a)>2，所以該市中心的環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)，a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9))).2.某人準(zhǔn)備購(gòu)置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝________.解析：由題意可得xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×eq\f(y－3,3)＝1808－3x－eq\f(8,3)y＝1808－3x－eq\f(8,3)×eq\f(1800,x)＝1808－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4800,x)))≤1808－2eq\r(3x×\f(4800,x))＝1808－240＝1568，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(4800,x)，即x＝40時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)S取得最大值時(shí)，y＝eq\f(1800,40)＝45.答案：453．(2018·廣西模擬)某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以vkm/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知某市到災(zāi)區(qū)公路線長(zhǎng)400km，為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是________h(車身長(zhǎng)度不計(jì))．解析：設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為th，由題意可知，t相當(dāng)于最后一輛行駛了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400))km所用的時(shí)間，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)時(shí)取等號(hào)．故這些汽車以eq\f(200,3)km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間為12h.答案：124．一艘輪船在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時(shí)96元．當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元．若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為_(kāi)_______海里/小時(shí)時(shí)，總費(fèi)用最小．解析：設(shè)每小時(shí)的總費(fèi)用為y元，則y＝kv2＋96，又當(dāng)v＝10時(shí)，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小時(shí)的總費(fèi)用y＝0.06v2＋96，勻速行駛10海里所用的時(shí)間為eq\f(10,v)小時(shí)，故總費(fèi)用為W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48，當(dāng)且僅當(dāng)0.6v＝eq\f(960,v)，即v＝40時(shí)等號(hào)成立．故總費(fèi)用最小時(shí)輪船的速度為40海里/小時(shí)．答案：40[大題綜合練——遷移貫通]1．(2018·江西撫州七校聯(lián)考)食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來(lái)一定的危害．為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元到甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿、乙大棚種黃瓜．根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)．(1)求f(50)的值；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解：(1)因?yàn)榧状笈锿度?0萬(wàn)元，所以乙大棚投入150萬(wàn)元．所以f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120－200＝77.5.(2)f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120－200＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋50.依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥20，,200－x≥20，))解得20≤x≤180，所以f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋50(20≤x≤180)．令t＝eq\r(x)∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，則f(x)＝g(t)＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋50＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋82.所以當(dāng)t＝8eq\r(2)，即x＝128時(shí)，f(x)max＝82.所以投入甲大棚128萬(wàn)元，乙大棚72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收益為82萬(wàn)元．2．(2018·山東德州期中)某地自來(lái)水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠?lái)水公司對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)．已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過(guò)x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y＝mf(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,25)＋2，0<x≤5，,\f(x＋19,2x－2)，x>5.))當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化．(1)如果投放的藥劑的質(zhì)量為m＝5，試問(wèn)自來(lái)水達(dá)到有效凈化總共可持續(xù)幾天？(2)如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在9天(從投放藥劑算起包括9天)之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值．解：(1)當(dāng)m＝5時(shí)，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋10，0<x≤5，,\f(5x＋95,2x－2)，x>5.))當(dāng)0<x≤5時(shí)，eq\f(x2,5)＋10≥5，顯然符合題意；當(dāng)x>5時(shí)，由eq\f(5x＋95,2x－2)≥5解得5<x≤21.綜上，0<x≤21，所以自來(lái)水達(dá)到有效凈化總共可持續(xù)21天．(2)y＝mf(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mx2,25)＋2m，0<x≤5，,\f(mx＋19,2x－2)，x>5.))當(dāng)0<x≤5時(shí)，y＝eq\f(mx2,25)＋2m在區(qū)間(0,5]上單調(diào)遞增，所以2m<y≤3當(dāng)x>5時(shí)，y′＝eq\f(－40m,2x－22)<0，所以函數(shù)y＝eq\f(mx＋19,2x－2)在(5,9]上單調(diào)遞減，所以eq\f(7m,4)≤y<3m.綜上可知eq\f(7m,4)≤y≤3m.為使5≤y≤10恒成立，只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7m,4)≥5，,3m≤10，))解得eq\f(20,7)≤m≤eq\f(10,3)，所以應(yīng)該投放的