高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 分層限時跟蹤練38-人教版高三數(shù)學試題

分層限時跟蹤練(三十八)(限時40分鐘)eq\f([基礎練],扣教材練雙基)一、選擇題1．下列說法正確的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內，則a與b異面【解析】由異面直線的定義知D正確．【答案】D2．給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)是()①如果線段AB在平面α內，那么直線AB在平面α內；②兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點A、B、C；③若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；⑤兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．A．1B．2C．3D．4【解析】由公理1知①正確，由公理3知②不正確，③正確；三條直線兩兩相交于同一點時，三條直線不一定共面，④不正確；空間四邊形也可能兩組對邊相等，⑤不正確．【答案】B3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是()A．①④ B．②④C．① D．④【解析】借助于長方體模型來解決本題．對于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因為n∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為m⊥g，所以m⊥n.【答案】A4．如圖7-3-4所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點圖7-3-4A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【解析】連接A1C1，AC，則A1C1∥∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1∴A，M，O三點共線．【答案】A5.如圖7-3-5，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側棱C圖7-3-5A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2) D．2【解析】如圖，取AC中點G，連FG、EG，則FG∥C1C，F(xiàn)G＝C1C；EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即為EF與C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).【答案】B二、填空題6．若直線a⊥b，且直線b∥平面α，則直線a與平面α的位置關系是．【解析】如圖所示：故a與α的位置關系是a?α、a∥α或a與α相交．【答案】a?α、a∥α或a與α相交7．如圖7-3-6所示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形的序號是．圖7-3-6【解析】可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示，取A1A和BC的中點分別為M，N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P，Q，R，S【答案】①②③8．如圖7-3-7是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，圖7-3-7①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是．【解析】還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN為異面直線，且所成的角為90°，即DE與MN垂直．【答案】②③④三、解答題9．如圖7-3-8，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．圖7-3-8(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？【解】(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)由BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA中點知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．10．如圖7-3-9所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．圖7-3-9【解】取AC中點F，連EF，BF，則EF∥DC，∴∠BEF即為異面直線BE與CD所成的角(或其補角)．∵DA＝1，BC＝eq\r(2)，AB＝AC.∴DC＝eq\r(2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在△BEF中，BE＝BF＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，由余弦定理得cos∠BEF＝eq\f(EB2＋EF2－BF2,2EB·EF)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．(2015·唐山模擬)若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則()A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面【解析】對于選項A，若過點P有直線n與l、m都平行，則l∥m，這與l、m異面矛盾．對于選項B，可知過點P且與l、m都垂直的直線存在，且只有一條，即為過點P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線．對于選項C，過點P與l、m都相交的直線有一條或零條．對于選項D，過點P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條．【答案】B2．(2015·洛陽模擬)如圖7-3-10所示，在空間四邊形ABCD中，圖7-3-10點E、H分別是邊AB、AD的中點，點F、G分別是邊BC、CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則()A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上【解析】連接EH，F(xiàn)G，依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因為EH＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上．同理，點M在平面ACD上，∴點M是平面ACB與平面ACD的交點，而AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上．【答案】D3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有【解析】法一如圖，在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有一個交點N，當M取不同的位置時就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這三條異面直線都有交點，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條．法二在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因為CD與平面α不平行，所以它們相交，設它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．【答案】無數(shù)4．如圖7-3-11，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝.圖7-3-11【解析】取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則易證CD⊥EG，CD⊥FG，所以CD⊥平面EFG.又AB∥CD，所以AB⊥平面EFG，所以AB⊥EF，所以正方體中上、下、前、后四個面所在平面與EF相交(左、右兩個面所在平面與EF平行)，即n＝4.由CE在正方體的下底面所在平面內，知CE與上底面所在平面平行，故正方體中前、后、左、右四個面所在平面與CE相交，即m＝4.所以m＋n＝8.【答案】85．如圖7-3-12，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.圖7-3-12(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)設EG與FH交于點P，求證：P、A、C三點共線．【證明】(1)∵E、F分別為AB、AD的中點，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P、A、C三點共線．6．如圖7-3-13，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．圖7-3-13(1)求四棱錐O-ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大?。窘狻?1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S＝4，所以，四棱錐O-A