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文檔簡介
天津葛沽第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略2.下列四個(gè)函數(shù)中,與y=x表示同一函數(shù)的是A.y=()2
B.y=
C.y=
D.y=參考答案:C3.,則A. B. C. D.
參考答案:B4.如圖,關(guān)于正方體ABCD﹣A1B1C1D1,下面結(jié)論錯誤的是()A.BD⊥平面ACC1A1B.AC⊥BDC.A1B∥平面CDD1C1D.該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為2:1參考答案:D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.【分析】在A中,由BD⊥AC,BD⊥AA1,知BD⊥平面ACC1A1;在B中,由ABCD是正方形,知AC⊥BD;在C中,由A1B∥D1C,知A1B∥平面CDD1C1;在D中,該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為:1.【解答】解:由正方體ABCD﹣A1B1C1D1,知:在A中,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1,故A正確;在B中,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,故B正確;在C中,∵A1B∥D1C,A1B?平面CDD1C1,D1C?平面CDD1C1,故A1B∥平面CDD1C1,故C正確;在D中,該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為=:1.故D錯誤.故選:D.5.已知,若,則的值為(
)A.
B.7
C.
D.3參考答案:D6.已知△ABC,a=,b=,∠A=30°,則c=() A. B.或 C. D.均不正確參考答案:B考點(diǎn): 正弦定理.專題: 解三角形.分析: 由余弦定理可得2=6+c2﹣2×,整理可得:c,從而得解.解答: 解:∵a=,b=,∠A=30°,∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即:2=6+c2﹣2×,整理可得:c,∴解得:c=或.故選:B.點(diǎn)評: 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)是集合M到集合N的映射,若N={1,2},則M不可能是A、{-1}
B、
C、
D、參考答案:C8.下列函數(shù)中,為奇函數(shù)的是(
)A.y=2x+ B.y=x,x∈(0,1] C.y=x3+x D.y=x3+1參考答案:C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷.【專題】函數(shù)思想;數(shù)學(xué)模型法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用奇函數(shù)的定義及其判定方法即可得出.【解答】解:奇函數(shù)必須滿足:定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(﹣x)=﹣f(x),只有y=x3+x滿足條件,故選:C.【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.9.函數(shù)的零點(diǎn)必定落在區(qū)間
(
)
A. B.
C.
D.參考答案:C略10.在直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角是A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案:A【分析】先根據(jù)直線的方程,求出它的斜率,可得它的傾斜角.【詳解】在直角坐標(biāo)系中,直線的斜率為,等于傾斜角的正切值,故直線的傾斜角是,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的求法。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知△ABC,若存在△A1B1C1,滿足===1,則稱△A1B1C1是△ABC的一個(gè)“友好”三角形,若等腰△ABC存在“友好”三角形,則其底角的弧度數(shù)為.參考答案:【考點(diǎn)】正弦定理. 【分析】由題意可得cosA=sinA1,cosB=sinB1,cosC=sinC1,設(shè)B=α=C,則A=π﹣2α,求得A1=2α,可得tan2α=﹣1,再根據(jù)2α∈(0,π)可得2α的值,從而求得α的值.【解答】解:由題意可得等腰△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C均為銳角, 且cosA=sinA1,cosB=sinB1,cosC=sinC1, 設(shè)B=α=C,則A=π﹣2α. 由于△A1B1C1中,A1、B1、C1不會全是銳角, 否則,有A+A1=,B+B1=,C+C1=,與三角形內(nèi)角和矛盾. 故A1、B1、C1必有一個(gè)鈍角,只能是頂角A1為鈍角,C1和B1均為銳角. 故有B1=﹣α,C1=﹣α,∴A1=2α. 再根據(jù)cosA=sinA1,可得cos(π﹣2α)=sin2α,即sin2α+cos2α=0, 即tan2α=﹣1,再根據(jù)2α∈(0,π)可得2α=,∴α=, 故答案為:. 【點(diǎn)評】本題主要考查新定義,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題. 12.已知向量,,且,那么實(shí)數(shù)m的值為______.參考答案:2【分析】先把向量坐標(biāo)表示求出,然后利用兩向量平行時(shí),坐標(biāo)之間的關(guān)系,列出等式,求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?,,所以,又因?yàn)?,所?【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及由兩平面向量共線,求參數(shù)問題.13.若,是第四象限角,則=________參考答案:略14.設(shè),則的值為
.
參考答案:9略15.函數(shù)的值域是
參考答案:略16..一個(gè)盒中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品,每次取一個(gè)產(chǎn)品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望=_________________.參考答案:略17.若函數(shù)的定義域是[0,6],則函數(shù)的定義域?yàn)開________.參考答案:(1,2)∪(2,3]要使函數(shù)有意義,需滿足,解得且。∴函數(shù)的定義域?yàn)?。答案?/p>
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,g(x)=2x﹣1.(1)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,試求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過
點(diǎn)A(1,).①求函數(shù)y=f(x)的解析式;②若對任意x<﹣3,都有2k<g(x)成立,試求實(shí)數(shù)k的最小值.參考答案:【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)恒成立問題.【分析】(1)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,則x2+bx>2x﹣1,即x2+(b﹣2)x+1>0恒成立,即△=(b﹣2)2﹣4<0,解得實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)①若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過
點(diǎn)A(1,).則,解得:a,b的值,可得函數(shù)y=f(x)的解析式;②若對任意x<﹣3,都有2k<g(x)成立,則對任意x<﹣3,都有k>=﹣成立,進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的最小值.【解答】解:(1)a=1時(shí),若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,則x2+bx>2x﹣1,即x2+(b﹣2)x+1>0恒成立,即△=(b﹣2)2﹣4<0,解得:b∈(0,4);(2)①若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過
點(diǎn)A(1,).則,解得:,∴y=f(x)=x2+x,②若對任意x<﹣3,都有2k<g(x)成立,則對任意x<﹣3,都有2k(x+)<2x﹣1成立,則對任意x<﹣3,都有k>=﹣成立,由x<﹣3時(shí),﹣∈(,),∴k≥,故實(shí)數(shù)k的最小值為.19.(本小題滿分10分)已知(1)化簡;
(2)若是第三象限角,且cos()=,求的值.參考答案:【知識點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用;同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系.(1)=(2)=解:(1)..........5分(2)∵α為第三象限角,且...............................2分
.
...................................2分則 ................................1分【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡表達(dá)式即可.(2)化簡已知條件,求出sinα=-,通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出f(α)的值.18.(本小題滿分12分)如圖,某中學(xué)甲、乙兩班共有25名學(xué)生報(bào)名參加了一項(xiàng)
測試.這25位學(xué)生的考分編成的莖葉圖,其中有一個(gè)數(shù)據(jù)因電腦操作員不小心刪掉了(這里暫用x來表示),但他清楚地記得兩班學(xué)生成績的中位數(shù)相同.
(1)求這兩個(gè)班學(xué)生成績的中位數(shù)及x的值;
(2)如果將這些成績分為“優(yōu)秀”(得分在175分以上,包括175分)和“過關(guān)”,若學(xué)校再從這兩個(gè)班獲得“優(yōu)秀”成績的考生中選出3名代表學(xué)校參加比賽,求這3人中甲班至多有一人入選的概率.【答案】【解析】【知識點(diǎn)】莖葉圖;考查了古典概型及其概率計(jì)算公式.(1)x=7;(2)解:(1)甲班學(xué)生成績的中位數(shù)為(154+160)=157..........................2分
乙班學(xué)生成績的中位數(shù)正好是150+x=157,故x=7;...............................2分
(2)用A表示事件“甲班至多有1人入選”.
設(shè)甲班兩位優(yōu)生為A,B,乙班三位優(yōu)生為1,2,3.
則從5人中選出3人的所有方法種數(shù)為:(A,B,1),(A,B,2),(A,B,3),(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)共10種情況,................3分
其中至多1名甲班同學(xué)的情況共(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)7種..............3分
由古典概型概率計(jì)算公式可得P(A)=............................2分【思路點(diǎn)撥】(1)直接由莖葉圖求出甲班學(xué)生成績的中位數(shù),由兩班學(xué)生成績的中位數(shù)相同求得x的值;
(2)用列舉法寫出從5名成績優(yōu)秀的學(xué)生中選出3人的所有方法種數(shù),查出至多1名甲班同學(xué)的情況數(shù),然后由古典概型概率計(jì)算公式求解.20.(本題8分)已知,,,求的取值范圍參考答案:略21.(本題滿分12分)已知等差數(shù)列不是常數(shù)列,,成等比數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(Ⅱ)設(shè),是數(shù)列的前項(xiàng),求.參考答案:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差是,因數(shù)列不是常數(shù)列,則,∵等比,∴,又,∴,解這個(gè)方程組,得.∴,即的通項(xiàng)公式為.……………6分(Ⅱ)∵,,∴,∴.……………12分22.(12分)在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形,它的一條邊在斜邊BC上,設(shè)AB=a,∠ABC=θ,△ABC的面積為P,正方形面積為Q.求的最小值.參考答案:考點(diǎn): 在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析: 根據(jù)已知條件容易求出Rt△ABC的面積P=,若設(shè)內(nèi)接正方形的邊長為x,結(jié)合圖形即可得到,從而可解出x=,從而得到正方形面積Q=.從而得到,而根據(jù)函數(shù)y=1+在(0,1]上單調(diào)遞減即可求出的最小值.解答: AC=atanθ,
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