第24章解直角三角形單元測試卷2023-2024學年華東師大版九年級數學上冊

華東師大版九年級數學上冊第24章解直角三角形單元測試卷一、單選題1．楊明同學手里現有3分米和5分米長的兩根木方，要從1分米、2分米、4分米、9分米長的木方中選一根組成三角形，則應選擇的木方長是（）A．1分米 B．2分米 C．4分米 D．9分米2．如圖，在矩形中，已知于，，，則的長為（）A．3 B．2 C． D．3．的值等于（）A． B． C．1 D．24．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則tanC的值是（）A．2 B． C．1 D．5．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，點D，E分別是邊AB，BC的中點，CD與AE交于點O，則OD的長是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.46．某數學興趣小組同學進行測量大樹CD高度的綜合實踐活動，如右圖，在點A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點D處，斜面AB的坡度（或坡比）i=1∶2.4，那么大樹CD的高度約為多少？（）A．18米 B．13米 C．12米 D．5米7．一個三角形的兩邊長為3和4，第三邊長為奇數，則第三邊長為（）A．1或3 B．3或5 C．3或7 D．5或78．如圖，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，則點A到BC的距離是（）A．10﹣5 B．5+5 C．15﹣5 D．15﹣109．如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高為1.5m，測得AB＝3m，BC＝7m，則建筑物CD的高是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m10．如圖，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=BD，連接AC，若tanB=，則tan∠CAD的值（）A． B． C． D．二、填空題11．中，，則AC與AB兩邊的關系是．12．如圖，矩形中，，，E為線段上一動點，作點B關于的軸對稱點F，連接，，G為中點.當D，F，E三點共線時，的長為；在E的整個運動過程中，C，G兩點距離的最小值為.13．如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A、C分別落在點A′、C′處．如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為．14．如圖，已知，，，線段的端點從點出發(fā)，沿的邊按運動一周，同時另一端點隨之在直線上運動，如果=，那么當點運動一周時，點運動的總路程為.三、解答題15．學校要在教學樓側面懸掛中考勵志的標語牌，如圖所示，為了使標語牌醒目，計劃設計標語牌的寬度為BC，為了測量BC，在距教學樓20米的升旗臺P處利用測角儀測得教學樓AB的頂端點B的仰角為，點C的仰角為，求標語牌BC的寬度（結果保留根號）16．已知a，b，c為三角形的三邊長，判別關于x的元二次方程x2+（a-b）x+c2=0的根的情況.17．如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距39米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°.求樓CD的高（結果保留根號）.18．如圖，一艘核潛艇在海面DF下600米A點處測得俯角為30°正前方的海底C點處有黑匣子，繼續(xù)在同一深度直線航行1464米到B點處測得正前方C點處的俯角為45°．求海底C點處距離海面DF的深度（結果精確到個位，參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.236）19．如圖，O，R是同一水平線上的兩點，無人機從O點豎直上升到A點時，測得A到R點的距離為40m，R點的俯角為24.2°，無人機繼續(xù)豎直上升到點，測得R點的俯角為36.9°.求無人機從A點到點的上升高度AB（精確到0.1m）參考數據：sin24.2°=0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°=0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75.四、綜合題20．如圖，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，M為BC的中點．（1）求證：ME=MF；（2）若∠A=40°，求∠FME的度數．21．計算（1）+（）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0（2）2y2+4y=y+2．22．如圖1，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長；（2）如圖2，若點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．連接AP，當PF⊥AC時，求PF的長．23．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線交x軸于點B，交y軸于點A，．（1）如圖1，求k的值；（2）如圖2，點H在AB上，點F在OB上，連接FH、OH，且，過點F作AB的垂線，垂足為點S，設點H的橫坐標為t，，線段SH的長為d，求d與t之間的函數關系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，將線段OH繞點O順時針旋轉得到線段OE，連接AE并延長交x軸于C，連接HC，點K是HC的中點，連接EK，當時，求的面積．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得5-3=2＜第三根＜5+3=8，

∴應選擇的木方長是4分米，

故答案為：C

【分析】根據三角形三邊關系結合楊明同學手里現有3分米和5分米長的兩根木方即可得到第三根的取值范圍，進而即可求解。2．【答案】B【解析】【解答】解：四邊形為矩形，，，，，，故答案為：B．

【分析】由矩形的性質求出∠ABD=90°，利用三角形內角和求出∠BAE=30°，再根據含30°角的直角三角形的性質即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知，，故答案為：A．【分析】根據特殊角三角函數值解答即可.4．【答案】B【解析】【解答】如圖，在RtACD中，tanC.故答案為：B.【分析】將∠C轉化到Rt△ACD中，利用銳角三角函數的定義就可求出tanC的值。5．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC為直角三角形，D點為AB的中點，∴CD=AB=6∵D和E點分別為AB，BC的中點，∴DE∥AC，∴△AOC∽△EOD，．故答案為：C．【分析】根據直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，求得CD的長，根據中位線的性質，得到DE∥AC，求得△AOC∽△EOD，根據三角形相似的性質求出OD和OC的關系，進而得出OD和CD的關系，然后即可求解．6．【答案】B【解析】【解答】解：作BF⊥AE于F，如圖所示：則FE=BD=6米，DE=BF.∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF.設BF=x米，則AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+(2.4x)2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米.在Rt△ACE中，CE=AE·tan45°=18×1=18米，∴CD=CE-DE=18米-5米=13米.【分析】要求大樹CD的高度，只須求得CE的長，則CD=CE-DE即可求解。作BF⊥AE于F，根據坡比的意義和勾股定理可求得BF=DE、AF的長，再解在角三角形ACE即可求得CE的長，大樹CD的高度可求解。7．【答案】B【解析】【解答】解：設第三邊長x．根據三角形的三邊關系，得，即．∵三角形的第三邊長是奇數，因而滿足條件的數是3或5．故答案為：B．【分析】首先根據三角形的三邊關系求得第三邊的取值范圍，再根據第三邊長為奇數即可得到答案．8．【答案】C【解析】【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D．在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD=cot∠B×AD=AD．在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD，∴BC=（1+）AD=10．解得：AD=15﹣5．故答案為：C．【分析】過點A作AD⊥BC于點D．在Rt△ABD中，∠B=60°，根據cot∠B的比值就可以求出BD與AD的關系，在Rt△ADC中，∠C=45°，從而得出CD=AD，根據勾股定理得出BC與AD的關系，再根據BD+DC=BC，列出關于AD的方程，從而得出AD的值。9．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得：AB＝3m，BC＝7m，，經檢驗：符合題意，所以建筑物CD的高是故答案為：D【分析】先求出再求出最后計算求解即可。10．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，即=，∴設AD=5x，則AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故選D．【分析】延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，由tanB=，即=，設AD=5x，則AB=3x，然后可證明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的對應邊成比例可得：，進而可得CE=x，DE=，從而可求tan∠CAD==．11．【答案】【解析】【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，則AB=2AC．故答案為：AB=2AC．【分析】根據含30°直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出結論。12．【答案】；【解析】【解答】解：如圖，連接AF，取AD中點H，連接GH，GC，HC，四邊形ABCD是矩形，則AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=90°，由折疊的性質可得AF=AB=3，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，設CE=x，則BE=EF=4-x，當點E、F、D三點共線時，AF⊥DE，Rt△AFD中，DF=，Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，∴（+4-x）2=x2+9，-2（+4）x+23+8=9，解得：x=；∵H為AD中點，G為DF中點，∴HG為△DAF中位線，∴HG=AF=，Rt△DHC中，HC=，當點G不在直線HC上時，△GHC中，GC＞HC-HG，當點G在直線HC上時，GC=HC-HG，∴CG的最小值為；故答案為：，；【分析】連接AF，取AD中點H，連接GH，GC，HC，由矩形的性質可得AB=CD，AD=BC，∠B=90°，由折疊的性質可得AF=AB，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，設CE=x，則BE=EF=4-x，當點E、F、D三點共線時，AF⊥DE，Rt△AFD中，用勾股定理求得DF的值，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2=DC2+CE2，于是可得關于x的方程，解方程求得x的值，由題意易知HG為△DAF中位線，根據三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得HG=AF，在Rt△DHC中，用勾股定理求得HC的值，當點G不在直線HC上時，△GHC中，由三角形三邊關系定理可得GC＞HC-HG，當點G在直線HC上時，由線段的構成可得GC=HC-HG，于是可得CG的最小值就是HC-HG的值.13．【答案】【解析】【解答】解：設AB=x，則CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案為：．【分析】設AB=x，根據平行線的性質列出比例式求出x的值，根據正切的定義求出tan∠BA′C，根據∠ABA′=∠BA′C解答即可．14．【答案】16【解析】【解答】解：∵，，

∴AB=2OA=8，OB=

①當點M從點O運動到點B時，點N從距離O點處運動到點O，

此時點N運動的路程=MN=；

②當點M從點B運動到一點M，當MN⊥AB時，如下圖：∵直角三角形ABO中，∠ABO=30°

∴∠BAO=60°

∴∠ANM=30°

∴AN=2AM

∵MN=

∴AM=4，AN=4×2=8

∴ON=AN-OA=8-4=4

③當MN⊥AB時，點M繼續(xù)運動至點A時，

此時AN=，點N運動的路程=8-；

④當點M從點A移動到點O時，點N移動的距離=OA=4；

∴點N移動的總路程=+4+8-+4=16.

故答案為：16.【分析】根據含30°角的直角三角形的性質，可得直角三角形的30°角對應的邊是斜邊長度的一半解題；根據勾股定理，可以求得直角三角形其他邊的長度；運用數學思想，分類討論點運動的不同階段，最后將所有的路程相加即可.15．【答案】解：由題意知，PD=20，，在中，，則，在中，，，，故答案為：．【解析】【分析】根據正切的定義求出BD，根據等腰直角三角形的性質求出CD，結合圖形計算得到答案。16．【答案】解：∵x2+（a-b）x+c2=0，∴（a-b）2-4××c2=（a-b）2-c2=（a-b-c）（a-b+c）.∵a，b，c為三角形的三邊長，∴b+c>a，a+c>b∴a-b-c<0，a-b+c>0，∴（a-b-c）（a-b+c）<0【解析】【分析】先求出根的判別式?=（a-b-c）（a-b+c），再根據三角形三邊關系得出a-b-c<0，a-b+c>0，從而得出根的判別式?＜0，即可得出一元二次方程沒有實數根.17．【答案】解：延長過點A的水平線交CD于點E，則有AE⊥CD，四邊形ABDE是矩形，AE＝BD＝39米.∵∠CAE＝45°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴CE＝AE＝39米.在Rt△AED中，tan∠EAD＝，∴ED＝39×tan30°＝13米，∴CD＝CE+ED＝（39+13）米.答：樓CD的高是（39+13）米【解析】【分析】延長過點A的水平線交CD于點E，得出△AEC是等腰直角三角形，可得CE＝AE＝39米，在Rt△AED中，由tan∠EAD＝，可求出DE的長，利用CD=CE+ED即可求出結論.18．【答案】解：作CE⊥AB于E，依題意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°，設CE=x，則BE=x，Rt△ACE中，tan30°===，整理得出：3x=1464+x，解得：x=732（+1）≈2000米，∴C點深度=x+600=2600米．答：海底C點處距離海面DF的深度約為2600米【解析】【分析】首先作CE⊥AB于E，依題意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°，設CD=x，則BE=x，進而利用正切函數的定義求出x即可．19．【答案】解：已知，，，在中，，∴，，在中，，∴（米）答：無人機從點到點的上升高度約為米．【解析】【分析】在中，解直角三角形得，，在中，求得，根據，計算求解即可．20．【答案】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M為BC的中點，∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF；（2）解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵MF=MB，ME=MC，∴∠MFB=∠ABC，∠MEC=∠ACB，∴∠BMF+∠CME=360°-140°×2=80°，∴∠FME=180°-80°=100°．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ME=BC，MF=BC，則ME=MF；

（2）易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由等邊對等角得∠MFB=∠ABC，∠MEC=∠ACB，于是根據∠BMF+∠CME=360°-2（∠ABC+∠ACB）可求得∠BMF+∠CME的度數，然后由∠FME=180°-（∠BMF+∠CME）可求解.21．【答案】（1）解：+（）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0=2+2﹣2×﹣1=+1（2）解：2y2+4y=y+2，2y2+3y﹣2=0，（2y﹣1）（y+2）=0，2y﹣1=0或y+2=0，所以y1=，y2=﹣2【解析】【分析】（1）原式第一項化為最簡二次根式，第二項利用特殊角的三角函數值計算，第三項利用利用零指數冪法則計算即可得到結果；（2）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了實數的運算．22．【答案】（1）解：如圖1中，過點A作AD⊥BC于D．在RtABD中，AD==（2）解：如圖2中，由（1）可知：AC=，E是AB的中點，AE=，PF⊥AC，∠PFA=90°，沿EF將AEF折疊得到△PEF，AEF≌PEF，∠AFE=∠PFE=45°，AF=PF，∠AFE=∠B，在AEF與ACB中，∠AFE=∠B∠EAF=∠CABAEF∽ACB，，即，AF=，PF=AF=．【解析】【分析】（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出AD即可．（2）求出AC的長度，證明AEF∽ACB，推出，由此求出AF的長度即可解決問題．23．【答案】（1）解：∵直線y=kx+6k交x軸于點B，

∴取y＝0，得x＝6，∴B點的坐標為（-6，0）