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文檔簡介
陜西省武功縣2024年高考臨考沖刺數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.2.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.4.二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是()A.180 B.90 C.45 D.3605.中國鐵路總公司相關(guān)負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列6.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.67.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,若線段AB的中點M的縱坐標為1,則p=()A.1 B. C.2 D.48.向量,,且,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度10.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.411.已知雙曲線的右焦點為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點,且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是______.14.若函數(shù),則的值為______.15.某部門全部員工參加一項社會公益活動,按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.16.設,滿足條件,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某中學為研究學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”.(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表:并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關(guān)?(2)在“鍛煉達標”的學生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進行體育鍛煉體會交流.(i)求這人中,男生、女生各有多少人?(ii)從參加體會交流的人中,隨機選出人發(fā)言,記這人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.參考公式:,其中.臨界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63518.(12分)已知都是各項不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對任意的恒成立.19.(12分)第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》中,提出推行生活垃圾分類制度,這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系,對某試點社區(qū)抽取戶居民進行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表.分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶,抽到分類意識強的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關(guān)?說明你的理由;(2)已知在試點前分類意識強的戶居民中,有戶自覺垃圾分類在年以上,現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中,隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查,記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為,求分布列及數(shù)學期望.參考公式:,其中.下面的臨界值表僅供參考20.(12分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈”,試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知函數(shù),設為的導數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達式,并證明你的結(jié)論.22.(10分)如圖,底面是等腰梯形,,點為的中點,以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長方體,于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點,即為三棱錐,且長方體的長、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當且僅當,時,三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.【點睛】(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑,同時要作一圓面起襯托作用.(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線,對于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體,通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.2、C【解析】
由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,可得有解,令,則,對分類討論,得出時,取得極大值,也即為最大值,進而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,即有解,令,則,則當時,;當時,,故時,取得極大值,也即為最大值,當趨近于時,趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想,考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力,屬于難題.3、A【解析】
首先求出樣本空間樣本點為個,再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù),再求出重復數(shù)量,可得事件的樣本點數(shù),根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個,具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計算時會有重復,重復數(shù)量為,事件的樣本點數(shù)為:個.故不同的樣本點數(shù)為8個,.故選:A【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,古典概型的概率計算公式,屬于基礎題4、A【解析】試題分析:因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,所以,,令,則,.考點:1.二項式定理;2.組合數(shù)的計算.5、D【解析】
由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識,是基礎題6、C【解析】
方法一:設等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.7、C【解析】
設直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點M的縱坐標為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.8、D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標運算以及誘導公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用,屬于中檔題.9、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為,故要得到,只需將向左平移個單位長度.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎題.10、C【解析】
由正項等比數(shù)列滿足,即,又,即,運算即可得解.【詳解】解:因為,所以,又,所以,又,解得.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎題.11、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標,利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識,考查學生的計算能力,屬于中檔題.12、C【解析】
根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【點睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況,可得答案.【詳解】模擬程序的運行,可得:,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,此時滿足條件,退出循環(huán),輸出的值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查程序框圖的應用問題,解題時應模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結(jié)論,屬于基礎題.14、【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進而計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.15、60【解析】
根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用,古典概型概率的簡單應用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應用,屬于基礎題.16、【解析】
作出可行域,由得,平移直線,數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得,則是直線在軸上的截距.平移直線,當直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點時,最小,此時最大.解方程組,得,..故答案為:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列見解析.【解析】
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表.由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù),由表格得達標人數(shù),從而得男生中達標人數(shù),這樣不達標人數(shù)隨之而得,然后計算可得結(jié)論;(2)由達標人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù),總共選2人,女生有4人,的可能值為0,1,2,分別計算概率得分布列,再由期望公式可計算出期望.【詳解】(1)列出列聯(lián)表,,所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能判斷“課外體育達標”與性別有關(guān).(2)(i)在“鍛煉達標”的學生中,男女生人數(shù)比為,用分層抽樣方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)從參加體會交流的人中,隨機選出人發(fā)言,人中女生的人數(shù)為,則的可能值為,,,則,,,可得的分布列為:可得數(shù)學期望.【點睛】本題考查列聯(lián)表與獨立性檢驗,考查分層抽樣,隨機變量的概率分布列和期望.主要考查學生的數(shù)據(jù)處理能力,運算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項與前項和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解:.是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當時,,兩式作差,可得.當時,滿足上式,則;證明:,當時,,兩式相減得:即.即.又,,即.當時,,兩式相減得:.數(shù)列從第二項起是公差為的等差數(shù)列.又當時,由得,當時,由,得.故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列;證明:由,當時,,即,,,即,即,當時,即.故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,當時,..另外,由已知條件可得,又,,因而.令,則.故對任意的恒成立.【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等.同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項,再利用作商法證明.屬于難題.19、(1)有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.見解析(2)分布列見解析,期望為1.【解析】
(1)由在抽取的戶居民中隨機抽取戶,抽到分類意識強的概率為可得列聯(lián)表,然后計算后可得結(jié)論;(2)由已知的取值分別為,分別計算概率得分布列,由公式計算出期望.【詳解】解:(1)根據(jù)在抽取的戶居民中隨機抽取戶,到分類意識強的概率為,可得分類意識強的有戶,故可得列聯(lián)表如下:分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值,所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.(2)現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中,選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查,記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為,則0,1,2,3,故,,,,則的分布列為.【點睛】本題考查獨立性檢驗,考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.考查學生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力.20、(1)多2350人;(2)有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】
(1)根據(jù)題意,知100人中購買“小愛同學”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,100人中購買“小愛同學”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈”,估計購買“小愛同學”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則,∴估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.(2)由題可知,,∴有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點睛】本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應用,考查
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