中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)《圓的閱讀理解題》測(cè)試卷附帶參考答案

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)《圓的閱讀理解題》測(cè)試卷（附帶參考答案)學(xué)校:___________班級(jí):___________姓名:___________考號(hào):___________1．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：斯庫(kù)頓定理：如圖1．在中，為的平分線(xiàn)，則．下面是該定理的證明過(guò)程：證明：如圖2，是的外接圓，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．∵為的平分線(xiàn)，∴．∵，（依據(jù)①__________________________）．（依據(jù)②_________________________）又，．．……任務(wù)：（1）證明過(guò)程中的依據(jù)是：①__________________________________．②__________________________________．（2）將證明過(guò)程補(bǔ)充完整：（3）如圖3．在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)．若，，，，，請(qǐng)利用斯庫(kù)頓定理，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．2．如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以長(zhǎng)為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．3．閱讀與應(yīng)用請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：托勒密是“地心說(shuō)”的集大成者，著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．后人從托勒密的書(shū)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題：圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線(xiàn)的乘積．下面是對(duì)這個(gè)命題的證明過(guò)程．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點(diǎn)E．∵，∴．（依據(jù)）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務(wù)：(1)證明過(guò)程中的“依據(jù)”是______；(2)補(bǔ)全證明過(guò)程；(3)如圖3，的內(nèi)接五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)都為2，求對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)．4．閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家物理學(xué)家，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中記述了有關(guān)圓的15個(gè)引理，其中第三個(gè)引理是：如圖1，是的弦，點(diǎn)P在上，于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上且，在上取一點(diǎn)，使，連接，則．小明思考后，給出如下證明：如圖2,連接AP、、PQ、BP．∵，∴PA=PD（依據(jù)1）∴∵∴（依據(jù)2）…任務(wù)：(1)寫(xiě)出小明證明過(guò)程中的依據(jù)：依據(jù)1：________依據(jù)2：________(2)請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(3)小亮想到了不同的證明方法：如圖3，連接AP、、、．請(qǐng)你按照小亮的證明思路，寫(xiě)出證明過(guò)程．5．閱讀資料：我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1中即為弦切角．同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：A為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)弦AB經(jīng)過(guò)圓心O，且DB切于點(diǎn)B時(shí)，易證：弦切角．問(wèn)題拓展：如圖2，點(diǎn)A是優(yōu)弧BC上任意一點(diǎn)，DB切于點(diǎn)B，求證：．證明：連接BO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖2所示．∵DB與相切于點(diǎn)B，∴________∴．∵是直徑，∴_____________（依據(jù)）．∴．∴________________（依據(jù)）．又∵_(dá)_______________（依據(jù)），∴．(1)將上述證明過(guò)程及依據(jù)補(bǔ)充完整．(2)如圖3，的頂點(diǎn)C在上，AC和相交于點(diǎn)D，且AB是的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，連接BD．若，求BC的長(zhǎng)．6．閱讀：如圖1所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC、BD．BC是⊙O的直徑，AB＝AC．請(qǐng)說(shuō)明線(xiàn)段AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系．下面是王林解答該問(wèn)題的部分解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：解：AD+CD＝BD．理由如下：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AD交BD于點(diǎn)M，…(1)補(bǔ)全王林的解答過(guò)程；(2)如圖3所示，四邊形ABCD中∠ABC＝30°，連接AC、BD．若∠BAC＝∠BDC＝90°，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AD、BD、CD之間的關(guān)系式是．7．閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．黃金三角形與五角星當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?6°（或108°）時(shí)，它的底與腰的比（或腰與底的比）為，我們把這樣的三角形叫做黃金三角形．按下面的步驟畫(huà)一個(gè)五角星（如圖）：①作一個(gè)以AB為直徑的圓，圓心為O；②過(guò)圓心O作半徑OC⊥AB；③取OC的中點(diǎn)D，連接AD；④以D為圓心OD為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)E；⑤從點(diǎn)A開(kāi)始以AE為半徑順時(shí)針依次畫(huà)弧，正好把⊙O十等分（其中點(diǎn)F，G，B，H，I為五等分點(diǎn)）；⑥以點(diǎn)F，G，B，H，I為頂點(diǎn)畫(huà)出五角星．任務(wù)：(1)求出的值為；(2)如圖，GH與BF，BI分別交于點(diǎn)M，N，求證：△BMN是黃金三角形．8．閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德是古希臘的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家．在《阿基米德全集》里，他關(guān)于圓的引理的論證如下：命題：設(shè)AB是一個(gè)半圓的直徑，并且過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)與過(guò)該半圓上的任意一點(diǎn)D的切線(xiàn)交于點(diǎn)T，如果作DE垂直AB于點(diǎn)E，且與AT交于點(diǎn)F，則．證明：如圖1，延長(zhǎng)AD與BT交于點(diǎn)H，連接OD，OT．∵DT，BT與半圓O相切，∴……①∴．∵AB是半圓O的直徑，∴．②在中，由，可得，∴．∴．又∵，∴，，∴．又∵，∴，任務(wù)：(1)請(qǐng)將①處的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(2)證明過(guò)程中②的證明依據(jù)是．(3)如圖2，AB為⊙O的直徑，△BED是等邊三角形，BE是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)是B，點(diǎn)D在⊙O上，CD⊥AB，垂足為C，連接AE，交CD于點(diǎn)F．若⊙O的半徑為2，求CF的長(zhǎng)．9．閱讀材料，某個(gè)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)：在等腰中，AD平分，∵，，∴，他們猜想：在任意中，一個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)內(nèi)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．【證明猜想】如圖1所示，在中，AD平分，求證：．丹丹認(rèn)為，可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形的方法來(lái)證明；思思認(rèn)為，可以通過(guò)比較和面積的角度來(lái)證明．(1)請(qǐng)你從上面的方法中選擇一種進(jìn)行證明．(2)【嘗試應(yīng)用】如圖2，是的外接圓，點(diǎn)E是上一點(diǎn)（與B不重合，且，連結(jié)，并延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)D，H為AE的中點(diǎn)，連結(jié)BH交AC于點(diǎn)G，求的值．(3)【拓展提高】如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，，求的直徑（用x的代數(shù)式表示）．10．請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線(xiàn)ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線(xiàn)的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線(xiàn)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線(xiàn)AB，垂足為點(diǎn)H，連接MA，MB，MC．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，，連接AD，則的周長(zhǎng)是______．11．閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有．任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線(xiàn)部分應(yīng)填寫(xiě)的內(nèi)容為．（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)．12．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：如圖①，是⊙O的內(nèi)接三角形，是⊙O的直徑，平分交⊙O于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．則．下面是證明的部分過(guò)程：證明：如圖②，連接，是⊙O的直徑，，①________．（1）為⊙O的切線(xiàn)，，，（2）由（1）（2）得，②________________．平分．，③________，．任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，補(bǔ)全證明過(guò)程：①________，②________，③________；（2）若，求的長(zhǎng)．13．閱讀下列材料：平面上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）之間的距離表示為，稱(chēng)為平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)該公式，如圖，設(shè)P（x，y）是圓心坐標(biāo)為C（a，b）、半徑為r的圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P適合的條件可表示為，變形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我們稱(chēng)其為圓心為C（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圓心為（1，2），半徑為5．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列各題．（1）圓心為C（3，4），半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）若已知⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+y2＝22，圓心為C，請(qǐng)判斷點(diǎn)A（3，﹣1）與⊙C的位置關(guān)系．14．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：幾何定論，是指變化的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變（如定長(zhǎng)、定角、定比、定積等），或幾何元素間的某些性質(zhì)或位置關(guān)系不變（如定點(diǎn)、定線(xiàn)、定方向等）如圖①，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)為作直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為．如圖②，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相切時(shí)，點(diǎn)，重合，可得．如圖③，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交時(shí)，證明．證明：如圖③，連接OC、CD．∵、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴．∴∠1＝∠2.（依據(jù)）…任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是____________________；（2）根據(jù)以上的證明提示，完成上述證明過(guò)程；（3）如圖③，若，，求的半徑．15．閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱(chēng)“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)平分對(duì)邊”．任務(wù)：（1）按圖（1）寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；已知：__________________求證：_________________證明：（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．參考答案：1．解：（1）①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等∵和所對(duì)的弧是同一條弧∴①應(yīng)填：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等②兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似∵題目中的結(jié)論是兩個(gè)三角形相似，用的方式是三角形的兩個(gè)角分別相等∴②應(yīng)填兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似（2）∵，..（3）∵.∴弧弧∴∴平分.由斯庫(kù)頓定理，得又∵，，，，∴.解得或（舍去）?！?.∴∴∴解得∴2．（1）解：∵正五邊形．∴，∴，∵，∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，∴；（2）解：是正三角形，理由如下：連接，由作圖知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．3．（1）解：∵同弧所對(duì)的圓周角相等，，∴；故答案為：同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，連接AD，BE，∵，∴，∴，∴，∴BE=AD=BD，∵四邊形ABDE是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)為；4．（1）解：依據(jù)1為：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等；依據(jù)2：等弧所對(duì)的圓周角相等；故答案為：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等；等弧所對(duì)的圓周角相等；（2）證明：如圖1，連接AP、PD、PQ、BP，∵AC=CD，PC⊥AB，∴PA=PD．∴∠PAD=∠PDA．∵，∴∠QBP=∠ABP．∵四邊形ABQP為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠Q=180°．∵∠PDA+∠PDB=180°，∴∠Q=∠PDB．在△BQP和△BDP中，，∴△BQP≌△BDP（AAS）．∴BQ=BD．（3）證明：如圖2，連接AP、PD、PQ、DQ，∵AC=CD，PC⊥AB，∴PA=PD．∴∠PAD=∠PDA．∵，∴PQ=PA．∴PD=PQ．∴∠PDQ=∠PQD．∵四邊形ABQP為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠PQB=180°．∵∠PDA+∠PDB=180°，∴∠PQB=∠PDB．∴∠PQB-∠PQD=∠PDB-∠PDQ．即：∠BQD=∠BDQ．∴BQ=BD．5．（1）證明：連接BO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖2所示．∵DB與相切于點(diǎn)B，∴

90°

∴．∵是直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角是直角）∴．∴（同角的余角相等）．又∵（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴．故答案為：90°；直徑所對(duì)的圓周角是直角；同角的余角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等．（2）解：由題意，可知．∵，∴．

∴，∴∴，（舍去）．∴．6．（1）∵∠BAC＝∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，∵∠ABM和∠ACD都是對(duì)的圓周角，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，BM＝CD，∴△MAD是等腰直角三角形，∴MDAD，∴BD＝BM+DM＝CDAD，即AD+CD＝BD；（2）2ADCD＝BD．由∠BAC＝∠BDC＝90°，易得四點(diǎn)共圓，作MA⊥AD交BD于M，∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴BC＝2AC，ABAC，∵∠ABM和∠ACD都是對(duì)的圓周角，∴∠ABM＝∠ACD，∵∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD，∴，即AMAD，BMCD，在Rt△MAD中，由勾股定理得：DM2AD，∴BD＝BM+DMCD+2AD，即2ADCD＝BD，故答案為：2ADCD＝BD．7．（1）解：∵，∴，∵點(diǎn)D為OC中點(diǎn)，∴OD=OC=OA，設(shè)OD=x，則OA=2x，在中，由勾股定理可得，∴，∴AD=x，∴AE=AD-DE=x-x，∴，故答案為：；（2）證明：連接OH，OI，∵點(diǎn)F，G，B，H，I為五等分點(diǎn)，∴∠HOI=360°=72°，∴∠G=36°，同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，又∵∠BMN是△MHF的外角，∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°，同理∠BNM=72°，∴∠BMN=∠BNM，∴BM=BN，∵∠FBI=36°，∴△BMN是黃金三角形.8．（1）解：∴，在和中，∴，（2）解：直徑所對(duì)的圓周角是直角．（3）解：連接OD，如圖所示．∵是等邊三角形，∴，∵BE是⊙O的切線(xiàn)，∴，∴，∵，∴，∴，，∴DE為⊙O的切線(xiàn)．在中，，由題意，可知，∴．9．（1）選丹丹方法，丹丹認(rèn)為，可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形的方法來(lái)證明；證明：延長(zhǎng)AD交過(guò)點(diǎn)C與AB平行的直線(xiàn)交于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵CE∥AB，∴∠BAD=∠CED=∠CAD，∴AC=EC，∵AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴，∴；選擇思思方法：思思認(rèn)為，可以通過(guò)比較和面積的角度來(lái)證明．證明：過(guò)點(diǎn)D作，于點(diǎn)P，Q，∵AD平分，，，∴，∴，又∵，∴；（2）解：連接CE，∵是的外接圓，∠ABC=90°，∴AC為的直徑，∴∠AEC=90°，在Rt△ABC和Rt△AEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），∴，即AC為的角平分線(xiàn)，∴，又∵H為AE的中點(diǎn)，∴AH=，∴；（3）作交AE于點(diǎn)N，設(shè)BE交AC于M，∵BE=EF，∴，∵∠BAE=∠BFE，∴∠HBE=∠BAE，∵∠HEB=∠BEA，∴，∴，∵AB=AE，∴BH=BE，又∵，由（2）知BG=2GH=2x，∴，∴，∴，∴，∴，∵BN⊥A