線性代數(shù)與概率論（第五版） 課件 2.4 方陣的逆矩陣

第四節(jié)方陣的逆矩陣1本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)]

理解方陣的逆矩陣的概念。

理解伴隨矩陣法計(jì)算矩陣的逆矩陣。

熟練掌握初等行變換方法計(jì)算矩陣的逆矩陣。[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算矩陣的逆矩陣。逆矩陣2第四節(jié)方陣的逆矩陣定義2.14已知n階方陣A,若存在n階方陣B,使得AB=BA=I則稱n階方陣A可逆,并稱n階方陣B為n階方陣A的逆矩陣,記作A-1=B逆矩陣3如果n階方陣A可逆,它的逆矩陣是否唯一?設(shè)n階方陣B1與B2都是n階方陣A的逆矩陣,則有AB1=B1A=IAB2=B2A=I于是得到n階方陣B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2這說明n階方陣A的逆矩陣是唯一的那么,什么樣的方陣可逆?第四節(jié)方陣的逆矩陣逆矩陣4定理2.2如果n階方陣A可逆,則n階方陣A的行列式|A|≠0;如果n階方陣A的行列式|A|≠0,則n階方陣A可逆,且逆矩陣

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?5第四節(jié)方陣的逆矩陣

(1)判別二階方陣A是否可逆?(2)若二階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1例16第四節(jié)方陣的逆矩陣解:(1)計(jì)算二階方陣A的行列式

所以二階方陣A可逆(2)二階方陣A的逆矩陣

例27第四節(jié)方陣的逆矩陣

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1例28第四節(jié)方陣的逆矩陣解:(1)計(jì)算三階方陣A的行列式

按第1行展開

所以三階方陣A可逆例29第四節(jié)方陣的逆矩陣(2)計(jì)算行列式|A|中9個(gè)元素的代數(shù)余子式

例210第四節(jié)方陣的逆矩陣

例211第四節(jié)方陣的逆矩陣

例212第四節(jié)方陣的逆矩陣從而得到三階方陣A的伴隨矩陣

例213第四節(jié)方陣的逆矩陣所以三階方陣A的逆矩陣

例214第四節(jié)方陣的逆矩陣應(yīng)該注意的是:在求出逆矩陣表達(dá)式后,應(yīng)該進(jìn)行驗(yàn)算,即計(jì)算原方陣與所求得逆矩陣的積,只有這個(gè)積等于單位矩陣,所求得逆矩陣表達(dá)式才是正確的例1與例2中,原方陣與所求得逆矩陣的積等于單位矩陣,說明所求得逆矩陣表達(dá)式正確無(wú)誤求逆矩陣15考慮n階方陣A可逆,用逆矩陣A-1左乘n階方陣A,有A-1A=I根據(jù)定理2.1說明n階方陣A經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣I而乘在n階方陣A左面的逆矩陣A-1就是單位矩陣I作同樣若干次初等行變換所得到的n階方陣第四節(jié)方陣的逆矩陣求逆矩陣16于是得到應(yīng)用矩陣的初等行變換求n階方陣A的逆矩陣A-1的方法:

第四節(jié)方陣的逆矩陣求逆矩陣17

步驟1：

第四節(jié)方陣的逆矩陣求逆矩陣18步驟2

第四節(jié)方陣的逆矩陣求逆矩陣19

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?20

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1.第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?21解:(1)計(jì)算三階方陣A的行列式

所以三階方陣A可逆.

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?22第2行的-1倍加到第1行上去

第3行的-1倍加到第2行上去

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?23所以三階方陣A的逆矩陣

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?24

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1.第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?25解:(1)計(jì)算三階方陣A的行列式

第1行分別加到第2行與第3行上去

所以三階方陣A可逆.第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?26

第1行分別加到第2行與第3行上去

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?27第2行的-1倍加到第1行上去

第3行的-1倍加到第1行上去

所以三階方陣A的逆矩陣

第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?28

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1.第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?29解:(1)計(jì)算三階方陣A的行列式

=4+4+0-0-2-6=0所以三階方陣A不可逆.第四節(jié)方陣的逆矩陣逆矩陣的性質(zhì)30性質(zhì)1如果方陣A可逆,則它的逆矩陣A-1也可逆,且(A-1)-1=A性質(zhì)2如果方陣A可逆,則它的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T逆矩陣的性質(zhì)第四節(jié)方陣的逆矩陣解矩陣方程31在一定條件下,矩陣與矩陣的乘法運(yùn)算能夠滿足消去律:如果方陣A可逆,從AB=O,有A-1AB=A-1O,即IB=O,于是得到B=O如果方陣A可逆,從AB=AC,有A-1AB=A-1AC,即IB=IC,于是得到B=C.第四節(jié)方陣的逆矩陣解矩陣方程32考慮矩陣方程AX=B在方陣A可逆條件下,矩陣方程AX=B等號(hào)兩端皆左乘逆矩陣A-1,得到它的解為X=A-1B第四節(jié)方陣的逆矩陣解矩陣方程33考慮矩陣方程XA=B在方陣A可逆條件下,矩陣方程XA=B等號(hào)兩端皆右乘逆矩陣A-1,得到它的解為X=BA-1第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?34第四節(jié)方陣的逆矩陣解矩陣方程

解:所給矩陣方程的解為

系數(shù)矩陣35最后考慮由n個(gè)線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組

由未知量系數(shù)構(gòu)成的n階方陣稱為系數(shù)矩陣,記作A,即矩陣

第四節(jié)方陣的逆矩陣解線性方程組36由未知量構(gòu)成的矩陣稱為未知量矩陣,記作X;由常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣,記作B.即矩陣

這時(shí)此線性方程組可以表示為矩陣形式AX=B如果系數(shù)行列式|A|≠0,即系數(shù)矩陣A可逆,則此線性方程組有唯一解X=A-1B第四節(jié)方陣的逆矩陣?yán)?37第四節(jié)方陣的逆矩陣

(1)判別有無(wú)唯一解(2)若有唯一解,則求唯一解例738第四節(jié)方陣的逆矩陣

這時(shí)此線性方程組可以表示為矩陣形式AX=B例739第四節(jié)方陣的逆矩陣(1)計(jì)算系數(shù)矩陣A