線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第六章 幾種重要的概率分布

第六章

幾種重要的概率分布第一節(jié)

二項分布第二節(jié)

泊松分布第三節(jié)

指數(shù)分布第四節(jié)

正態(tài)分布本章知識思維導圖引導案例---三個臭皮匠頂一個諸葛亮假設(shè)某籃球運動員投籃的命中率是80%，有三個普通人要與該籃球運動員比賽投籃，假若每人的命中率都為45%，只要有一人命中就算贏，問這三個人能贏過這名籃球運動員嗎？分析：本案例的解決涉及到n重貝努里試驗的概率計算，本章要介紹幾種重要的常見的概率分布。

第一節(jié)二項分布本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

掌握二項分布的概念及數(shù)字特征。[能力目標]

能計算二項分布的概率。

能根據(jù)實際問題分析判斷是否為二項分布。n次獨立試驗5進行n次試驗,若任何一次試驗各種結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其他各次試驗結(jié)果發(fā)生與否的影響,則稱這n次試驗相互獨立.當然,相互獨立的n次試驗中,各次的試驗結(jié)果相互獨立.射手射擊試驗6設(shè)事件A1表示第1次中靶,事件A2表示第2次中靶,事件A3表示第3次中靶,事件A4表示第4次中靶事件B表示在4次射擊中恰好有2次中靶顯然,4次射擊的全部可能結(jié)果共有24=16類情況,當然這16類情況中每類情況發(fā)生的可能性并不完全是等同的考慮某射手射擊,射擊結(jié)果分中靶與不中靶兩種,若每次射擊相互獨立,中靶的概率皆為0.7,討論在4次射擊中恰好有2次中靶的概率射手射擊試驗7

射手射擊試驗8由于事件A1,A2,A3,A4相互獨立,根據(jù)§1.3乘法公式特殊情況的推廣,有概率P(B1)=P(B2)=P(B3)=P(B4)=P(B5)=P(B6)=(0.7)2×(0.3)2注意到事件B=B1+B2+B3+B4+B5+B6且事件B1,B2,B3,B4,B5,B6兩兩互斥射手射擊試驗9根據(jù)§1.2加法公式特殊情況的推廣,所以概率P(B)=P(B1+B2+B3+B4+B5+B6)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)+P(B5)+P(B6)=6×(0.7)2×(0.3)2=0.2646產(chǎn)品抽取試驗10考慮一批產(chǎn)品由正品與廢品兩部分構(gòu)成,每次從中任取1件產(chǎn)品,放回取n次,若這批產(chǎn)品的正品率為p(0<p<1),討論在n次抽取中恰好有i(i=0,1,2,…,n)次取到正品的概率設(shè)事件A1表示第1次取到正品,事件A2表示第2次取到正品,…,事件An表示第n次取到正品,事件B表示在n次抽取中恰好有i次取到正品顯然,n次抽取的全部可能結(jié)果共有2n類情況,當然這2n類情況中每類情況發(fā)生的可能性并不完全是等同的產(chǎn)品抽取試驗11

產(chǎn)品抽取試驗12

……產(chǎn)品抽取試驗13由于事件A1,A2,…,An相互獨立,根據(jù)§1.3乘法公式特殊情況的推廣,有概率P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=piqn-i

(q=1-p)注意到事件B=B1+B2+…+Bm且事件B1,B2,…,Bm兩兩互斥產(chǎn)品抽取試驗14根據(jù)§1.2加法公式特殊情況的推廣,所以概率P(B)=P(B1+B2+…+Bm)=P(B1)+P(B2)+…+P(Bm)=mpiqn-i

n重貝努里試驗15一般地,在每次試驗中,事件A或者發(fā)生或者不發(fā)生,若每次試驗的結(jié)果與其他各次試驗結(jié)果無關(guān),同時在每次試驗中,事件A發(fā)生的概率皆為p(0<p<1),則稱這樣的n次獨立重復試驗為n重貝努里(Bernoulli)試驗或獨立試驗序列概型在n重貝努里試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)X是一個離散型隨機變量,它的所有可能取值為0,1,2,…,n,共有n+1個值n重貝努里試驗16在一次試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),從而事件A不發(fā)生的概率為q=1-p顯然,n次試驗的全部可能結(jié)果共有2n類情況,當然這2n類情況中每類情況發(fā)生的可能性并不完全是等同的

n重貝努里試驗17它所包括的每類情況都是事件A在i次試驗中發(fā)生且在另外n-i次試驗中不發(fā)生,根據(jù)§1.3乘法公式特殊情況的推廣,其發(fā)生的概率皆為piqn-i由于事件X=i所包括的各類情況兩兩互斥,根據(jù)§1.2加法公式特殊情況的推廣,所以概率

二項分布18定義3.1若離散型隨機變量X的概率分布用公式表示為

則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記作X~B(n,p)容易看出,當n=1時,二項分布就化為兩點分布.所以兩點分布是二項分布的特殊情況,二項分布是兩點分布的推廣.二項分布的數(shù)學期望與方差19定理3.1如果離散型隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即離散型隨機變量X~B(n,p),則其數(shù)學期望與方差分別為E(X)=npD(X)=npq

(q=1-p)二項分布的數(shù)學期望與方差20在實際問題中,若n次試驗相互獨立,且各次試驗是重復試驗,即事件A在每次試驗中發(fā)生的概率皆為p(0<p<1)則在這n次獨立重復試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)X是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為n,p的二項分布,即離散型隨機變量X~B(n,p)例121某連鎖總店每天向10家商店供應貨物,每家商店訂貨與否相互獨立,且每家商店訂貨的概率皆為0.4,求10家商店中訂貨商店家數(shù)X的概率分布.解:一家商店向連鎖總店通知訂貨情況就是一次試驗,10家商店向連鎖總店分別通知訂貨情況就是10次試驗,由于每家商店訂貨與否相互獨立,因而這10次試驗是相互獨立的例122由于商店訂貨這個事件在每次試驗中發(fā)生的概率皆為0.4,因而各次試驗是在相同條件下進行的重復試驗在這10次獨立重復試驗中,商店訂貨這個事件發(fā)生的次數(shù)就是10家商店中訂貨商店家數(shù)X,是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為n=10,p=0.4的二項分布,即離散型隨機變量X~B(10,0.4)例123離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,…,10,共有11個值.由于每家商店訂貨的概率皆為0.4,從而不訂貨的概率皆為0.6

例124事件X=i發(fā)生的概率即為離散型隨機變量X的概率分布,所以訂貨商店家數(shù)X的概率分布用公式表示為

例225口袋里裝有4個黑球與1個白球,每次任取1個球,放回取3次,求所取過的3個球中恰好有2個黑球的概率.解:由于放回抽取,從而這3次抽取相互獨立,而且是在相同條件下進行的重復試驗

例226

事件X=2表示所取過的3個球中恰好有2個黑球,其發(fā)生的概率為

例327某柜臺上有4位售貨員,只準備了兩臺臺秤,已知每位售貨員在8小時內(nèi)均有2小時使用臺秤.求臺秤不夠用的概率.

例328臺秤不夠用,意味著同時使用臺秤的售貨員超過2個,因此事件X>2表示臺秤不夠用注意到在X>2范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值只有兩個,即X=3與X=4,有概率P{X>2}=P{X=3}+P{X=4}例329

≈0.0508

例430某廠只有6臺同型號機床,每臺機床開動時所消耗的電功率皆為7.5單位,每臺機床在1小時內(nèi)均有24分鐘開動,且各臺機床開動與否相互獨立,求全部機床消耗電功率超過30單位的概率.

例431

例432注意到在X>4范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值只有兩個,即X=5與X=6,有概率P{X>4}=P{X=5}+P{X=6}

≈0.0410例533

例534

例535事件X=2表示在4次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生2次,其發(fā)生的概率為P{X=2}

例636

解:由于離散型隨機變量X~B(2,p),計算概率P{X≥1}=1-P{X=0}

例637

例738在進行100重貝努里試驗時,每次試驗中事件A發(fā)生的概率皆為0.8,設(shè)離散型隨機變量X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則它的標準差為

.

解:顯然,離散型隨機變量X~B(100,0.8),因此標準差

4例839設(shè)離散型隨機變量X~B(n,p),若數(shù)學期望E(X)=1.6,方差D(X)=1.28,則參數(shù)n,p的值為(

).(a)n=2,p=0.8

(b)n=4,p=0.4(c)n=8,p=0.2

(d)n=16,p=0.1例840解:從已知條件得到關(guān)系式

解此方程組,容易解出未知量

例841從而得到未知量p=1-q=1-0.8=0.2

即參數(shù)n=8,p=0.2(c)例942若離散型隨機變量X~B(10,0.4),則離散型隨機變量X2的數(shù)學期望E(X2)=(

).(a)2.4

(b)4(c)16 (d)18.4例943解:從已知條件得到數(shù)學期望E(X)=np=10×0.4=4方差D(X)=npq=10×0.4×0.6=2.4例944根據(jù)§2.2定理2.1即計算方差的簡便公式D(X)=E(X2)-(E(X))2得到數(shù)學期望E(X2)=D(X)+(E(X))2=2.4+42=18.4(d)45最后應該說明的是:對于產(chǎn)品的抽檢問題,二項分布的背景是放回抽取.但在產(chǎn)品總數(shù)很大,且抽取產(chǎn)品數(shù)目又很小的條件下,可將不放回抽取近似看作放回抽取,應用二項分布得到結(jié)果46本次課程結(jié)束第二節(jié)泊松分布本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

掌握泊松分布的概念及數(shù)字特征。[能力目標]

能計算泊松分布的概率。

能根據(jù)實際問題分析判斷是否為泊松分布。泊松分布48定義3.2若離散型隨機變量X的概率分布用公式表示為

則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布泊松分布49泊松分布是一種常見分布,在實際問題中,服從泊松分布的離散型隨機變量很多如一匹布上疵點的個數(shù)一本書一頁上印刷錯誤的個數(shù)在一天中進入某商店的人數(shù)某段時間內(nèi)電話交換臺收到呼喚的次數(shù)某段時間內(nèi)候車室里旅客的人數(shù)泊松分布的數(shù)學期望與方差50定理3.2如果離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,則其數(shù)學期望與方差分別為E(X)=λD(X)=λ例151一頁書上印刷錯誤的個數(shù)X是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為λ的泊松分布,一本書共300頁,有21個印刷錯誤,求任取1頁書上沒有印刷錯誤的概率.

例152

事件X=0表示任取1頁書上沒有印刷錯誤,其發(fā)生的概率為

例253一個鑄件上砂眼的個數(shù)X是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為λ=0.8的泊松公布,規(guī)定砂眼個數(shù)不多于1個的鑄件為合格品,求鑄件的合格品率.解:事件X≤1表示砂眼個數(shù)不多于1個,即鑄件為合格品注意到在X≤1范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值只有兩個,即X=0與X=1例254有概率P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}

=e-0.8+0.8e-0.8=1.8e-0.8≈0.8088所以鑄件的合格品率為1.8e-0.8≈0.8088例355每分鐘內(nèi)電話交換臺收到呼喚的次數(shù)X是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為λ的泊松分布,平均每分鐘內(nèi)電話交換臺收到3次呼喚,求任意一分鐘內(nèi)電話交換臺收到呼喚次數(shù)超過2次的概率.解:由于平均每分鐘內(nèi)電話交換臺收到3次呼喚,即離散型隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=3又由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,說明離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ=E(X)=3的泊松分布例356事件X>2表示一分鐘內(nèi)電話交換臺收到呼喚次數(shù)超過2次,注意到在X>2范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值有無限可列個,即X=3,X=4,…,因此考慮它的對立事件事件X>2的對立事件是事件X≤2,注意到在X≤2范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值只有三個,即X=0,X=1及X=2例357根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況,事件X>2發(fā)生的概率為P{X>2}=1-P{X≤2}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2})

例358

例459某種花布一匹布上疵點的個數(shù)X是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為λ的泊松分布,已知一匹布上有8個疵點與有7個疵點的可能性相同,問一匹布上平均有多少個疵點?解:由于已知一匹布上有8個疵點與有7個疵點的可能性相同,即概率P{X=8}=P{X=7}例460又由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,從而有關(guān)系式

即有

例461注意到λ>0,因此得到參數(shù)λ=8于是數(shù)學期望即均值E(X)=λ=8所以一匹布上平均有8個疵點例562某種商品日銷售量X百件是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為λ=2的泊松分布,求:(1)這種商品任1日銷售量恰好為2百件的概率;(2)這種商品任4日銷售量皆為2百件的概率.例563解:(1)事件X=2表示這種商品任1日銷售量為2百件,其發(fā)生的概率為

所以這種商品任1日銷售量恰好為2百件的概率為2e-2≈0.2706.例564(2)這種商品任4日銷售量中銷售量為2百件的日數(shù)Y是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為n=4,p=2e-2的二項分布,即離散型隨機變量Y~B(4,2e-2)事件Y=4表示這種商品任4日銷售量皆為2百件,其發(fā)生的概率為

所以這種商品任4日銷售量皆為2百件的概率為16e-8≈0.0048例665

已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ=4的泊松分布,則概率P{X=2}=

.

解:由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ=4的泊松分布,因此概率

0.1465例766設(shè)離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,且已知它取值為零的概率P{X=0}=e-1,求:(1)參數(shù)λ值;(2)概率P{X=3}.例767解:(1)由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,因此概率

它應等于所給概率值e-1,有關(guān)系式e-λ=e-1所以得到參數(shù)λ=1例768(2)由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ=1的泊松分布,所以概率

例869設(shè)離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,且已知有概率等式P{X=1}=P{X=2},求:(1)參數(shù)λ值;(2)概率P{2<X<6};(3)數(shù)學期望E(X);(4)方差D(X).例870解:(1)由于已知概率等式P{X=1}=P{X=2}又由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,從而有關(guān)系式

即有

注意到λ>0,所以得到參數(shù)λ=2例871(2)由于離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ=2的泊松分布,注意到在2<X<6范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值只有三個,即X=3,X=4及X=5所以概率P{2<X<6}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}

例872(3)數(shù)學期望E(X)=λ=2(4)方差D(X)=λ=2例973已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,則離散型隨機變量X2的數(shù)學期望E(X2)=(

).(a)Λ (b)λ2(c)λ-λ2 (d)λ+λ2解:根據(jù)§2.2定理2.1即計算方差的簡便公式D(X)=E(X2)-(E(X))2得到數(shù)學期望E(X2)=D(X)+(E(X))2=λ+λ2d例1074已知離散型隨機變量X,Y皆服從泊松分布,若數(shù)學期望E(X)=16,E(Y)=3,則下列方差計算結(jié)果中(

)正確.

例1075解:由于離散型隨機變量X,Y皆服從泊松分布,因而方差D(X)=E(X)=16D(Y)=E(Y)=3根據(jù)§2.4隨機變量方差的性質(zhì)3,于是方差

D(-Y)=(-1)2D(Y)=1×3=376考慮離散型隨機變量X,它服從參數(shù)為n,p的二項分布,即離散型隨機變量X~B(n,p)當n≥10,p≤0.1,且使得λ=np≤5時,則離散型隨機變量X近似服從參數(shù)為λ=np的泊松分布在計算泊松分布的概率時,可以查泊松分布概率值表77在表中第一行找到給定的參數(shù)值λ,再在表中第一列找到離散型隨機變量X的取值i,其縱橫交叉處的數(shù)值即為所求概率值如已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ=5的泊松分布,查附表一可以得到概率P{X=2}=0.0842P{X=5}=0.175578本次課程結(jié)束第三節(jié)指數(shù)分布本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

掌握指數(shù)分布的概念及數(shù)字特征。[能力目標]

能計算指數(shù)分布的概率。

能根據(jù)實際問題分析判斷是否為指數(shù)分布。指數(shù)分布80

定義3.3若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

則稱連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布指數(shù)分布81指數(shù)分布的概率密度曲線如圖在實際問題中,服從指數(shù)分布的連續(xù)型隨機變量很多,如某些電子元件的壽命,隨機服務系統(tǒng)中的服務時間,等等.指數(shù)分布82如果連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,在b>a≥0的條件下,分別討論事件a<X<b,X>a及X<b發(fā)生的概率由于連續(xù)型隨機變量在任一區(qū)間上取值的概率等于它的概率密度在該區(qū)間上的積分,并注意到連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

指數(shù)分布83事件a<X<b發(fā)生的概率P{a<X<b}

指數(shù)分布84事件X>a發(fā)生的概率P(X>a)

指數(shù)分布85再根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況,事件X<b發(fā)生的概率P{X<b}=1-P{X≥b}=1-e-λb指數(shù)分布86綜合上面的討論,得到計算指數(shù)分布概率的公式:如果連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,在b>a≥0的條件下,則概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

=e-λa-e-λbP{X>a}=P{X≥a}=e-λaP{X<b}=P{X≤b}=1-e-λb指數(shù)分布的數(shù)學期望與方差87定理3.3如果連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則其數(shù)學期望與方差分別為

例188某種型號燈泡的使用壽命X小時是一個連續(xù)型隨機變量,其概率密度為

任取1只燈泡,求這只燈泡使用壽命在600小時~1200小時的概率.例189解:由于連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

例190事件600<X<1200表示任取1只燈泡使用壽命在600小時~1200小時,根據(jù)指數(shù)分布概率的計算公式,其發(fā)生的概率為P{600<X<1200}

=e-1-e-2≈0.2326所以任取1只燈泡使用壽命在600小時~1200小時的概率為e-1-e-2≈0.2326例291修理某種機械所需要的時間X小時是一個連續(xù)型隨機變量,其概率密度為

任取1臺待修機械,求修理這臺機械需要時間超過2小時的概率.例292解:由于連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

說明連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ=1的指數(shù)分布.例293事件X>2表示修理任1臺待修機械需要時間超過2小時,根據(jù)指數(shù)分布概率的計算公式,其發(fā)生的概率為P{X>2}=e-1×2=e-2≈0.1353所以修理任1臺待修機械需要時間超過2小時的概率為e-2≈0.1353例394

(1)任取1只電子元件使用壽命超過1000小時的概率(2)任取2只電子元件使用壽命皆超過1000小時的概率.例395解:(1)事件X>1000表示任取1只電子元件使用壽命超過1000小時,根據(jù)指數(shù)分布概率的計算公式,其發(fā)生的概率為P{X>1000}

=e-1≈0.3679所以任取1只電子元件使用壽命超過1000小時的概率為e-1≈0.3679例396(2)任取2只電子元件中使用壽命超過1000小時的電子元件只數(shù)Y是一個離散型隨機變量,它服從參數(shù)為n=2,p=e-1的二項分布,即離散型隨機變量

例397事件Y=2表示任取2只電子元件使用壽命皆超過1000小時,其發(fā)生的概率為P{Y=2}

=e-2≈0.1353所以任取2只電子元件使用壽命皆超過1000小時的概率為e-2≈0.1353例498已知連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ=0.1的指數(shù)分布,則概率P{X≤20}=

.

解:由于連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ=0.1的指數(shù)分布,根據(jù)指數(shù)分布概率的計算公式,得到概率P{X≤20}=1-e-0.1×20=1-e-2≈0.86470.8647例599設(shè)連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,若已知其方差D(X)=4,則數(shù)學期望E(X)=(

).

例5100解:從已知條件得到關(guān)系式

注意到λ>0,容易解出

于是得到數(shù)學期望

（b）例6101已知連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,求它取值大于數(shù)學期望的概率P{X>E(X)}.

例7102設(shè)連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,且已知它取值大于100的概率P{X>100}=e-2,求:(1)參數(shù)λ值;(2)概率P{50<X<150};(3)數(shù)學期望E(2X+1);(4)方差D(2X+1).例7103解:(1)由于連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,根據(jù)指數(shù)分布概率的計算公式,計算概率P{X>100}=e-λ×100=e-100λ它應等于所給概率值e-2,有關(guān)系式e-100λ=e-2所以得到參數(shù)

例7104

P{50<X<150}

=e-1-e-3≈0.3181例7105(3)由于數(shù)學期望

根據(jù)§2.4隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì)4,所以數(shù)學期望E(2X+1)=2E(X)+1=2×50+1=101例7106(4)由于方差

根據(jù)§2.4隨機變量方差的性質(zhì)4,所以方差D(2X+1)=22D(X)=4×2500=10000107本次課程結(jié)束第四節(jié)正態(tài)分布本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

掌握標準及一般正態(tài)分布的概念及數(shù)字特征。

掌握一般正態(tài)分布如何轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。[能力目標]

能計算標準及一般正態(tài)分布的概率。

能根據(jù)實際問題分析判斷是否為正態(tài)分布。標準正態(tài)分布109定義3.4若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

則稱連續(xù)型隨機變量X服從標準正態(tài)分布,記作X~N(0,1)標準正態(tài)分布性質(zhì)110標準正態(tài)分布的概率密度φ0(x)具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

φ0(-x)=φ0(x),說明函數(shù)φ0(x)為偶函數(shù),圖形對稱于縱軸;標準正態(tài)分布性質(zhì)111

性質(zhì)2計算一階導數(shù)

令一階導數(shù)φ'0(x)=0,得到駐點x=0.列表如表標準正態(tài)分布性質(zhì)112x(-∞,0)0(0,+∞)φ0'(x)+0-

φ0(x)

↗

↘

標準正態(tài)分布性質(zhì)113性質(zhì)3計算二階導數(shù)

令二階導數(shù)φ0″(x)=0,得到根x=-1與x=1.列表如表標準正態(tài)分布性質(zhì)114x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)φ0″(x)+0-0+y=φ0(x)∪∩∪

標準正態(tài)分布概率密度曲線115標準正態(tài)分布的概率密度曲線如圖標準正態(tài)分布函數(shù)116

標準正態(tài)分布函數(shù)117有極限

根據(jù)反映變上限定積分重要性質(zhì)的定理,得到一階導數(shù)

Φ0'(x)=φ0(x)說明函數(shù)Φ0(x)為φ0(x)的一個原函數(shù)標準正態(tài)分布概率計算118由于連續(xù)型隨機變量在任一區(qū)間上取值的概率等于它的概率密度在該區(qū)間上的積分,因而概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

=Φ0(b)-Φ0(a)標準正態(tài)分布概率計算119作為這個計算概率公式的特殊情況,有概率P{X<b}=P{X≤b}

=Φ0(b)標準正態(tài)分布概率計算120P{X>a}=P{X≥a}

=1-Φ0(a)標準正態(tài)分布函數(shù)值121注意到標準正態(tài)分布函數(shù)Φ0(x)不是初等函數(shù),因而直接計算函數(shù)值是很困難的,必須通過查標準正態(tài)分布函數(shù)表得到結(jié)果表中第一列為x的整數(shù)及十分位數(shù),表中第一行為x的百分位數(shù),其縱橫交叉處的數(shù)值即為函數(shù)值Φ0(x)如查表得到函數(shù)值Φ0(0)=0.5,Φ0(1)=0.8413,Φ0(1.96)=0.9750,Φ0(2)=0.9772標準正態(tài)分布函數(shù)值122標準正態(tài)分布函數(shù)表中x的取值范圍為[0,3.9),若x≥3.9,則可取函數(shù)值Φ0(x)≈1若x取值為-a<0,則無法直接查表而得到函數(shù)值Φ0(-a)標準正態(tài)分布函數(shù)值123這時從圖容易看出:左邊陰影部分面積

標準正態(tài)分布函數(shù)值124右邊陰影部分面積

由于概率密度曲線φ0(x)對稱于縱軸,從而左、右兩邊陰影部分面積相等,于是有Φ0(-a)=1-Φ0(a)

(a>0)查表可以得到函數(shù)值Φ0(a),進而計算出函數(shù)值Φ0(-a)標準正態(tài)分布函數(shù)值125應用上述關(guān)系式,容易得到概率P{|X|≤k}

(k>0)=P{-k≤X≤k}=Φ0(k)-Φ0(-k)=Φ0(k)-(1-Φ0(k))=2Φ0(k)-1標準正態(tài)分布概率公式126綜合上面的討論,得到利用標準正態(tài)分布函數(shù)表計算標準正態(tài)分布概率的公式:如果連續(xù)型隨機變量X服從標準正態(tài)分布,即連續(xù)型隨機變量X~N(0,1),則概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=Φ0(b)-Φ0(a)概率公式特殊情況127作為這個計算概率公式的特殊情況,有概率P{X<b}=P{X≤b}=Φ0(b)P{X>a}=P{X≥a}=1-Φ0(a)P{|X|<k}=P{|X|≤k}=2Φ0(k)-1

(k>0)在計算概率的過程中,用到函數(shù)值Φ0(0)=0.5Φ0(-a)=1-Φ0(a)

(a>0)例1128

已知連續(xù)型隨機變量X服從標準正態(tài)分布N(0,1),查表得函數(shù)值Φ0(1)=0.8413,則概率P{-1<X<0}=

.

解:根據(jù)標準正態(tài)分布概率的計算公式,同時注意到函數(shù)值Φ0(0)=0.5,因此概率P{-1<X<0}=Φ0(0)-Φ0(-1)=Φ0(0)-(1-Φ0(1))=Φ0(0)+Φ0(1)-1=0.5+0.8413-1=0.34130.3413例2129已知連續(xù)型隨機變量X~N(0,1),查表得函數(shù)值Φ0(2)=0.9772,求:(1)概率P{|X|<2};(2)概率P{X<-2}.例2130解:根據(jù)標準正態(tài)分布概率的計算公式,所以概率(1)P{|X|<2}=2Φ0(2)-1=2×0.9772-1=0.9544(2)P{X<-2}=Φ0(-2)=1-Φ0(2)=1-0.9772=0.0228例3131已知連續(xù)型隨機變量X~N(0,1),若概率P{X>λ}=0.025,則常數(shù)λ=________.解:根據(jù)標準正態(tài)分布概率的計算公式,得到概率

P{X>λ}=1-Φ0(λ)例3132它應等于所給概率值0.025,有關(guān)系式1-Φ0(λ)=0.025即函數(shù)值Φ0(λ)=0.9750查表,得到常數(shù)λ=1.96正態(tài)分布133定義3.5若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

則稱連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布,記作X~N(μ,σ2)容易看出,當參數(shù)μ=0,σ=1時,正態(tài)分布就化為標準正態(tài)分布,所以標準正態(tài)分布是正態(tài)分布的特殊情況.正態(tài)分布134正態(tài)分布的概率密度曲線對稱于直線x=μ,參數(shù)μ決定曲線的中心位置若參數(shù)μ增大則曲線向右平移,若參數(shù)μ減少則曲線向左平移參數(shù)σ決定曲線的形狀,若參數(shù)σ越大則曲線越平坦,若參數(shù)σ越小則曲線越陡峭正態(tài)分布135正態(tài)分布的概率密度曲線如圖正態(tài)分布是最常見也是最重要的一種分布,取中間值可能性大且取兩頭值可能性小的連續(xù)型隨機變量通常都服從正態(tài)分布正態(tài)分布與標準正態(tài)分布136定理3.4

Y~N(0,1)正態(tài)分布與標準正態(tài)分布137

正態(tài)分布與標準正態(tài)分布138于是得到利用標準正態(tài)分布函數(shù)表計算正態(tài)分布概率的公式:如果連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布,即連續(xù)型隨機變量X~N(μ,σ2),則概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

正態(tài)分布與標準正態(tài)分布139作為這個計算概率公式的特殊情況,有概率

正態(tài)分布與標準正態(tài)分布140考慮連續(xù)型隨機變量X~N(μ,σ2),計算它在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率根據(jù)正態(tài)分布概率的計算公式,有概率P{μ-3σ<X<μ+3σ}

=Φ0(3)-Φ0(-3)=Φ0(3)-(1-Φ0(3))=2Φ0(3)-1=2×0.9987-1=0.9974正態(tài)分布與標準正態(tài)分布141從這個計算結(jié)果可以看出:連續(xù)型隨機變量X的取值幾乎全部落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi),落在這個區(qū)間外的概率不到0.003盡管服從正態(tài)分布的隨機變量X的取值范圍是(-∞,+∞),但往往認為它的取值范圍是有限區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ),這個結(jié)論稱為3σ原則正態(tài)分布的數(shù)學期望與方差142定理3.5如果連續(xù)型隨機變量X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布,即連續(xù)型隨機變量X~N(μ,σ2),則其數(shù)學期望與方差分別為E(X)=μD(X)=σ2正態(tài)分布的數(shù)學期望與方差143定理3.5說明正態(tài)分布中的兩個參數(shù)μ與σ分別是服從正態(tài)分布的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望與標準差.因而若已知數(shù)學期望與方差,則完全確定正態(tài)分布.推論如果連續(xù)型隨機變量X服從標準正態(tài)分布,即連續(xù)型隨機變量X~N(0,1),則其數(shù)學期望E(X)=0,方差D(X)=1例4144

已知連續(xù)型隨機變量X~N(-3,4),則連續(xù)型隨機變量Y=(

)~N(0,1).

解:由于已知連續(xù)型隨機變量X~N(-3,4),說明參數(shù)μ=-3,σ=2,因此連續(xù)型隨機變量

b例5145已知連續(xù)型隨機變量X~N(4,9),查表得函數(shù)值Φ0(1.96)=0.9750,則概率P{X<9.88}=

.

解:根據(jù)正態(tài)分布概率的計算公式,因此概率

0.9750例6146已知連續(xù)型隨機變量X~N(μ,σ2),查表得函數(shù)值Φ0(1.16)=0.8770,則概率P{|X-μ|≤1.16σ}=

.

例6147根據(jù)標準正態(tài)分布概率的計算公式,并注意到參數(shù)σ>0,因此概率P{|X-μ|≤1.16σ}

=2Φ0(1.16)-1=2×0.8770-1=0.7540例7148已知連續(xù)型隨機變量X~N(40,52),若概率P{X<a}=0.9850,則常數(shù)a=

.

解:根據(jù)正態(tài)分布概率的計算公式,得到概率

例7149它應等于所給概率值0.9850,即函數(shù)值

查表,得到關(guān)系