線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第三章 線性方程組

第三章線性方程組第一節(jié)線性方程組的一般解法第三節(jié)齊次線性方程組第二節(jié)線性方程組解的判別第四節(jié)投入產(chǎn)出問題12本章知識(shí)思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---投入產(chǎn)出模型3假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由煤炭、電力和鋼鐵三個(gè)部門組成，每個(gè)部門的年度總產(chǎn)出已知，并且每個(gè)部門的總產(chǎn)出在各部門之間分配已知如下表3-1：

因所有產(chǎn)出都必須分配，求出平衡價(jià)格使得每個(gè)部門的收支平衡。分析：為使每個(gè)部門的收支都平衡，就是各部門的總收入等于它的總支出，就是本章要學(xué)習(xí)的齊次線性方程組的求解問題。

第一節(jié)線性方程組的一般解法4本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)] 了解線性方程組的同解變換。 熟練掌握線性方程組的初等行變換解法。[能力目標(biāo)] 能用矩陣的初等行變換確定線性方程組解的結(jié)構(gòu)及求出方程組的解。5考慮由m個(gè)線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組

由未知量系數(shù)構(gòu)成的m行n列矩陣稱為系數(shù)矩陣,記作A,即矩陣

6由未知量構(gòu)成的矩陣稱為未知量矩陣,記作X由常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣,記作B

7這時(shí)此線性方程組可以表示為矩陣形式AX=B顯然,線性方程組解的情況取決于未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)增廣矩陣8定義3.1已知由m個(gè)線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組AX=B,由未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的m行n+1列矩陣稱為增廣矩陣,記作

解線性方程組最常用的方法是消元法,即對(duì)線性方程組作同解變換.線性方程組的同解變換9定義3.2對(duì)線性方程組施以下列三種變換:(1)交換線性方程組的任意兩個(gè)線性方程式(2)線性方程組的任意一個(gè)線性方程式乘以非零常數(shù)k(3)線性方程組任意一個(gè)線性方程式的常數(shù)k倍加到另外一個(gè)線性方程式上去稱為線性方程組的同解變換.例110解線性方程組

解:首先交換第1個(gè)線性方程式與第2個(gè)線性方程式,得到

例111再將第1個(gè)線性方程式的-3倍加到第2個(gè)線性方程式上去,得到

至此第2個(gè)線性方程式不含未知量x1,只含未知量x2,可以解出未知量x2的值,由于系數(shù)行列式

例112

最后將第2個(gè)線性方程式的-2倍加到第1個(gè)線性方程式上去,得到

即為此線性方程組的唯一解例113對(duì)線性方程組作同解變換,只是使得未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)改變,而未知量記號(hào)不會(huì)改變因此在求解過程中,不必寫出未知量記號(hào),而只需寫出由未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的增廣矩陣,它代表線性方程組這時(shí)上面的求解過程可以表示為矩陣形式:

例114交換第1行與第2行

第1行的-3倍加到第2行上去

至此化為階梯形矩陣,根據(jù)§1.4克萊姆法則,此線性方程組有唯一解例115

第2行的-2倍加到第1行上去

例116

所以此線性方程組的唯一解為

線性方程組的同解變換17交換線性方程組的任意兩個(gè)線性方程式意味著交換增廣矩陣的相應(yīng)兩行;線性方程組的任意一個(gè)線性方程式乘以非零常數(shù)k增廣矩陣的相應(yīng)一行乘以非零常數(shù)k意味著線性方程組的同解變換18線性方程組任意一個(gè)線性方程式的常數(shù)k倍加到另外一個(gè)線性方程式上去增廣矩陣相應(yīng)一行的常數(shù)k倍加到另外相應(yīng)一行上去意味著結(jié)論：對(duì)線性方程組作同解變換,相當(dāng)于對(duì)增廣矩陣作初等行變換.線性方程組的一般解法19上面的求解過程可以推廣到一般情況,得到線性方程組AX=B的一般解法:

線性方程組的一般解法20如何將階梯形矩陣經(jīng)若干次初等行變換化為簡化階梯形矩陣？這時(shí)應(yīng)該從右到左依次將非零行首非零元素所在列其余元素全化為零,只需將此非零行的適當(dāng)若干倍分別加到其他各行上去線性方程組的一般解法21在上述步驟中,可根據(jù)需要,穿插將非零行首非零元素適時(shí)化為1,只需非零行乘以其首非零元素的倒數(shù),或者另外一行的適當(dāng)若干倍加到此行上去值得注意的是:由于此題所給線性方程組有唯一解,從而也可以應(yīng)用行列式求解,如§1.4例1當(dāng)然,還可以應(yīng)用逆矩陣求解,如§2.4例7,都得到同樣的結(jié)果.例222

解：

第1行的-3倍加到第2行上去,第1行加到第3行上去

例223第2行的-1倍加到第3行上去

注意到所得階梯形矩陣第3行是零行,它代表第3個(gè)線性方程式

例224這是恒等關(guān)系式,對(duì)線性方程組的求解不起作用,是多余線性方程式這意味著構(gòu)成此線性方程組的3個(gè)線性方程式不是完全有效的,其中1個(gè)線性方程式(如第3個(gè)線性方程式)可以去掉,而其余2個(gè)線性方程式(如第1個(gè)線性方程式與第2個(gè)線性方程式)是有效線性方程式它們不能完全約束3個(gè)未知量的取值,只能完全約束其中2個(gè)未知量的取值,而另外1個(gè)未知量可以自由取值例225自由取值的未知量稱為自由未知量,非自由取值的未知量稱為非自由未知量選擇非自由未知量所依據(jù)的原則是:其系數(shù)行列式不為零.當(dāng)然,這種選擇不唯一,習(xí)慣于將腳標(biāo)較大的未知量選作自由未知量,而將腳標(biāo)較小的未知量選作非自由未知量例226所得階梯形矩陣第1行與第2行代表2個(gè)有效線性方程式構(gòu)成的線性方程組

將含未知量x3的項(xiàng)都移到等號(hào)的右端,有

例227對(duì)于未知量x1,x2,其系數(shù)行列式

任給未知量x3的一個(gè)值,根據(jù)§1.4克萊姆法則,得到未知量x1,x2的唯一解,它們構(gòu)成此線性方程組的一組解,這說明此線性方程組有無窮多解例228對(duì)所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

第2行乘以-1

例229第2行的2倍加到第1行上去

所得簡化階梯形矩陣第1行與第2行代表線性方程組

例230選擇未知量x3為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表達(dá)式為

例231自由未知量x3取任意常數(shù)c,所以此線性方程組無窮多解的一般表達(dá)式為

當(dāng)然,解線性方程組的具體過程不是唯一的例332解線性方程組

例333第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-1倍加到第3行上去

第2行加到第3行上去

例334對(duì)于全體未知量x1,x2,x3,其系數(shù)行列式D=0,根據(jù)§1.4克萊姆法則,此線性方程組無唯一解注意到所得階梯形矩陣第3行代表第3個(gè)線性方程式0x1+0x2+0x3=1即有0=1例335得到矛盾的結(jié)果,這是線性方程組中一些線性方程式相互矛盾的反映說明未知量的任何一組取值都不能同時(shí)滿足所有線性方程式,所以此線性方程組無解36本次課程結(jié)束第二節(jié)線性方程組解的判別37本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)]熟練掌握線性方程組的解的判別定理。[能力目標(biāo)]能利用解的判別定理確定線性方程組解的情況及求出方程組的一般解。例138

解：

第1行的-2倍加到第3行上去

例139第2行的-2倍加到第3行上去

例140又未知量的個(gè)數(shù)n也為3,有秩

對(duì)于全體未知量x1,x2,x3,其系數(shù)行列式

根據(jù)§1.4克萊姆法則,此線性方程組有唯一解.例141對(duì)所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

第3行乘以-1

第3行的-1倍加到第1行上去第3行的-3倍加到第2行上去

例142第2行加到第1行上去

所以此線性方程組的唯一解為

例243解線性方程組

例244

對(duì)于未知量x1,x2,其系數(shù)行列式

但未知量的個(gè)數(shù)n為3,有秩

例245任給未知量x3的一個(gè)值,根據(jù)§1.4克萊姆法則,得到未知量x1,x2的唯一解,它們構(gòu)成此線性方程組的一組解這說明此線性方程組有無窮多解,且有3-2=1個(gè)自由未知量對(duì)所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例246第2行的2倍加到第1行上去

第2行乘以-1

例247所得簡化階梯形矩陣代表線性方程組

選擇未知量x3為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表達(dá)式為

例248

自由未知量x3取任意常數(shù)c,所以此線性方程組無窮多解的一般表達(dá)式為例349

解：

第1行的-3倍加到第2行上去第1行的-2倍加到第3行上去

例350第2行的-1倍加到第3行上去

例351所得階梯形矩陣第3行代表第3個(gè)線性方程式0=-2得到矛盾的結(jié)果,這是線性方程組中一些線性方程式相互矛盾的反映,說明未知量的任何一組取值都不能同時(shí)滿足所有線性方程式,所以此線性方程組無解.線性方程組的判別理論52定理3.1

例453

(2)判別線性方程組解的情況,若有解,則求解例454

第1行的-1倍分別加到第2行與第3行上去

例455第2行的-2倍加到第3行上去

例456

對(duì)所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例457第2行加到第1行上去

得到線性方程組

例458選擇未知量x3,x4為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3,x4表示,其表達(dá)式為

自由未知量x3取任意常數(shù)c1,自由未知量x4取任意常數(shù)c2,所以此線性方程組無窮多解的一般表達(dá)式為

例459在例4中,也可以選擇未知量x1,x4為自由未知量,相應(yīng)的無窮多解的一般表達(dá)式為

注意:對(duì)于線性方程組有無窮多解的情況,由于自由未知量的選擇不是唯一的,因而無窮多解的一般表達(dá)式也不是唯一的例560

討論當(dāng)常數(shù)λ為何值時(shí),它有唯一解、有無窮多解或無解.解:

例561

當(dāng)常數(shù)λ≠0且常數(shù)λ≠1時(shí),有秩

所以此線性方程組有唯一解例562當(dāng)常數(shù)λ=0時(shí),有秩

所以此線性方程組有無窮多解例563當(dāng)常數(shù)λ=1時(shí),有秩

所以此線性方程組無解.例664

解:

例665第1行的-1倍加到第3行上去

第2行的-1倍加到第3行上去

容易看出,系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2例666

得到關(guān)系式λ-4=0,所以常數(shù)λ=467考慮由n個(gè)線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組AX=B,其中系數(shù)矩陣A顯然是n階方陣注意到方陣經(jīng)初等行變換后,其行列式是否等于零是不會(huì)改變的如果系數(shù)行列式不等于零,則系數(shù)矩陣A經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣后,其行列式的值雖然有可能改變,但仍不等于零,這意味著沒有零行68

所以此線性方程組有唯一解69本次課程結(jié)束第三節(jié)齊次線性方程組70本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)] 了解齊次線性方程組的矩陣形式。 熟練掌握齊次線性方程組的解的判別及求解計(jì)算。[能力目標(biāo)] 能用初等行變換法熟練求出齊次線性方程組的解。71考慮由m個(gè)齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組

它可以表示為矩陣形式AX=O72其中矩陣A為系數(shù)矩陣,矩陣X為未知量矩陣,零矩陣O為常數(shù)項(xiàng)矩陣,即矩陣

73當(dāng)然,增廣矩陣

74齊次線性方程組恒有解,即至少有零解:如果秩r(A)<n,則有無窮多解,意味著除有零解外,還有非零解如果秩r(A)=n,則有唯一解,意味著僅有零解,說明無非零解顯然,如果有非零解,則秩r(A)<n75定理3.2已知由m個(gè)齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組AX=O,那么:(1)如果秩r(A)<n,則此齊次線性方程組有非零解;(2)如果此齊次線性方程組有非零解,則秩r(A)<n.推論：當(dāng)齊次線性方程式的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)即m<n時(shí),齊次線性方程組有非零解.76考慮由n個(gè)齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組AX=O其中系數(shù)矩陣A顯然是n階方陣如果系數(shù)行列式等于零,則系數(shù)矩陣A經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣后,其行列式的值仍然等于零這意味著有零行,從而系數(shù)矩陣A的秩r(A)<n所以此齊次線性方程組有非零解77如何解齊次線性方程組?對(duì)增廣矩陣作若干次初等行變換,化為階梯形矩陣判別有無非零解若有非零解對(duì)增廣矩陣?yán)^續(xù)作若干次初等行變換,化為簡化階梯形矩陣還原為線性方程組后,從而得到齊次線性方程組的解.例178

(1)判別有無非零解;(2)若有非零解,則求解的一般表達(dá)式.例179解:

交換第1行與第3行

例180第1行與第2行皆加到第3行上去第1行的-1倍加到第2行上去

容易看出,系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2,而未知量的個(gè)數(shù)n=3,有秩r(A)=2<n=3所以此齊次線性方程組有非零解.例181(2)對(duì)所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例182第2行的-1倍加到第1行上去

得到線性方程組

例183選擇未知量z為自由未知量,未知量x,y為非自由未知量,非自由未知量x,y用自由未知量z表示,其表達(dá)式為

自由未知量z取任意常數(shù)c,所以此齊次線性方程組無窮多解的一般表達(dá)式為

例284

(1)判別有無非零解;(2)若有非零解,則求解的一般表達(dá)式.例285解:(1)由于齊次線性方程式的個(gè)數(shù)m少于未知量的個(gè)數(shù)n,即m=3<n=4所以此齊次線性方程組有非零解.例286

第1行的-3倍加到第2行上去第1行加到第3行上去

例287第2行的2倍加到第3行上去

第2行乘以-1

例288第2行的-1倍加到第1行上去

得到線性方程組

例289

90本次課程結(jié)束第四節(jié)投入產(chǎn)出問題

91本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)] 了解經(jīng)濟(jì)學(xué)中投入產(chǎn)出問題。 理解產(chǎn)品分配平衡的線性方程組及其定理。[能力目標(biāo)] 能用初等行變換法熟練求出產(chǎn)品分配平衡的線性方程組的解。92考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),它由n個(gè)部門組成,這n個(gè)部門之間在產(chǎn)品的生產(chǎn)與分配上有著復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)與技術(shù)聯(lián)系,這種聯(lián)系可以按實(shí)物表現(xiàn),也可以按價(jià)值表現(xiàn).下面的討論采用價(jià)值表現(xiàn),即所有數(shù)值都按價(jià)值單位計(jì)量.在復(fù)雜的聯(lián)系中,每一個(gè)部門都有雙重身份,一方面作為生產(chǎn)者將自己的產(chǎn)品分配給各部門,并提供最終產(chǎn)品,它們之和即為此部門的總產(chǎn)出;另一方面作為消費(fèi)者消耗各部門的產(chǎn)品,即接收各部門的投入,同時(shí)創(chuàng)造價(jià)值,它們之和即為對(duì)此部門的總投入.當(dāng)然,一個(gè)部門的總產(chǎn)出應(yīng)該等于對(duì)它的總投入93首先考察各部門作為生產(chǎn)者的情況:第1部門分配給第1部門的產(chǎn)品為x11,分配給第2部門的產(chǎn)品為x12,…,分配給第n部門的產(chǎn)品為x1n,最終產(chǎn)品為y1,總產(chǎn)出為x1;第2部門分配給第1部門的產(chǎn)品為x21,分配給第2部門的產(chǎn)品為x22,…,分配給第n部門的產(chǎn)品為x2n,最終產(chǎn)品為y2,總產(chǎn)出為x2;…

…第n部門分配給第1部門的產(chǎn)品為xn1,分配給第2部門的產(chǎn)品為xn2,…,分配給第n部門的產(chǎn)品為xnn,最終產(chǎn)品為yn,總產(chǎn)出為xn.94其次考察各部門作為消費(fèi)者的情況:第1部門消耗第1部門的產(chǎn)品為x11,消耗第2部門的產(chǎn)品為x21,…,消耗第n部門的產(chǎn)品為xn1,創(chuàng)造價(jià)值為z1,得到的總投入為它的總產(chǎn)出x1第2部門消耗第1部門的產(chǎn)品為x12,消耗第2部門的產(chǎn)品為x22,…,消耗第n部門的產(chǎn)品為xn2,創(chuàng)造價(jià)值為z2,得到的總投入為它的總產(chǎn)出x2…

…第n部門消耗第1部門的產(chǎn)品為x1n,消耗第2部門的產(chǎn)品為x2n,…,消耗第n部門的產(chǎn)品為xnn,創(chuàng)造價(jià)值為zn,得到的總投入為它的總產(chǎn)出xn95將上面的數(shù)據(jù)列成一張表,這張表稱為投入產(chǎn)出平衡表部門間流量投入產(chǎn)出消費(fèi)部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出12…n生產(chǎn)部門1x11x12…x1ny1x12x21x22…x2ny2x2???

???nxn1xn2…xnnynxn創(chuàng)造價(jià)值z1z2…zn

總投入x1x2…xn96在表中的前n行中,每一行都反映出該部門作為生產(chǎn)者將自己的產(chǎn)品分配給各部門,這些產(chǎn)品加上該部門的最終產(chǎn)品應(yīng)該等于它的總產(chǎn)出,即

這個(gè)方程組稱為產(chǎn)品分配平衡方程組.97在表中的前n列中,每一列都反映出該部門作為消費(fèi)者消耗各部門的產(chǎn)品,即接收各部門對(duì)它的投入,這些投入加上該部門的創(chuàng)造價(jià)值就是對(duì)它的總投入,應(yīng)該等于它的總產(chǎn)出,即

這個(gè)方程組稱為產(chǎn)品消耗平衡方程組.98比較兩個(gè)方程組,容易看出:在一般情況下,一個(gè)部門的最終產(chǎn)品并不恒等于它的創(chuàng)造價(jià)值,即等式y(tǒng)i=zi(i=1,2,…,n)非恒成立.但是,所有部門的最終產(chǎn)品之和一定等于它們的創(chuàng)造價(jià)值之和,即y1+y2+…+yn=z1+z2+…+zn為了揭示部門間流量與總投入的內(nèi)在聯(lián)系,還要考慮一個(gè)部門消耗各部門的產(chǎn)品在對(duì)該部門的總投入中占有多大比重,于是引進(jìn)下面的概念.99定義3.3第j部門消耗第i部門的產(chǎn)品xij在對(duì)第j部門的總投入xj中占有的比重,稱為第j部門對(duì)第i部門的直接消耗系數(shù),記作

100在表中每個(gè)部門間流量除以所在列的總投入,就得到部門間的直接消耗系數(shù),共有n2個(gè),它們構(gòu)成一個(gè)n階方陣,稱為直接消耗系數(shù)矩陣,記作A=(aij)n×n,即

101直接消耗系數(shù)具有下列性質(zhì):性質(zhì)10≤aij<1

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)性質(zhì)2a1j+a2j+…+anj<1

(j=1,2,…,n)102例1已知一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)包括三個(gè)部門,報(bào)告期的投入產(chǎn)出平衡表如表所示，求報(bào)告期的直接消耗系數(shù)矩陣A部門間流量投入產(chǎn)出消費(fèi)部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出123生產(chǎn)部門13040152153002302030120200330203070150創(chuàng)造價(jià)值210