2023-2024學(xué)年廣州協(xié)和學(xué)校高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年廣州協(xié)和學(xué)校高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘2024年4月第一部分選擇題（共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題包括8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．多選、錯(cuò)選均不得分．1．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）．A． B． C． D．2．已知向量，向量在向量上的投影向量（

）A．B．C． D．3．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如圖所示)，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（

）A． B． C． D．4．年月日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國(guó)歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)何題，并得到小于數(shù)字的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（

）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A． B． C． D．5．在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6．已知圓錐的底面圓周在球O的表面上，頂點(diǎn)為球心O，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則球O的體積為（

）A． B． C． D．7．已知平行四邊形中，，，．若點(diǎn)滿足，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程至少有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題包括3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9．已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是（

）A．，則B．C．若，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn)．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓10．下列說法中正確的有（

）A．設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么它的體積為B．用斜二測(cè)法作△ABC的水平放置直觀圖得到邊長(zhǎng)為a的正三角形，則△ABC面積為C．三個(gè)平面可以將空間分成4，6，7或者8個(gè)部分D．已知四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線．11．給出以下命題正確命題的選項(xiàng)為（

）A．要得到的圖象，只需將圖象沿軸方向向左平移個(gè)單位B．函數(shù)的最大值為2C．定義運(yùn)算，則且，設(shè)，則的值域?yàn)镈．函數(shù)，當(dāng)?shù)葧r(shí)恒有解，則的范圍是第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題包括3小題，每小題5分，共15分．12．四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．13．已知向量滿足，則.14．如圖，直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形的邊、、上，且，，，則長(zhǎng)度的最大值為四、解答題：本題包括5小題，共77分．15．在銳角中，的對(duì)邊分別為，且(1)確定角的大?。?2)若，且，求邊.16．已知向量是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；(2)若是單位向量，且，求與的夾角.17．已知.(1)函數(shù)的最小正周期是，求，并求此時(shí)的解集；(2)已知，，求函數(shù)，的值域.18．如圖，四邊形為梯形，，，，．(1)求的值；(2)求的長(zhǎng)．19．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)在(1)的條件下，判斷函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：A2．C【分析】利用平面向量投影向量的定義求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量上的投影向量，故選：C3．D【分析】由旋轉(zhuǎn)體的概念得旋轉(zhuǎn)是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，由圓錐體積公式可得．【詳解】依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，如圖所示，OA＝AB·cos30°＝2×＝，∴旋轉(zhuǎn)體的體積為π·()2·(OC－OB)＝.故選：D.4．B【分析】計(jì)算的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，估?jì)以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為.故選：B.5．B【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)得到即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B6．B【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長(zhǎng)即得球的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，得，得．由圓錐的高為3，得，即，解得，因此球的半徑，體積為.故選：B7．C【分析】將向量、、用基底表示，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，，所以，.故選：C.8．C【分析】先根據(jù)題意分析函數(shù)的對(duì)稱性及周期性；再利用函數(shù)的對(duì)稱性和周期性作出函數(shù)在上的圖象；最后數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解即可.【詳解】由，可得：.又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，則，且函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以，即的周期為4.作出函數(shù)在上的圖象，根據(jù)對(duì)稱性及周期為4，可得出在上的圖象.令若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程至少有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)在上至少有2個(gè)不同的交點(diǎn)，至多有3個(gè)不同的交點(diǎn).所以，即，解得.故答案為：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合思想.解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意分析出分析函數(shù)的對(duì)稱性及周期性，并作出和圖象；將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合解答即可.9．AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解A，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解CD.【詳解】A：由題意，所以，解得，，所以,故A正確，B：因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，所以B不正確；C：因?yàn)椋詮?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，因此C不正確；D：因?yàn)?，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為3的圓，因此D正確，故選：AD10．ACD【解析】對(duì)A,根據(jù)題意求出底面積與高再求體積判定即可.對(duì)B,根據(jù)斜二測(cè)畫法前后面積的關(guān)系求解判斷即可.對(duì)C,分析這三個(gè)平面的位置關(guān)系再逐個(gè)討論即可.對(duì)D,利用反證法證明即可.【詳解】對(duì)于A,正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,則S底面積＝6?1×1×sin60°；又側(cè)棱長(zhǎng)為,則棱錐的高h(yuǎn)2,所以該棱錐的體積為VS底面積h2,A正確；對(duì)于B,水平放置直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正三角形,直觀圖的面積為S′a2×sin60°,則原△ABC的面積為S＝2S′＝2a2a2,所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若三個(gè)平面互相平行,則可將空間分為4部分；若三個(gè)平面有兩個(gè)平行,第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交,則可將空間分為6部分；若三個(gè)平面交于一線,則可將空間分為6部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個(gè)側(cè)面的關(guān)系）,則可將空間分為7部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)（聯(lián)想墻角三個(gè)墻面的關(guān)系）,則可將空間分為8部分；所以三個(gè)平面可以將空間分成4,6,7或8部分,C正確；對(duì)于D,四點(diǎn)不共面,則其中任意三點(diǎn)不共線,否則是四點(diǎn)共面,所以D正確；綜上知,正確的命題序號(hào)是ACD.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何中的基本性質(zhì)與空間中線面的關(guān)系問題,屬于基礎(chǔ)題.11．ABD【分析】對(duì)于A，由三角函數(shù)的平移變化即可判斷A；對(duì)于B，用正、余弦的和差角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)為，即可判斷B；對(duì)于C，取時(shí)，即可判斷C；對(duì)于D，將化簡(jiǎn)，然后用二次函數(shù)求最值，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，將圖象沿軸方向向左平移個(gè)單位，則，所以A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，所以B正確.對(duì)于C，，即，當(dāng)時(shí)，，，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，令，，所以在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)恒有解，則所以的范圍是，所以D正確.故選：ABD.12．##【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平面向量相等的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，因?yàn)槿c(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，，所以，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅危?，設(shè)，則，故，解得，所以，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為:.13．【分析】由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，運(yùn)算求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由向量滿足，可得，解得，又由，所以.故答案為：.14．【分析】選取角度作為變量，運(yùn)用正弦定理將線段表示為角度的函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求解最值可得出結(jié)果.【詳解】正三角形ABC中，，設(shè)，則根據(jù)題意有：，中，中，根據(jù)正弦定理得：中，根據(jù)正弦定理得：化簡(jiǎn)計(jì)算得：（）當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：.15．(1)(2)或【分析】(1)直接由正弦定理可得，從而可得答案.(2)由余弦定理可得，再由可求答案.【詳解】（1）由及正弦定理得因?yàn)?，故又銳角，所以.（2）由余弦定理，，得解得:或.16．(1)或(2)【分析】（1）設(shè)，由，且，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由，求得，利用向量的夾角公式，求得，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，因?yàn)?，且，可得，解得或，所以?（2）解：因?yàn)?，且為單位向量，可得，，又因?yàn)?，可得，所以，則，因?yàn)椋?17．(1)，或；(2).【分析】（1）利用正弦函數(shù)的周期公式求出，再求出方程的解集即得.（2）利用二倍角公式及輔助角公式求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出值域即可.【詳解】（1）依題意，，解得，則，由，得，解得或，即或所以的解集為或.（2）依題意，，，當(dāng)時(shí)，，則有，，所以函數(shù)，的值域?yàn)?18．(1)(2)【分析】（1）計(jì)算出，利用兩角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出BD的長(zhǎng)，再在中利用余弦定理可求得BC的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，且，解得，．而，所以，所以因?yàn)椋?，所以．?）在中，由正弦定理得，因?yàn)椋裕谥?，由余弦定理得，所以?9．(1).(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)；說明見解析.(3).【詳解】分析：（1）由題意可得，解出；（2）要求方程解的個(gè)數(shù)，即求方程在定義域上的解的個(gè)數(shù)，令，利用零點(diǎn)存在定理判斷即可；（3）要使時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象的上方，必須使在上恒成立，令，則，上式整理得在恒成立，分類討論即可.詳解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有，即，，顯然，由于奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以必有.上面等式左右兩邊同時(shí)乘以得，化簡(jiǎn)得，.上式對(duì)定義域內(nèi)任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函數(shù)定義域.由題意，要求方程解的個(gè)數(shù)，即求方程在定義域上的解的個(gè)數(shù).令，顯然在區(qū)間和均單調(diào)遞增，又，且，.所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在定義域上有2個(gè)解，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn).（附注：函數(shù)與在定義域上的大致圖象如圖所示）（3）要使時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象的上方，必須使在上恒成立，令，則，上式整理得在