2023-2024學(xué)年眉山市仁壽一中高二數(shù)學(xué)下期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年眉山市仁壽一中高二數(shù)學(xué)下期期中考試卷（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題1．在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.該運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-52．已知函數(shù)（

）A．12 B． C．3 D．63．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．4．設(shè)曲線和曲線在它們的公共點(diǎn)處有相同的切線，則的值為（

）A．B．C． D．5．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知，則的圖象是（

）A．B．C．D．7．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．二?多選題（全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．若直線是函數(shù)圖像的一條切線，則函數(shù)可以是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)有最大值11．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．是的極值點(diǎn)C．存在零點(diǎn) D．在單調(diào)遞減12．（多選）定義在區(qū)間上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，若，使得，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”，則下列函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”多于一個(gè)的函數(shù)是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（選擇題共90分）二、填空題（每題5分，共計(jì)20分）13．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則.14．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．16．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集為.三、解答題（6個(gè)大題，共計(jì)70分）17．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.18．已知是的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．從旅游景點(diǎn)到有一條的水路，某輪船公司開設(shè)一個(gè)游輪觀光項(xiàng)目.已知游輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用與速度的立方成正比例，其他費(fèi)用為每小時(shí)3240元，游輪最大時(shí)速為，當(dāng)游輪速度為時(shí)，燃料費(fèi)用為每小時(shí)60元，單程票價(jià)定為150元/人.（1）若一艘游輪單程以的速度航行，所載游客為180人，則輪船公司獲利是多少？（2）如果輪船公司要獲取最大利潤，游輪的航速為多少？20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)k的最大值.1．D【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得瞬時(shí)速度為．故選：D.2．B【分析】由導(dǎo)數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】，，故選：B.3．C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C.4．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，可求得；根據(jù)為兩曲線公共點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，代入可得結(jié)果.【詳解】，，，，，又為與公共點(diǎn)，，，解得：，.故選：D.5．D【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由在上恒成立求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，則，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D6．D【分析】探討函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可判斷得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B錯(cuò)誤；求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，AC錯(cuò)誤，D符合要求.故選：D7．D【解析】由在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，所以在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解可得，．故選：．8．A【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，則，故，單調(diào)遞減，又，故，即，而，則，即，所以，故選：A9．BCD【分析】求得已知直線的斜率，對選項(xiàng)中的函數(shù)分別求導(dǎo)，可令導(dǎo)數(shù)為，解方程即可判斷結(jié)論【詳解】解：直線的斜率為，由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率小于0，故A不正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故B正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而有解，故C正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10．BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得的單調(diào)性，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，（不恒為0）；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.可知：A錯(cuò)誤；B正確；且函數(shù)在處取得極大值，故C正確；雖然確定的單調(diào)性，但沒有的解析式，故無法確定的最值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11．AD【分析】判斷導(dǎo)數(shù)的符號，可判斷ABD選項(xiàng)的正誤；判斷函數(shù)值符號可判斷C象限的正誤.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意的，，C錯(cuò)；因?yàn)?，且，所以，函?shù)在上為減函數(shù)，故AD對，B錯(cuò).故選：AD.12．AD【分析】通過對題中新定義的理解，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)是否符合定義要求即可【詳解】對于A，由得恒成立，所以A符合.對于B，又，對于唯一，所以B不符合.對于C，，，又，對于，使得唯一，所以C不符合.對于D，，，又，對于使得不唯一所以D符合.故選：AD.13．【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，可得，所以，即，解得：，所以.故答案為：.14．【分析】由導(dǎo)函數(shù)求得極大值，利用極大值點(diǎn)在區(qū)間上，且的極大值可得參數(shù)范圍．【詳解】，或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上都遞增，在上遞減，，在區(qū)間上有最大值，則，解得．故答案為：．15．【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：16．【分析】由題意，得，構(gòu)造函數(shù)，然后求出函數(shù)的解析式，再確定的解析式，進(jìn)一步不等式即可．【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以，，令，則，，即，，不等式的解集等價(jià)于，解得．故答案為：．17．(1)(2)極小值為，無極大值【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的極值.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，可得?故所求切線方程為，即.（2）解：的定義域?yàn)?，，令解得，?dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：x－0＋減增所以函數(shù)的極小值為，無極大值.18．(1)（1，）(2)(－∞，－10]【分析】(1)求f′(x)，因?yàn)閤＝1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(1)＝0，代入計(jì)算求出b的值，然后求導(dǎo)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.（2）函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則g′(x)在[1，2]上恒成立.求g(x)導(dǎo)函數(shù)g′(x)，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等價(jià)于當(dāng)x∈[1，2]時(shí)a≤－2x2－x恒成立，求二次函數(shù)t＝－2x2－x的最小值，從而求出實(shí)數(shù)a的范圍.【詳解】（1）f(x)＝2x＋＋lnx，定義域?yàn)?0，＋∞).∴f′(x)＝2－＋＝.因?yàn)閤＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所以b＝3.所以f′(x)＝2－＋＝，令f′(x)>0，得x>1.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，）.（2）函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則g′(x)在[1，2]上恒成立.又g′(x)＝2＋＋，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等價(jià)于當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，a≤－2x2－x恒成立，又t＝－2x2－x＝－2＋，x∈[1，2]是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝2時(shí)，t＝－2x2－x取得最小值－10.所以a≤－10，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－10].19．（1）元；（2）輪船公司要獲得最大利潤，游輪的航速應(yīng)為．【分析】（1）設(shè)游輪以每小時(shí)的速度航行，游輪單程航行的總費(fèi)用為元，求出函數(shù)解析式，再根據(jù)利潤收入成本計(jì)算可得；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值．【詳解】解：設(shè)游輪以每小時(shí)的速度航行，游輪單程航行的總費(fèi)用為元，游輪的燃料費(fèi)用每小時(shí)元，依題意，則，，（1）當(dāng)時(shí)，（元，輪船公司獲得的利潤是元．（2）因?yàn)?，所以，令得，，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，，所以輪船公司要獲得最大利潤，游輪的航速應(yīng)為．20．（1）(－∞，－1)和；（2）.【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，解不等式，求出單增區(qū)間；（2）利用三次函數(shù)的特征，要使f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，只需f(x)極大值×f(x)極小值<0，解不等式即可.【詳解】解：(1)，則f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和.（2）由（1）知，在取得極大值，在取得極小值函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果>0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果<0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有；函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有；21．(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，注意討論與的大小關(guān)系.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在時(shí)取得極小值為，且，故在上的最大值為，最小值為.（2）∵，則①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值，不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，令，得或，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，∴；③當(dāng)時(shí)，令，得或，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，∴，解得.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．(1)答案見解析