中考數學總復習專題17相似三角形(10個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)

專題17相似三角形（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1比例的性質】 1【考點2比例線段】 2【考點3黃金分割】 3【考點4平行線分線段成比例】 6【考點5相似多邊形】 7【考點6相似三角形的判定與性質】 9【考點7網格中的相似三角形】 12【考點8相似三角形中的動點問題】 13【考點9相似三角形的應用】 15【考點10位似變換】 17【要點1比例的性質】比例的性質示例剖析（1）基本性質：（2）反比性質：（3）更比性質：或或（4）合比性質：（5）分比性質：（6）合分比性質：（7）等比性質：已知，則當時，.【考點1比例的性質】【例1】（2022·浙江杭州·模擬預測）一組不為零的數a，b，c，d，滿足ab=cdA．ac＝bd B．a+bC．a?9b＝c?9d D．a?9b【變式1-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．【變式1-2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若x,y,z都是正整數，且3x=4y=5z，則x+y+z的最小值是________．【變式1-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）已知a、b、c、滿足ba+c=ac+b=【要點2成比例線段的概念】1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．【考點2比例線段】【例2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考模擬）下列各組線段中，成比例的是（

）A．1，2，2，4 B．1，2，3，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3【變式2-1】（2022·湖北武漢·?？家荒＃┰诒壤邽?：2000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，則兩地的實際距離為（）A．600000km B．6000km C．600km D．60km【變式2-2】（2022·河北石家莊·石家莊二十三中?？寄M預測）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中項，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【變式2-3】（2022·山西·校聯考二模）定義：如圖1，點M、N把線段AB分割成三條線段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，則稱MN是線段AB的比例中段，M、N是線段AB(1)已知點M、N是線段AB的中段分點．①若AM=2，MN=3，則BN=；②在圖1中，若AB=7，MN=2，求AM的長．(2)如圖2，在ΔABC中，MN是線段AB的比例中段，F、G分別是線段AC、BC延長線上的點，且FG∥AB，MC、NC的延長線分別交線段FG于點P，K．探究PK是否為線段【要點3黃金分割】如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【考點3黃金分割】【例3】（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學校考模擬預測）如圖，點R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點，且AR>RB，S1表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2【變式3-1】（2022·陜西西安·校考模擬預測）符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，若CD＝1，則AB的長是_______________．【變式3-2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點G，則EG≈________DE.（精確到0.001）

【變式3-3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）（1）數學活動一寬與長的比是5?1第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABCD，然后把紙片展平；第二步，如圖②，把這個正方形ABCD對折成兩個完全重合的矩形，再把紙片展平；第三步，如圖③，折出內側矩形EFBC的對角線CF，并把CF折到圖中所示FN處；第四步，如圖④，展平紙片，按照點N折出NM，得到矩形BNMC．若AD=2，請證明矩形BNMC是黃金矩形．（2）數學活動二如圖⑤，點C在線段AB上，且滿足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC?AB，此時，我們說點C是線段AB的黃金分割點，且通過計算可得BCAB=5?12．小紅發(fā)現還可以從活動一的第三步開始修改折疊方式，如圖⑥，折出右側矩形EFBC的對角線EB，把AB邊沿BG折疊，使得A點落在對角線BE上的【要點4平行線分線段成比例定理】兩條直線被三條平行線所截，所得的對應線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．【要點5平行線分線段成比例定理的推論】平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【小結】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做交AC于點，再證明與F重合即可．【考點4平行線分線段成比例】【例4】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC:OC=1:2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-2】（2022·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D所示，點O是矩形ABCD對角線AC的中點，OE∥AB交AD于點E．若OE=3，BC=8，則【變式4-3】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E，延長BA交⊙O于點F．(1)求證：DE是⊙O的切線(2)若AEDE=2【考點5相似多邊形】【例5】（2022·河南·統(tǒng)考三模）取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它進行如圖所示的兩次對折后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則baA．22 B．12 C．24【變式5-1】（2022·河北·模擬預測）如圖所示的三個矩形中，其中相似形是()A．甲與乙 B．乙與丙 C．甲與丙 D．以上都不對【變式5-2】（2022·廣東廣州·廣州市第六十五中學?？家荒＃┤鐖D，若正方形A1B1C1D1內接于正方形ABCD的內接圓，則A1B1A．12 B．22 C．14【變式5-3】（2022·河北·模擬預測）甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（

）兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【要點6相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．【要點7相似三角形的性質】①相似三角形的對應角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【考點6相似三角形的判定與性質】【例6】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，點E、F分別為BC、CD的中點，BF、DE相交于點G，過點E作EH∥CD，交BF于點H，則線段GH的長度是（A．56 B．1 C．54 【變式6-1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AC邊上的一點，過點D作DF∥AB，交BC于點F，作∠BAC的平分線交DF于點E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DE【變式6-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE【變式6-3】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），點E是邊BC的中點，連接AE，過點E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(1)【特例證明】如圖（1），當k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝12∠DCG∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應區(qū)域寫出剩余證明過程）(2)【類比探究】如圖（2），當k≠2時，求AEEF的值（用含k(3)【拓展運用】如圖（3），當k＝3時，P為邊CD上一點，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC【考點7網格中的相似三角形】【例7】（2022·湖北武漢·校聯考二模）如圖是由小正方形組成的8×7網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點，邊AC上的D也是一個格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖（1）中，先將線段CB繞點C順時針旋轉90°，畫出對應線段CE，再在CE上畫點F，使△BCF∽△BDA；(2)在圖（2）中，先在邊AB上畫點G，使DG∥BC，再在邊BC上畫點H，使AH＋DH值最小．【變式7-1】（2022·湖北省直轄縣級單位·校聯考一模）如圖，在6×10的方格紙ABCD中有一個格點△EFG，請按要求畫線段．(1)在圖1中，過點O畫一條格點線段PQ（端點在格點上），使點P，Q分別落在邊AD，BC上，且PQ與FG的一邊垂直．(2)在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點M，EG上一點N，連結MN，使△EMN和△EFG的相似比為2：5．（保留作圖痕跡）【變式7-2】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為1小正方形的網格中，△ABC的頂點A、B、C均落在格點上，請用無刻度的直尺按要求作圖．（保留畫圖痕跡，不需證明）（1）如圖①，點P在格點上，在線段AB上找出所有符合條件的點Q，使△APQ和△ABC相似；（2）如圖②，在AC上作一點M，使以M為圓心，MC為半徑的⊙M與AB相切，并直接寫出此時⊙M的半徑為．【變式7-3】（2022·江西宜春·校聯考模擬預測）如圖，在5×5的正方形網格中，ΔABC的頂點都是格點（小正方形的頂點），且點D是AB邊的中點．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．（1）如圖1，在AC邊上找點E，使ΔADE與ΔABC相似；（2）如圖2，在BC邊上找點F，使ΔDBF與ΔABC相似．【考點8相似三角形中的動點問題】【例8】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M、N分別是邊AD、BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動；同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接EF，過點B作EF的垂線，垂足為H．在這一運動過程中，點H所經過的路徑長是_____．【變式8-1】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，動點E，F同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(1)如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為23秒時，設CE與DF交于點P，求線段EP與CP(2)如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為3個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關于x的函數解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝13HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM【變式8-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接(1)當EQ⊥AD時，求t的值；(2)設四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【變式8-3】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=BD=13，點M為邊AB的中點，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD?DB以每秒13個單位長度的速度向終點B運動，連結PM．作點A關于直線PM的對稱點A′，連結A′P、A′M．設點P的運動時間為t(1)點D到邊AB的距離為__________；(2)用含t的代數式表示線段DP的長；(3)連結A′D，當線段A′D最短時，求△DPA′的面積；(4)當M、A′、C三點共線時，直接寫出t的值．【考點9相似三角形的應用】【例9】（2022·浙江金華·一模）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時，測得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時將詞典無滑動向右倒，書角H的對應點H′恰為CD（1）收納盒的長BC=_______；（2）現將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有________本書可與邊BC有公共點．【變式9-1】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）古希臘數學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．【變式9-2】（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數式表示）(2)我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度【變式9-3】（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預測）有一只拉桿式旅行箱（圖1），其側面示意圖如圖2所示，已知箱體長AB＝50cm，拉桿BC的伸長距離最大時可達35cm，點A、B、C在同一條直線上，在箱體底端裝有圓形的滾筒⊙A，⊙A與水平地面切于點D，在拉桿伸長至最大的情況下，當點B距離水平地面38cm時，點C到水平地面的距離CE為59cm．設AF∥MN．(1)求⊙A的半徑長；(2)當人的手自然下垂拉旅行箱時，人感覺較為舒服，某人將手自然下垂在C端拉旅行箱時，CE為80cm，sin∠CAF=910【要點8位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點,所在的直線都經過同一點，且有=，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點叫做位似中心2、性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關鍵點關于中心的對應點；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一個數，所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為【考點10位似變換】【例10】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．18【變式10-1】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則△ABC與△DEF的周長之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【變式10-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC位于第二象限，點A的坐標是?2,3，先將△ABC繞點?1,0順時針旋轉90度得到△A1B1C1，再以原點為位似中心作△A1B1C1的位似圖形A．4,2 B．6,4C．6,4或?6,?4 D．4,2或?4,?2【變式10-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學校?？寄M預測）如圖，在8×11網格圖中，△ABC與△A(1)直接寫出：tanC=(2)若在網格上建立平面直角坐標系，使得點A(?1,5)，點C1①以點C為位似中心，在網格中作出△A2B2C②在圖上標出△ABC與△A1B1C1專題17相似三角形（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1比例的性質】 1【考點2比例線段】 4【考點3黃金分割】 6【考點4平行線分線段成比例】 12【考點5相似多邊形】 18【考點6相似三角形的判定與性質】 21【考點7網格中的相似三角形】 31【考點8相似三角形中的動點問題】 36【考點9相似三角形的應用】 51【考點10位似變換】 58【要點1比例的性質】比例的性質示例剖析（1）基本性質：（2）反比性質：（3）更比性質：或或（4）合比性質：（5）分比性質：（6）合分比性質：（7）等比性質：已知，則當時，.【考點1比例的性質】【例1】（2022·浙江杭州·模擬預測）一組不為零的數a，b，c，d，滿足ab=cA．ac＝bd B．a+bC．a?9b＝c?9d D．a?9b【答案】C【分析】根據比例的性質，對所給選項進行整理，找到不一定正確的選項即可．【詳解】解：∵一組不為零的數a，b，c，d，滿足ab∴ac=bd，ab設ab∴a=bk，c=dk，∴a?9ba+9b=kb?9b∴a?9ba+9b=c?9d若a?9b=c?9d則∵b、d不一定相等，故不能得出a?9b=c?9故選：C．【點睛】本題考查了比例性質；根據比例的性質靈活變形是解題關鍵．【變式1-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．【答案】1.2【分析】設被稱物的重量為a，砝碼的重量為1，根據圖中可圖列出方程即可求解．【詳解】解：設被稱物的重量為a，砝碼的重量為1，依題意得，2.5a=3×1，解得a=1.2，故答案為：1.2．【點睛】本題考查了比例的性質，掌握杠桿的原理是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若x,y,z都是正整數，且3x=4y=5z，則x+y+z的最小值是________．【答案】47【分析】先設3x=4y=5z=k，再利用等量關系消元，用k表示x+y+z，最后再利用x,y,z都是正整數得出k的最小值即可．【詳解】設3x=4y=5z=k，則x=13k，y=∴x+y+z=1∵47∴x+y+z的值隨k的增大而增大，又∵x，y，z都是正整數，且x=13k，y=∴k是3，4，5的公倍數，∴k的最小值為60，∴x+y+z的最小值為4760故答案為：47【點睛】本題考查了設k法，函數思想，以及函數的最值等要點，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）已知a、b、c、滿足ba+c=ac+b=【答案】3【分析】根據先求出k值，進而求得正比例函數的解析式，再根據正比例函數圖象上點的坐標特征依次判斷四個點，進而利用概率公式求解即可．【詳解】解：∵a、b、c、滿足ba+c∴當a+b+c=0時，k=﹣1，此時正比例函數的表達式為y＝12將四個點代入，點④（1，﹣1）在正比例函數y＝﹣x的圖象上；當a+b+c≠0時，k=b+a+ca+c+c+b+a+b=b+a+c2(a+b+c)=∴正比例函數的表達式為y＝12將四個點代入，點①(1,12)∴任意取一點恰好在正比例函數y＝kx圖象上的概率是34故答案為：34【點睛】本題考查等比性質、正比例函數圖象上點的坐標特征、求概率公式，能分類求解k值是解答的關鍵．【要點2成比例線段的概念】1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．【考點2比例線段】【例2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考模擬）下列各組線段中，成比例的是（

）A．1，2，2，4 B．1，2，3，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3【答案】A【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：A、1×4=2×2，故選項符合題意；B、1×4≠2×3，故選項不符合題意；C、3×13≠5×9，故選項不符合題意；D、1×3≠2×2，故選項不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．【變式2-1】（2022·湖北武漢·?？家荒＃┰诒壤邽?：2000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，則兩地的實際距離為（）A．600000km B．6000km C．600km D．60km【答案】C【分析】首先設相距30cm的兩地實際距離為xcm，根據題意可得方程1：2000000＝30：x，解此方程即可求得答案，注意統(tǒng)一單位．【詳解】解：設相距30cm的兩地實際距離為xcm，根據題意得：1：2000000＝30：x，解得：x＝60000000，∵60000000cm＝600km，∴相距30cm的兩地實際距離為600km．故選：C．【點睛】此題主要考查了比例尺的性質．解題的關鍵是注意理解題意，根據題意列方程，注意統(tǒng)一單位．【變式2-2】（2022·河北石家莊·石家莊二十三中校考模擬預測）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中項，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】B【分析】由b是a、c的比例中項，根據比例中項的定義，即可求得bc=ab，又由【詳解】解：∵b是a、c的比例中項，∴b2=ac，∴∵a:b=12:8，∴ab∴b:故選：B．【點睛】此題主要考查了比例線段，正確把握比例中項的定義是解題關鍵．【變式2-3】（2022·山西·校聯考二模）定義：如圖1，點M、N把線段AB分割成三條線段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，則稱MN是線段AB的比例中段，M、N(1)已知點M、N是線段AB的中段分點．①若AM=2，MN=3，則BN=；②在圖1中，若AB=7，MN=2，求AM的長．(2)如圖2，在ΔABC中，MN是線段AB的比例中段，F、G分別是線段AC、BC延長線上的點，且FG∥AB，MC、NC的延長線分別交線段FG于點P，K．探究PK是否為線段【答案】(1)①92(2)PK是線段FG的比例中段，理由見解析【分析】（1）根據點M、N是線段AB的中段分點，可得MN（2）設GFAB=k，根據平行線分線段成比例定理，得出GKBN=k，KPMN=k，PFAM=k，再根據【詳解】（1）①由題可得，MN2=AM·BN，AM=2∴BN=9故答案為：92②設AM=x，則由題可得：22解得x=1或4，∴AM的長為1或4；（2）PK是線段FG的比例中段．理由如下：設GFAB∵FG∥∴GKBN同理，KPMN=k，∴GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，∵MN是線段AB的比例中段，∴MN∴k∴KP即PK是線段FG的比例中段．【點睛】本題主要考查了相似三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．【要點3黃金分割】如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【考點3黃金分割】【例3】（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學校考模擬預測）如圖，點R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點，且AR>RB，S1表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2【答案】1【分析】設AB=a，根據黃金比值用a表示出AR、BR，根據矩形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：設AB=a，∵點R是邊AB邊上的黃金分割點，AR>RB，∴AR=5則BR=AB?AR=a?5∴S1：S2故答案為：1．【點睛】本題考查是黃金分割的概念、黃金比值，熟記黃金比值為5?1【變式3-1】（2022·陜西西安·?？寄M預測）符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，若CD＝1，則AB的長是_______________．【答案】5＋2【分析】根據黃金分割的定義可得：AC=5?12AB，BD=5?12AB，從而可AC+BD=AB+【詳解】∵C、D兩點都是AB的黃金分割點，∴AC＝5?12AB，BD＝5∴AC＋BD＝（5﹣1）AB，即AB＋CD＝（5﹣1）AB，∵CD=1，∴AB＝5＋2，故答案為：5＋2．【點睛】本題考查黃金分割的含義，關鍵是根據C、D都是黃金分割點，從而得出AB+CD=（5﹣1）AB．【變式3-2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點G，則EG≈________DE.（精確到0.001）

【答案】0.618【分析】設每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，四邊形EFGM是矩形，則EG＝MF＝y(tǒng)，由DE≈0.618AD得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，進一步求得EGDE【詳解】解：如圖，設每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，由題意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四邊形EFGM是矩形，∴EG＝MF＝y(tǒng)，∵DE≈0.618AD，∴x－y≈0.618x，解得y≈0.382x，∴EGDE∴EG≈0.618DE．故答案為：0.618．【點睛】此題考查了矩形的判定和性質、分式的化簡、等式的基本性質、二元一次方程等知識，求得y≈0.382x是解題的關鍵．【變式3-3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）（1）數學活動一寬與長的比是5?1第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABCD，然后把紙片展平；第二步，如圖②，把這個正方形ABCD對折成兩個完全重合的矩形，再把紙片展平；第三步，如圖③，折出內側矩形EFBC的對角線CF，并把CF折到圖中所示FN處；第四步，如圖④，展平紙片，按照點N折出NM，得到矩形BNMC．若AD=2，請證明矩形BNMC是黃金矩形．（2）數學活動二如圖⑤，點C在線段AB上，且滿足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC?AB，此時，我們說點C是線段AB的黃金分割點，且通過計算可得BCAB=5?12．小紅發(fā)現還可以從活動一的第三步開始修改折疊方式，如圖⑥，折出右側矩形EFBC的對角線EB，把AB邊沿BG折疊，使得A點落在對角線BE上的【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）由正方形ABCD的邊長為2，根據折疊可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再求BN：BC的值即可判斷；（2）如圖，連接GE,設AG=x,則GK=x,GD=2?x,再利用軸對稱的性質與勾股定理求解KE=5?2,再利用勾股定理建立方程求解【詳解】證明：（1）根據第一步折疊可知，ABCD是正方形，由正方形邊長為2，根據第二步可知，FB=1,在△FCB中，根據勾股定理，得FC=根據第三步可知，FC=FN=∴BN=∴BN∴矩形BNMC是黃金矩形．（2）如圖，連接GE,正方形的邊長AD=2,由對折可得：AF=BF=CE=DE=1,BA=BK=2,AG=GK,∠A=∠GKB=90°,∴BE=2設AG=x,∴GK=x,GD=2?x,所以由勾股定理可得：(2?x)2解得：x=5∴AG所以G點是AD的黃金分割點．【點睛】本題考查的是成比例線段，黃金分割點的含義，正方形的性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，理解題意利用軸對稱的性質逐步計算是解本題的關鍵．【要點4平行線分線段成比例定理】兩條直線被三條平行線所截，所得的對應線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．【要點5平行線分線段成比例定理的推論】平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【小結】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做交AC于點，再證明與F重合即可．【考點4平行線分線段成比例】【例4】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC:OC=1:2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據CD∥OB得出ACAO=CDOB，根據AC:OC=1:2，得出ACAO【詳解】解：∵CD∥∴ACAO∵AC:OC=1:2，∴ACAO∵C、D兩點縱坐標分別為1、3，∴CD=3?1=2，∴2OB解得：OB=6，∴B點的縱坐標為6，故C正確．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平面直角坐標系中點的坐標，根據題意得出ACAO【變式4-1】（2022·吉林延邊·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，則CE的長為______．【答案】4【分析】由AB∥CD∥EF，推出【詳解】∵AB∥∴ADAF∴35∴BE=10，∴CE=BE-BD=10-6=4，故答案為：4．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理．【變式4-2】（2022·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D所示，點O是矩形ABCD對角線AC的中點，OE∥AB交AD于點E．若OE=3，BC=8，則【答案】5【分析】由平行線分線段成比例可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形斜邊中線的性質可得OB的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵OE∥∴OE∥∴AOAC=OE∴CD=6，在Rt△ADC中，AC=∵點O是AC的中點，∴OB=1故答案為：5．【點睛】本題考查了矩形的性質，平行線分線段成比例，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質等知識，求出CD的長度是本題的關鍵．【變式4-3】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E，延長BA交⊙O于點F．(1)求證：DE是⊙O的切線(2)若AEDE=2【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；（2）連接CF，證OD是△ABC的中位線，得CF=2DE，再證DE是△FBC的中位線，得CF=2DE,設AE=2x，DE=3k，則CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，從而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得⊙O的半徑OA長，即可求解．【詳解】（1）證明：連接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位線，∵AC是⊙O的直徑，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE∴BE=EF，即DE是△FBC的中位線，∴CF=2DE,∵AEDE∴設AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13,即⊙O的半徑為13．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定與性質，勾股定理，三角形中位線的判定與性質，證OD是△ABC的中位線，DE是△FBC的中位線是解題的關鍵．【考點5相似多邊形】【例5】（2022·河南·統(tǒng)考三模）取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它進行如圖所示的兩次對折后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則baA．22 B．12 C．24【答案】B【分析】根據對折表示出小長方形的長和寬，再根據相似多邊形的對應邊成比例列式計算即可得解．【詳解】解：對折兩次后的小長方形的長為b，寬為14∵小長方形與原長方形相似，∴ab∴a=2b．即ba的值是故選：B．【點睛】此題考查了相似多邊形對應邊成比例的性質，準確表示出小長方形的長和寬是解題的關鍵．【變式5-1】（2022·河北·模擬預測）如圖所示的三個矩形中，其中相似形是()A．甲與乙 B．乙與丙 C．甲與丙 D．以上都不對【答案】B【分析】根據矩形相似的條件，判斷對應邊的比是否相等即可．【詳解】甲：矩形寬與長比為：34乙:矩形寬與長比為：12丙:矩形寬與長比為：24所以乙和丙的寬與長的比相等，故這兩個矩形相似.故選B.【點睛】考查相似多邊形的判定，解題關鍵是運用了對應角相等,對應邊成比例的多邊形是相似多邊形．【變式5-2】（2022·廣東廣州·廣州市第六十五中學?？家荒＃┤鐖D，若正方形A1B1C1D1內接于正方形ABCD的內接圓，則A1B1A．12 B．22 C．14【答案】B【分析】根據相似多邊形的性質進行求解即可.【詳解】解:圖形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分別是兩個正方形的邊心距,△OC1F是等腰直角三角形,因而OF:OC1=22因而則A1B故選B.【點睛】本題主要考查相似多邊形的性質，邊數相同的正多邊形一定相似,邊心距的比,半徑的比都等于相似比.【變式5-3】（2022·河北·模擬預測）甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（

）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【答案】C【分析】甲：根據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得ABA【詳解】解：甲：根據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲說法正確；乙：∵根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴ABA∴ABA∴新矩形與原矩形不相似．∴乙說法不正確．故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．【要點6相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．【要點7相似三角形的性質】①相似三角形的對應角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【考點6相似三角形的判定與性質】【例6】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，點E、F分別為BC、CD的中點，BF、DE相交于點G，過點E作EH∥CD，交BF于點H，則線段GH的長度是（A．56 B．1 C．54 【答案】A【分析】根據矩形的性質得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，求出FH=BH，根據勾股定理求出【詳解】解析：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，∵點E、F分別為BC、CD的中點，∴DF=CF=12DC=3∵EH∥∴FH=BH，∵BE=CE，∴EH=1由勾股定理得：BF=B∴BH=FH=1∵EH∥∴△EHG～△DFG，∴EH∴3解得：GH=5故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質和相似三角形的性質和判定，能熟記矩形的性質是解此題的關鍵．【變式6-1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AC邊上的一點，過點D作DF∥AB，交BC于點F，作∠BAC的平分線交DF于點E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DE【答案】3【分析】先根據勾股定理得出AB=5，根據△ABE的面積是2，求出點E到AB的距離為45，根據Rt△ABC的面積，求出點C到AB的距離為AC?BCAB=125，即可得出點C到DF的距離為85，根據相似三角形的判定與性質，得出CDCA=【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5∵△ABE的面積是2，∴點E到AB的距離為45在Rt△ABC中，點C到AB的距離為AC?BC∴點C到DF的距離為85∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴CDCA∴CD=2，DF=10∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE=1，∴EF=DF?DE=10∴DEEF故答案為：37【點睛】本題主要考查了三角形高的有關計算，平行線的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，解題的關鍵是求出點E到AB的距離為45，點C到DF的距離為8【變式6-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE【答案】5172【分析】由正方形的性質，可得A點與C點關于BD對稱，則有MN+CM=MN+AM?AN，所以當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小為AN，先證明ΔDCG∽ΔFCE，再由SΔDCGSΔFCE=19【詳解】解：連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴A點與C點關于BD對稱，∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM?AN，∴當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴Δ∵SΔ∴CDCF∵正方形邊長為4，∴CF=12，∵AD∥CF，∴ADCF∴DE=1，CE=3，在Rt△CEF中，EF∴EF=3∵N是EF的中點，∴EN=3在Rt△ADE中，EA∴AE=4∴AN=AE+EN=5∴MN+MC的最小值為517故答案為：517【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，用軸對稱求最短距離的方法，靈活應用三角形相似、勾股定理．【變式6-3】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），點E是邊BC的中點，連接AE，過點E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(1)【特例證明】如圖（1），當k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝12∠DCG∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應區(qū)域寫出剩余證明過程）(2)【類比探究】如圖（2），當k≠2時，求AEEF的值（用含k(3)【拓展運用】如圖（3），當k＝3時，P為邊CD上一點，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC【答案】(1)見解析(2)k?1(3)2【分析】（1）證明△AHE≌△ECF（ASA）即可；（2）在BA上截取BH=BE，連接EH．證明△AHE∽△ECF，即可求解；（3）以A為旋轉中心，△ADP繞A點旋轉90°到△AP'H，設AB=3a，則BC=2a，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點G，連接EG，證明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四邊形APEP'是正方形，再證明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，過點P作PK⊥AE交于K，進而證明四邊形PKEF是矩形，則有PF=5=1210a，即可求出BC=【詳解】（1）證明：如圖，在BA上截取BH=BE，連接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°-∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=12∠DCG∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）解：在BA上截取BH=BE，連接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=12∠DCG∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴AEEF∵ABBC=k2，∴EC=HB=12BC∴AH=AB-12BC=12∴AEEF（3）解：以A為旋轉中心，△ADP繞A點旋轉90°到△AP'H，∵k=3，∴ABBC設AB=3a，則BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點M，連接EM，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中點，∴BE=a，∴HE=2a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠MEC=45°，∴∠PME=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEM≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四邊形APEP'是正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=5a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴AHEC∵AE=∴EF=10∵∠HEM=∠AEF=90°，∴∠HEA=∠MEF，∵∠PEM=∠P'EH，∴∠PEF=∠P'EH=45°，過點P作PK⊥AE交于K，∵EF⊥AE，∴PK∥EF，∵PK=1∴PK=EF，∴四邊形PKEF是矩形，∴PF=KE，∵PF=5∴12∴a=∴BC=22【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握矩形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形是判定及性質，正方形的判定及性質，等腰直角三角形的判定及性質是解題的關鍵．【考點7網格中的相似三角形】【例7】（2022·湖北武漢·校聯考二模）如圖是由小正方形組成的8×7網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點，邊AC上的D也是一個格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖（1）中，先將線段CB繞點C順時針旋轉90°，畫出對應線段CE，再在CE上畫點F，使△BCF∽△BDA；(2)在圖（2）中，先在邊AB上畫點G，使DG∥BC，再在邊BC上畫點H，使AH＋DH值最?。敬鸢浮?1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）利用旋轉變換的性質作點B的對應點E，CE=CB，CE與格點交于點F，連接BF即可，FC∶BC=FC∶EC=3∶4，tan∠FBC=34，tan∠ABD=34，因此∠EBC=∠ABD，（2）作點D關于BC的對稱點D'，連接AD'交BC于點H。連接DH，點H即為所求．【詳解】（1）解：如圖，線段CE，點F即為所求，（2）解：如圖，線段DG，點H即為所求，【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，對稱的性質及相似三角形的判定，靈活運用以上要點作圖是做出本題的關鍵．【變式7-1】（2022·湖北省直轄縣級單位·校聯考一模）如圖，在6×10的方格紙ABCD中有一個格點△EFG，請按要求畫線段．(1)在圖1中，過點O畫一條格點線段PQ（端點在格點上），使點P，Q分別落在邊AD，BC上，且PQ與FG的一邊垂直．(2)在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點M，EG上一點N，連結MN，使△EMN和△EFG的相似比為2：5．（保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據題意找到格點P,Q，畫出線段PQ即可（1）如圖所示，PQ即為所求，（2）如圖所示，取格點J,K，連接OJ交EF于點M，連接OK交EG于點N連接MN，則MN即為所求，∵EO∴△MOE∽△MHF∴OE同理EN∴∴△EMN∽△EFG∴EMEF【點睛】本題考查了相似變換作圖，掌握平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．【變式7-2】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為1小正方形的網格中，△ABC的頂點A、B、C均落在格點上，請用無刻度的直尺按要求作圖．（保留畫圖痕跡，不需證明）（1）如圖①，點P在格點上，在線段AB上找出所有符合條件的點Q，使△APQ和△ABC相似；（2）如圖②，在AC上作一點M，使以M為圓心，MC為半徑的⊙M與AB相切，并直接寫出此時⊙M的半徑為．【答案】（1）見詳解；（2）32【分析】（1）過點P作BC的平行線，交AB于點Q或找到格點F，連接PF交AB于點Q，即可；（2）找到格點D，連接BD并延長，交AC于點M，即為所求點，再證明?BDN~?BMC，列出比例式，即可求解．【詳解】（1）如圖①，過點P作BC的平行線，交AB于點Q，即為所求點，找到格點F，連接PF交AB于點Q，即為所求點；（2）找到格點D，連接BD并延長，交AC于點M，即為所求點，理由如下：由題意得：BC=3，AC=4，AB=5，∴BE=14AB=54，HE=∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分線，∴以M為圓心，MC為半徑的⊙M與AB相切，∵MC∥DN，∴?BDN~?BMC，∴MCDN=BCBN，即∴此時⊙M的半徑為：32故答案是：32【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，角平分線的性質定理，找準格點位置，掌握相似三角形的判定和性質，是解題的關鍵．【變式7-3】（2022·江西宜春·校聯考模擬預測）如圖，在5×5的正方形網格中，ΔABC的頂點都是格點（小正方形的頂點），且點D是AB邊的中點．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．（1）如圖1，在AC邊上找點E，使ΔADE與ΔABC相似；（2）如圖2，在BC邊上找點F，使ΔDBF與ΔABC相似．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作以AC為對角線的矩形的中心E，連接DE即可；（2）作以BC為對角線的矩形的中心F，連接DF即可．【詳解】（1）如圖1，△ADE即為所求；（2）如圖2，△DBF即為所求．【點睛】本題考查了作圖-應用與設計，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．【考點8相似三角形中的動點問題】【例8】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M、N分別是邊AD、BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動；同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接EF，過點B作EF的垂線，垂足為H．在這一運動過程中，點H所經過的路徑長是_____．【答案】52π【分析】根據題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，且ΔAQM～ΔFQN，NQ:MQ=1:2,點H在以BQ為直徑的PN上運動，運動路徑長為PN的長，求出【詳解】解：∵點M、N分別是邊AD、BC的中點，連接MN，則四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=12AD根據題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴Δ∴NF∴NQ=1當點E與點A重合時，則NF=12∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴ΔABF∴∠AFB=45°,∵BP⊥AF，∴∠PBF=45°由題意得，點H在以BQ為直徑的PN上運動，運動路徑長為PN長，取BQ中點O，連接PO，NO，∴∠PON=90°，又∠BNQ=90°,∴BQ=B∴ON=OP=OQ=1∴PN的長為90π×5180故答案為：5【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，以及弧長等知識，判斷出點H運動的路徑長為PN長是解答本題的關鍵．【變式8-1】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，動點E，F同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(1)如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為23秒時，設CE與DF交于點P，求線段EP與CP(2)如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為3個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關于x的函數解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝13HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM【答案】(1)EPPC(2)y關于x的函數解析式為y=34x20≤x(3)當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【分析】（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得△AFD~△BFG，可得AFFB=ADBG，根據題意可得AF=83，AE=（2）分三種情況討論：當0≤x≤2時，E點在AD上，F點在AB上；當2≤x≤433時，E點在BD上，F點在AB上；當433（3）當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據直角三角形的性質，即可求解．（1）解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CG∥∴△AFD∴AFFB∵點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為23∴AF=83，AE=2∵AB=4，AD=2，∴BF=43，ED=4∴83∴BG=1，∴CG=3，∵CG∥∴△PDE∽△PGC，∴EPPC∴EPPC（2）解：根據題意得：當0≤x≤2時，E點在AD上，F點在AB上，此時AE=x，AF=∵DB=23，AB=4，∴AD∴△ABD是直角三角形，∵ADAB∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點E作EH⊥AB交于∴EH=∴y=∴當x＞0時，y隨x的增大而增大，此時當x=2時，y有最大值3；當2≤x≤433時，E點在BD如圖，過點E作EN⊥AB交于N，過點D作DM⊥AB交于M，則根據題意得：DE=x-2，∴BE=2在Rt△ABD中，DM=AD?sin∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴ENDM∴EN∴EN=1+∴y=此時該函數圖象的對稱軸為直線x=∴當2≤x≤433此時當x=433時，當433≤x≤23時，點過點E作EQ⊥AB交于Q，過點F作FP⊥AB交于P，過點D作DM⊥∴AB+BF=3x，DA∵AB=4，AD=2，∴BE=23?∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴BFBD=PF∴PF=∵EQ//∴△BEQ∽△BDM，∴BEBD=EQ∴EQ=∴y=此時y隨x的增大而減小，此時當x=433時，綜上所述：y關于x的函數解析式為y當x=433時，（3）解：當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵AH=13∴．AH=1，由（2）得：此時AH⊥∵M是DF的中點，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【點睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，平行線的性質，直角三角形的性質，分類討論，數形結合是解題的關鍵．【變式8-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接(1)當EQ⊥AD時，求t的值；(2)設四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)16(2)S=(3)存在，t=【分析】（1）利用△AQE∽△AED得AQAE=AE（2）分別過點C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分別為M，N，證△ABC∽△CAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125（3）當PQ∥CD時∠AQP=∠ADC，易證△APQ∽△MCD，得出APMC=AQMD，則（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△ADE∴AD=5∵EQ⊥AD∴∠AQE=∠AED=90°又∠EAQ=∠DAE∴△AQE∽△AED∴AQ∴t∴t=答：當EQ⊥AD時，t的值為165（2）解：分別過點C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分別為M，N∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°∴∠B=∠CAM又∠BCA=∠AMC=90°∴△ABC∽△CAM∴AB∴5∴AM=∵∠B=∠B∴△BPN∽△BAC∴BP∴t∴PN=∴SS∴S==6+8?=∴S=（3）解：假設存在某一時刻t，使PQ∥CD∵AD=5,AM=∴DM=AD?AM=5?∵PQ∥CD∴∠AQP=∠ADC又∠PAQ=∠CMD=90°∴△APQ∽△MCD∴AP∴5?t∴t=∴存在時刻t=6529s【點睛】本題考查了旋轉與相似，利用勾股定理求線段長，平行線的性質，根據旋轉的性質，找到相似圖形是解決問題的關鍵，是中考中的常考題．【變式8-3】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=BD=13，點M為邊AB的中點，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD?DB以每秒13個單位長度的速度向終點B運動，連結PM．作點A關于直線PM的對稱點A′，連結A′P、A′M．設點P的運動時間為t(1)點D到邊AB的距離為__________；(2)用含t的代數式表示線段DP的長；(3)連結A′D，當線段A′D最短時，求△DPA′的面積；(4)當M、A′、C三點共線時，直接寫出t的值．【答案】(1)3(2)當0≤t≤1時，DP=13?13t；當1＜(3)3(4)23或【分析】（1）連接DM，根據等腰三角形的性質可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當0≤t≤1時，點P在AD邊上；當1＜t≤2時，點P在BD邊上，即可求解；（3）過點P作PE⊥DM于點E，根據題意可得點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，可得到當點D、A′、M三點共線時，線段A′D最短，此時點P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得DE=3?3t,PE=2?2t，從而得到A′E=DE?A′D=2?3t（4）分兩種情況討論：當點A′位于M、C之間時，此時點P在AD上；當點A′（A″）位于CM的延長線上時，此時點P在BD（1）解：如圖，連接DM，∵AB=4，AD=BD=13，點M為邊AB∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴DM=A即點D到邊AB的距離為3；故答案為：3（2）解：根據題意得：當0≤t≤1時，點P在AD邊上，DP=13當1＜t≤2時，點P在BD邊上，PD=13綜上所述，當0≤t≤1時，DP=13?13t；當1＜（3）解：如圖，過點P作PE⊥DM于點E，∵作點A關于直線PM的對稱點A′，∴A′M=AM=2，∴點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，∴當點D、A′、M三點共線時，線段A′D最短，此時點P在AD上，∴A′D=1，根據題意得：A′P=AP=13由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴PDAD∴13?解得：DE=3?3t,PE=2?2t，∴A′在Rt△A′PE∴13t2=∴PE=6∴S△DP（4）解：如圖，當點M、A′、C三點共線時，且點A′位于M、C之間時，此時點P在AD上，連接AA′，A′B，過點P作PF⊥AB于點F，過點A′作A′G⊥AB于點G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過點C作CN⊥AB交AB延長線于點N，在?ABCD中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴sin∠CMN=∵A′M=2，∴A′∴MG=8∴BG=BM?MG=2∴tan∠∴tan∠PMF=∴PFFM=3，即PF=3∵tan∠DAM=DMAM∴PF=3∴3FM=32AF，即AF∵AM=2，∴AF=4∴4313t如圖，當點A′（A″）位于CM的延長線上時，此時點P在BD上，PB=2過點A″作A″G′⊥AB于點G′，則∠AMA″=∠CMN，取AA″的中點H，則點M、P、H三點共線，過點H作HK⊥AB于點同理：A″∵HK⊥AB，A″∴HK∥A′′G′，∴△AHK～△AA∵點H是AA∴HKA∴HK=3∴MK=9∴tan∠PMT=∴PTMT=13，即∵tan∠PBT=DMBM∴BT=2∴MT=9∵MT+BT=BM=2，∴BT=4∴411213綜上所述，t的值為23或20【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，根據題意得到點A′的運動軌跡是解題的關鍵，是中考的壓軸題．【考點9相似三角形的應用】【例9】（2022·浙江金華·一模）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時，測得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時將詞典無滑動向右倒，書角H的對應點H′恰為CD（1）收納盒的長BC=_______；（2）現將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有________本書可與邊BC有公共點．【答案】

251【分析】（1）由圖知BC=BF+FG′+G′C，已知BF=8，根據ΔHAE（2）延長HF交BC于G'，如圖2所示，由（1）知在RtΔAHE中，HA=根據ΔHAE∽ΔFGG′，得到F【詳解】解：（1）如圖所示：在RtΔBEF中，∠B=90°，EF=17，BF=8，則BE=∵AB=16，∴AE=AB?BE=16?15=1，連接AH，如圖所示：∵恰好能蓋上盒蓋，∴AH⊥AB，∵詞典是長方體，∴∠HEF=90°，即∠HEA+∠BEF=90°，在RtΔBEF中，∠BFE+∠BEF=90°∴∠HEA=∠BFE，∴Δ∴HEAE=EFBF∵將詞典無滑動向右倒，∴FG∵書角H的對應點H′恰為CD中點，∴H在RtΔG′CH′中，∠C=90°，G∴BC=BF+FG∴收納盒的長BC=251故答案為：251（2）延長HF交BC于G'，如圖2所示：由（1）知FG=HE=17∵∠BFE+∠GFG′=90°由（1）知∠HEA=∠BFE∴∠GFG∴Δ∴F由（1）知在RtΔAHE中，∠A=90°，HE=178，AE=1∴FG′由（1）知FC=251∵171∴最多有7本書可與邊BC有公共點．【點睛】本題考查利用勾股定理及相似的實際運用，涉及到勾股定理求線段長及三角形相似的判定與性質，讀懂題意，根據圖