第 4 章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 知識點解讀與例析（2）-2021-2022學年高一上學期數(shù)學滬教版(2020)必修第一冊期末復習

【學生版】《第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》知識點解讀與例析(2)知識點4、函數(shù)圖像關于數(shù)軸對稱例4、已知函數(shù)；（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）畫出函數(shù)的圖像；【提示】【答案】【解析】【說明】關于數(shù)軸對稱的推廣及其幾個重要的結(jié)論：（一）函數(shù)圖像本身的對稱性（自身對稱）1、函數(shù)滿足（為常數(shù)）的充要條件是的圖像關于直線對稱；2、函數(shù)滿足（為常數(shù)）的充要條件是的圖像關于直線對稱。3、函數(shù)滿足的充要條件是圖像關于直線對稱。（二）兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）1、曲線與關于軸對稱；2、曲線與關于軸對稱；3、曲線與關于直線對稱；4、曲線關于直線對稱曲線為；5、曲線關于直線對稱曲線為；6、曲線關于直線對稱曲線為；7、曲線關于點對稱曲線為。知識點5、冪函數(shù)的嚴格增（減）性例5、已知，若，則下列各式中正確的是（）A． B．C． D．【提示】【答案】【解析】【說明】知識點6、冪函數(shù)圖像通過定點：；例6、如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖像，則（）A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1知識點7、函數(shù)圖像的平移變換例7、函數(shù)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與的圖像關于軸對稱，則_________4.2指數(shù)函數(shù)知識點8、指數(shù)函數(shù)的定義例8、若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且知識點9、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例9、求函數(shù)的定義域、值域知識點10、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例10、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.（1）若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)的最大值為3，求a的值．知識點11、指數(shù)函數(shù)的圖像特征例11、函數(shù)的圖像恒過定點__________.【附】指數(shù)函數(shù)圖像問題的處理技巧(1)抓住圖像上的特殊點，如指數(shù)函數(shù)的圖像過定點；(2)利用圖像變換，如函數(shù)圖像的平移變換(左右平移、上下平移)；(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．奇偶性確定函數(shù)的對稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖像的走勢；4.3對數(shù)函數(shù)4.3.1對數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（2）知識點12、對數(shù)函數(shù)例12、若函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________.知識點13、反函數(shù)例13、函數(shù)y＝f(x)的圖像是過點(4，－1)的直線，其反函數(shù)的圖像過點(－3，－2)，求函數(shù)f(x)的表達式知識點14、定理：當，時，；例14、已知實數(shù)a＝log45，b＝，c＝log30.4，則a，b，c的大小關系為（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a知識點15、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)例15、已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1；（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若函數(shù)f(x)的最小值為－4，求a的值；知識點16、對數(shù)函數(shù)的圖像特征例16、（1）如圖，曲線C1，C2，C3，C4分別對應y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的圖像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小關系嗎？（2）函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的圖像大致為（）【教師版】《第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》知識點解讀與例析(2)知識點4、函數(shù)圖像關于數(shù)軸對稱例4、已知函數(shù)；（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）畫出函數(shù)的圖像；【提示】注意：函數(shù)的奇偶性及其圖像特征；（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可；（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；（3）先作出時，的圖象，再由偶函數(shù)的圖像關于軸對稱的性質(zhì)作出時，的圖像，由此能畫出函數(shù)的圖像；【答案】（1）；（2）是偶函數(shù)；（3）圖像見解析；【解析】（1）因為，所以，，解得．所以，函數(shù)的定義域為．（2）因為，，所以，函數(shù)是偶函數(shù)；（3）由（2）知當時，，當時，，且，所以，先作出時，的圖象，再由偶函數(shù)的圖像關于軸對稱的性質(zhì)作出時，的圖像，由此能畫出函數(shù)的圖像，如右圖所示：【說明】關于數(shù)軸對稱的推廣及其幾個重要的結(jié)論：（一）函數(shù)圖像本身的對稱性（自身對稱）1、函數(shù)滿足（為常數(shù)）的充要條件是的圖像關于直線對稱；2、函數(shù)滿足（為常數(shù)）的充要條件是的圖像關于直線對稱。3、函數(shù)滿足的充要條件是圖像關于直線對稱。（二）兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）1、曲線與關于軸對稱；2、曲線與關于軸對稱；3、曲線與關于直線對稱；4、曲線關于直線對稱曲線為；5、曲線關于直線對稱曲線為；6、曲線關于直線對稱曲線為；7、曲線關于點對稱曲線為。知識點5、冪函數(shù)的嚴格增（減）性例5、已知，若，則下列各式中正確的是（）A． B．C． D．【提示】確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，得到函數(shù)值的大小關系；【答案】B；【解析】在上單調(diào)遞減，，故，故；故選：B；【說明】當指數(shù)固定，冪函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)如下：（1）若，則冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間上增函數(shù)．（2）若，則冪函數(shù)在區(qū)間上減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖像在軸右方且無線地逼近軸；當趨于時，圖像在軸上方且無限地逼近軸；知識點6、冪函數(shù)圖像通過定點：；例6、如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖像，則（）A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1【提示】注意：冪函數(shù)圖像經(jīng)過定點的圖像特征【答案】B；【解析】選B.在(0，1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”；如圖，0＜m＜1，n＜－1；【說明】冪函數(shù)的性質(zhì)：在區(qū)間上都有定義，并且圖像都經(jīng)過（1,1）；知識點7、函數(shù)圖像的平移變換例7、函數(shù)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與的圖像關于軸對稱，則_________【提示】注意：圖像平移對解析式的影響；由對稱變換和平移變換依次寫出函數(shù)的解析式即可；【答案】【解析】根據(jù)題意，與函數(shù)的圖象關于軸對稱的函數(shù)為，將其向左平移1個單位長度后的圖象對應的解析式為，故答案為：.【說明】常見的圖像變化：①一般地，函數(shù)（a、b為正數(shù)）的圖象可由函數(shù)的圖象變換得到；將的圖象向左或向右平移a個單位長度可得到函數(shù)的圖象，再向上或向下平移b個單位長度可得到函數(shù)的圖象（記憶口訣：左加右減，上加下減）；②含有絕對值的函數(shù)的圖象變換是一種對稱變換。一般地，的圖象是關于直線對稱的軸對稱圖形；函數(shù)的圖象與的圖象在x軸上方相同，在x軸下方關于x軸對稱；③的圖象與的圖象關于y軸對稱，的圖象與的圖象關于x軸對稱；4.2指數(shù)函數(shù)知識點8、指數(shù)函數(shù)的定義例8、若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且【提示】注意：理解指數(shù)函數(shù)的定義；【答案】B；【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，得，解得；故選：B【說明】判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法：（1）需判斷其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)這一結(jié)構(gòu)特征．（2）看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個特征：①底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；②自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1；③ax的系數(shù)是1；知識點9、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例9、求函數(shù)的定義域、值域【提示】注意：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化；【解析】要使函數(shù)有意義，則x應滿足32x－1－eq\f(1,9)≥0，即32x－1≥3－2；因為，y＝3x在R上是增函數(shù)，所以，2x－1≥－2，解得x≥－eq\f(1,2)；故所求函數(shù)的定義域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))；當x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))時，32x－1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，＋∞))，所以，32x－1－eq\f(1,9)∈[0，＋∞)．則，原函數(shù)的值域為[0，＋∞)；【說明】函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法：（1）定義域：形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．（2）值域：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域；【注意】（1）通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集；（2）當指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時，在求定義域、值域時要注意分類討論；知識點10、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例10、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.（1）若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)的最大值為3，求a的值．【提示】注意：轉(zhuǎn)化為若干個初等函數(shù)；【解析】（1）當a＝－1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)；（2）令g(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，由于f(x)的最大值為3，所以g(x)的最小值為－1，當a＝0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－4x＋3，無最大值；當a≠0時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1))，解得a＝1，所以當f(x)的最大值為3時，a的值為1；【說明】對于指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的一些方法技巧：（1）求形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函數(shù)的單調(diào)性的特點：①函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域；②當a＞1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當0＜a＜1時，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反；（2）一般地，在復合函數(shù)y＝f(g(x))中，若函數(shù)u＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)增(減)函數(shù)，且函數(shù)y＝f(u)在區(qū)間(g(a)，g(b))或在區(qū)間(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，那么y＝f(g(x))在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性見下表：u＝g(x)增增減減y＝f(u)增減增減y＝f(g(x))增減減增由此可得，復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是：同增異減．知識點11、指數(shù)函數(shù)的圖像特征例11、函數(shù)的圖像恒過定點__________.【提示】利用指數(shù)函數(shù)恒過點(0,1)性質(zhì)解題；【答案】【解析】因為，所以，函數(shù)的圖像恒過定點，故答案為；；【說明】本題是利用指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)恒過定點(0,1)的性質(zhì)解決y＝ag(x)＋k(k為常數(shù))的恒過定點的問題，此類問題常見解法如下：分別將g(x)，y－k看作整體，令g(x)＝0，y－k＝1，求出(x，y)值即為所求定點．【附】指數(shù)函數(shù)圖像問題的處理技巧(1)抓住圖像上的特殊點，如指數(shù)函數(shù)的圖像過定點；(2)利用圖像變換，如函數(shù)圖像的平移變換(左右平移、上下平移)；(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．奇偶性確定函數(shù)的對稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖像的走勢；4.3對數(shù)函數(shù)4.3.1對數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（2）知識點12、對數(shù)函數(shù)例12、若函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________.【提示】理解與明確對數(shù)函數(shù)的定義；【答案】1；【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1，又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以，a＝1；【說明】判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：①系數(shù)為1.②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x；知識點13、反函數(shù)例13、函數(shù)y＝f(x)的圖像是過點(4，－1)的直線，其反函數(shù)的圖像過點(－3，－2)，求函數(shù)f(x)的表達式【提示】注意：原函數(shù)與反函數(shù)圖像間關系；【答案】由題意，設所求的函數(shù)為f(x)＝kx＋b(k≠0)，因為f(x)的圖像過(4，－1)，∴4k＋b＝－1，①又∵f－1(x)的圖像過點(－3，－2)，∴－2k＋b＝－3，②解①②可得：k＝eq\f(1,3)，b＝－eq\f(7,3)，從而f(x)＝eq\f(1,3)x－eq\f(7,3)；【解析】本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關系及性質(zhì)；知識點14、定理：當，時，；例14、已知實數(shù)a＝log45，b＝，c＝log30.4，則a，b，c的大小關系為（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a【提示】注意：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征與“特殊值”在比較大小中的“巧用”；【答案】D；【解析】由題知，a＝log45＞1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a；【說明】在比較不同低的指數(shù)與對數(shù)時，注意發(fā)揮“0”、“1”的中介作用；知識點15、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)例15、已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1；（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若函數(shù)f(x)的最小值為－4，求a的值；【提示】注意：利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＞0，,x＋3＞0，))解得－3＜x＜1，所以函數(shù)的定義域為(－3,1)；（2）函數(shù)可化為：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因為－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4；因為0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－eq\f(1,4)＝eq\f(\r(2),2)；【說明】特別注意：定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題時，要注意對數(shù)