新人教版A版高中數(shù)學(xué)（必修1）《第二章基本初等函數(shù)（I）》教案

§2.2對數(shù)函數(shù)

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

要點(diǎn)精析

1.對數(shù)的概念

一般地，如果，=N(a>0,且。燈)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logW，

其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

說明：(1)實(shí)質(zhì)匕上述對數(shù)表達(dá)式，不過是指數(shù)函數(shù)了=，的另一種表達(dá)形式，例如：

3，=81與4=log381這兩個式子表達(dá)是同?關(guān)系，因此，有關(guān)系式/=N=x=log,W，從而

得對數(shù)恒等式：alog“N=N.

(2)“l(fā)og”同“+”“X””等符號?一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個數(shù)和它的

塞求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫對數(shù)運(yùn)算，不過對數(shù)運(yùn)算的符號寫在數(shù)的前面.

(3)根據(jù)對數(shù)的定義，對數(shù)1。&陷心0,且介1)具有下列性質(zhì)：

①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即N>0;

的對數(shù)為零，即log〃l=0；

③底的對數(shù)等于1,即log/=L

2.對數(shù)的運(yùn)算法則

利用對數(shù)的運(yùn)算法則，可以把乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除

運(yùn)算，反之亦然.這種運(yùn)算的互化可簡化計(jì)算方法，加快計(jì)算速度.

(1)基本公式

①log?(MV)=log"M+lo&Nm>0,M>0,N>0),即正數(shù)的枳的對數(shù)，等于同一底

數(shù)的各個因數(shù)的對數(shù)的和.

②log“W=1og"M-logJV(tz>0,aWl,M>0,N>0),即兩個正數(shù)的商的對數(shù)，等于被除

數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù).

③lo&〃="log“"(a>0,論0,〃CR),即正數(shù)的辱的對數(shù)等于募的底數(shù)的對數(shù)

乘以塞指數(shù).

(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)注意點(diǎn)

①必須注意。0,N>0,例如log〃[(—3)X(—4)]是存在的，但是1。&,(一3)與log“(-4)

均不存在，故不能寫成10&,[(-3)X(—4)]=log?(—3)+loga(-4).

②防止出現(xiàn)以K錯誤:\oga(M±N)=lo&心log,M=lo&Mlog“N,10郎=鬻§,

log?A/'=(log?A/)H.

3.對數(shù)換底公式

在實(shí)際應(yīng)用中，常碰到底數(shù)不為10的對數(shù)，如何求這類對數(shù)，我們有下面的對數(shù)換底

公式：logW=；；3；(b>0,且c>0,且c/l；N>0).

證明設(shè)log}=x,則兩邊取以c為底的對數(shù)，

得xlo&b=log,N.所以》=器￡,即

換底公式體現(xiàn)了對數(shù)運(yùn)算中一種常用的轉(zhuǎn)化，即將復(fù)雜的或未知的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的或

需要的底數(shù)，這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用.

由換底公式可推出下面兩個常用公式：

a)log^=j^或]0**6=](20，且廿1；b>0,且b/l)；

,

(2)\oghnN"=-\og,l^N>0；b>0,且bWl：“WO,weR)

典例剖析

題型一正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

⑥例I對于a>0且。中1,下列說法中，正確的是（）

①若A7=N,則log0M=log“N；

②若log“M=lo&M則A/=N；

③若唯“序=10西，則朋=N；

2

④若M=N,則logflA/=Io&,y.

A.①與③B.②與④C.②D.①、②、③、④

解析在①中，當(dāng)V=NWO時，log“A/'與lo&N均無意義，因此log“A/=logJV不成立.

在②中，當(dāng)logJ0=log,W時，必有論0,N>0,且Af=N,因此A/=N成立.

在③中，當(dāng)1。8“病=10&22時，有例#0,Nr0,且序=M,即=但未必有M

=N.例如，M=2,N=-2時，也有10gMM=log“M,但MWN.

2

在④中，若M=N=0,則log//與log,"均無意義，因此10goM=logW2不成立.

所以，只有②成立.

答案C

點(diǎn)評正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件，使用運(yùn)

算性質(zhì)時，應(yīng)牢記公式的形式及公式成立的條件.

題型二對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

?例2求下列各式的值：

32

(l)21og32-log3y+log38-51og53；

2

(2)lg25+§lg8+lg5,lg20+0g2)2；

log^/2Jog79

log5；Tog7s

分析利用對數(shù)的性質(zhì)求值，首先要明確解題目標(biāo)是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，才

能使用性質(zhì)，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對于復(fù)雜的真數(shù)，可以先化簡再計(jì)算.

解(1)原式=210g32-(log332-log39)+310g32-3

=210g32-510g32+2+310g32-3=-1.

(2)原式=21g5+21g2+lgylg(2X10)+(lg2)2

=21g(5X2)+(l-lg2)-(lg2+1)+(lg2)2

=2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.

nr.lofo^-log793陽2-2嚙3

(3)?----=--------j-----

log5g-log7s-log53Hog74

l￡21g3

lg51g7__3

--Ig311g4~~2-

Ig53,lg7

點(diǎn)評對數(shù)的求值方法一般有兩種：一種是將式中真數(shù)的積、商、賽、方根利用對數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的和、差、

積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、霹、方根，然后化簡求值.

題型三對數(shù)換底公式的應(yīng)用

，例3計(jì)算：(Iog2i25+k>g425+k>g85)(log52+k>g254+logi258).

分析由題目可獲取以下主要信息：本題是一道對數(shù)化簡求值題，在題目中各個對數(shù)的

底數(shù)都各不相同.

解答本題可先通過對數(shù)換底公式統(tǒng)一底數(shù)再進(jìn)行化簡求值.

解方法一原式=

(.105<3+,廄25log^ViIOg5、2+工1叫4+1密8、

l^log24\og28Alog525log5125J

=(3bg,5+臀+界)(嚙62+霽+臀)

Is210g22310g22A210g5531og55；

=(3+1+|^log25-(31og52)

⑶。g?5器

lg25Jg￡

方法二原式++

lg4lg25

+縛+21g2

21g221g5

13.

點(diǎn)評方法一是先將括號內(nèi)換底，然后再將底統(tǒng)一；方法二是在解題方向還不清楚的情

況下，一次性地統(tǒng)一為常用對數(shù)(當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為底)，然后再化簡.上述

方法是不同底數(shù)對數(shù)的計(jì)算、化簡和恒等證明的常用方法.

易錯辨析

我務(wù)力，我進(jìn)步!

2

◎例4已知log(,v+3)(x+3x)-l,求實(shí)數(shù)x的值.

錯解由對數(shù)的性質(zhì)可得f+3x=x+3.

解得x=1或x=-3.

錯因分析對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)必須大于0且底數(shù)不等于1,這點(diǎn)在解題中忽略了.

'x2+3x=x+3,

正解由對數(shù)的性質(zhì)知,X2+3X>0,

了+3>0且》+3*1.

解得x=l,故實(shí)數(shù)x的值為1.

考題賞析

我A用，我援離!

對數(shù)的定義及其性質(zhì)是高考中的重要考點(diǎn)之一，主要性質(zhì)有：logj=0,10&,<7=1,alogjv

=N(a>0,且aWl,N>0).

1.(上海高考)方程9v-6-3v-7=0的解是

解析V9JC-6-3x-7=0,即3次-6-3'-7=0

/.(3X-7)(3X+1)=0

.?.3*=7或3*=-1(舍去)

；?x=log37.

答案log37

一?^自主訓(xùn)練—

1.對數(shù)式1。&“-3）（7—。）=從實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(一8,7)B.(3,7)

C.(3,4)U(4,7)D.(3,+~)

答案C

fa-3>0,

解析由題意得*-3W1,解得3<。<7且“W4.

2.設(shè)a=log32,則log38—21og36用a表示的形式是()

A.a—2B.3Q—(l+a)2

C.5a—2D.—a2+3a—1

答案A

解析?：a=log32,/.log38-210g36=3Iog32-2(log32+1)

=3(7-2((7+1)=<7-2.

3.Iog56?log67?log78?log891og910的值為()

A.1B.Ig5C.j^D.l+lg2

答案C

缶”獷后...1g61g71g81g91gl0IglO1

解析原式=愴5癡愴7尼8愴9=3=后

4.已知log“g2+i)<log“2a<0,則。的取值范圍是()

A.(0,1)B(0,

C(；，1)D.(1,+8)

答案C

[0<a<l,

解析由題意，得

[2a>],

Va>0,oWl,10及(42+l)vlogq2。,/.0<(7<l..*.^<a<l.

1

5.已知函數(shù)外)=，+logt^,(67>O,QWI)在[1,3]上最大值與最小值之和為則4的

值為()

A.4B.；C.3D.1

答案D

6.若方程(lgr)2+(lg7+lg5)lgr+lg74g5=0的兩根為a,夕，則磔等于()

A.Ig71g5B.Ig35C.35

答案D

解析Iga+lg/5=-(lg7+Ig5)=-lg35=lg^

a'P=七

7.已知7(log2X)=x,則彳1)=.

答案y]2

解析令log2x=I，則2；=X,.,.6)=2；=啦.

8.log(，-M啦+1)=.

答案T

解析lo乩I(A/2+1)=logV2i"點(diǎn)噂一~

=唾心>±7=T

9.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgr=-2+0.7781則x=

答案0.06

解析Vlg2=0.3010,lg3=0.4771,

而0.3010+0.4771=0.7781,：.\gx=-2+lg2+lg3,

即lgx=lgl0-+[g6.

2

Algr=lg(6X10),即x=6X1(T2=006

10.(1)已知Igx+Igy=21g(x—2y),求的值;

h

(2)已知logI89=67,18=5,試用a,b表示log365.

解(l)lgx+Igy=21g(x-2y),

.'.xy=(x-2yy,Bpx-5xy+4y2=0.

BP(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y,

,x>0,

又v<y>o,/.%>2y>o,

.x-2y>0,

.*.x=y,應(yīng)舍去，取x=4y.

則logV2^=logV2^=logV24==4.

(2)V18^=5,Alogi85=b,又tloga=%

_logQ_b

,og3p-

lg1836-log18(18X2)

b

~~'18

1+iogi8y

b_b

1+(1-log189)2-d

11.設(shè)a,h,c均為不等于1的正數(shù)，且/=〃,=，，1+^+：=0,求的值.

解令a=lf,=d=t(/>0且1),

則有:=log修，：=log力，1=logzc,

又：+^+；=0,/.iog^bc=0,^.abc=1.

12.已知a,b,c是AABC的三邊，且關(guān)于x的方程x2—2x+lg(c2-Z?2)—21gtz+1=0

有等根，試判定△48C的形狀.

解關(guān)于x的方程x2-2x+lg(c2-h2)-2\ga+1=0有等根,

AA=0,即4一4[lg(c2-b2)-21ga+l]=0.

即lg((?-//)一2\ga=0,故c2-b2=a2,

???/+/=/,??.△ZBC為直角三角形.

講練學(xué)案部分

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算(一)

----8?-自主學(xué)案—

□學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解對數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化.

2.了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義.

3.理解對數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對數(shù)的計(jì)算.

a自學(xué)導(dǎo)引

I.如果a(a>0且a#1)的b次暴等于N,就是J=N,那么數(shù)b叫做以〃為底N的對數(shù),

記作b=log〃M其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

2.對贏J性質(zhì)有：(1)1的對數(shù)為重；

(2)底的對數(shù)為1；

⑶零和負(fù)數(shù)沒看對數(shù).

3.通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),logiW可簡

記為logJV簡記為IwV.

4.若〃>0,且a豐1,則—=N等價于logJV=b.

5.對數(shù)恒等式：4k)g〃N=Ma>0且aWl)

對點(diǎn)講練

一、對數(shù)式有意義的條件

例1求下列各式中X的取值范圍：

2

(l)log2(x—10)；(2)log(「i)(x+2)；(3)log(x+i)(x—I).

分析由真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1可得到關(guān)于X的不等式(組)，解之即可.

解(1)由題意有X-IOO,即為所求.

[x+2>0,

(2)由題意有

〔工-1>0且1-1￡1,

x>-2,

即口**?1且xW2.

卜力且工力？,

[(x-1)2>0,

(3)由題意有1八口1^1

x+1>0且x+1W1,

解得上>T且xWO,xWl.

點(diǎn)評在解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，一定要注意：對數(shù)真數(shù)大于零，對數(shù)的底數(shù)大于零

且不等于1.

變式遷移1在6=10&。-2)(5—。)中，實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>5或a<2B.2<a<5

C.2<K3或3<a<5D.3<a<4

答案C

5-<2>0

解析由題意得上-2>0,

q-2Wl

二2<4<5且ar3.

二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

例2將下列對數(shù)形式化成指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式：

(1)54=625；(2)log18=-3；

(3)Q)-2=16;(4)Iogl0l000=3.

分析利用a=N0x=logcN進(jìn)行互化.

4

解(1)V5=625,Alog5625=4.

(2)Vlog18=-3,

(3)*)-2=16,；謁16=-2.

3

(4)Vlogl0l000=3,.\10=1000.

點(diǎn)評指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算是一對互逆運(yùn)算，在解題過程中，互相轉(zhuǎn)化是解決相關(guān)問題的重

要途徑.在利用a'uNOLbgJV進(jìn)行互化時，要分清各字母分別在指數(shù)式和對數(shù)式中的位

置.

變式遷移2將下列對數(shù)式化為指數(shù)式求x值：

32

(l)log,v27=2；(2)log2x=一1

(3)log5(log2x)=0;(4)x=log271;

(5)x=log116.

解⑴由10&27=方,得x|=27,Ax=27|=32=9.

(2)由log2X=-1!，得2-曰=x,.?.x=—！―=羋.

1

(3)由log5(log2x)=0,得log2x=1,Ax=2=2.

(4)由X=log27§，得27*=§,即3*r=32,

7二二

??x3.

(5)由x=log116,得&=16,BP2'x=24,

**.x=-4.

三、對數(shù)恒等式的應(yīng)用

例3（1）。10&31。8月10&汽的值（。,b,c￡R例且不等于1,7V>0）；

（2）41（log29-log25）.

解（1）原式=（Hog滴）log〃ulogcN=Alog/,clogcjV=（Mog努logJV

=clo&W=N.

2IOJZ）99

（2）原式=2（log29-log25）=2益5=§

點(diǎn)評對數(shù)恒等式alogJV=N相要注意格式：（1）它們是同底的；（2）指數(shù)中含有對數(shù)形

式；（3）其值為真數(shù).

變式遷移3計(jì)算：310g3小+（S）log3上.

解原式=小+3310g3g=y[s+（31og31）|

咬__________

⑥課堂小結(jié)

1.一般地，如果的6次早等于N,就是J=N,那么b叫做以。為底N

的對數(shù)，記作logW=6,其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2.利用J=M?/）=logW（其中a>0,a￥l,20）可以進(jìn)行指數(shù)與對數(shù)式的互化.

3.對數(shù)恒等式：Hog,W=Ma>。且aWl）.

----8課時作業(yè)一??*----

一、選擇題

1.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）

A.10°=1與lgl=0

B.27-；=g與log?7/：-/

C.Iog3；=9與%=3

D.Iog55=l與3=5

答案C

2.指數(shù)式戶=〃S>0,6W1）所對應(yīng)的對數(shù)式是（）

A.k）g6Q=QB.log6b=。

C.log^Z>=6D.log/,67—6

答案D

3.若log,（小一2）=—1,則x的值為（）

A.A/5-2B.A/5+2

C市-2或小+2D.2~y[5

答案B

4.如果<10'）=x,則43）等于（）

310

A.log310B.Ig3C.10D.3

答案B

解析方法一令10'=/,則x=lg/,

⑶=lg3.

方法二令10、=3,則x=lg3,.\/3）=lg3.

5.21+；log25的值等于()

A.2+小B.2小

C.2+坐D.1+坐

答案B

解析21+30g25=2X2^1og25=2X21og25^

=2X592^5.

二、填空題

6.若5皎=25,則x的值為.

答案100

解析V5181=52,/.Igr=2,.,.x=102=100.

7.設(shè)log“2=/n,10go3=〃，則/的值為

答案12

mn

解析loga2=m,log03=M,.*.a=2,a=3,

.../“=/"=")2.八22義3=12.

8.已知lg6七0.7782,則d”82仁

答案600

2778

解析10-2P()2X[。旗=600

三、解答題

9.求下列各式中x的值

⑴若嗨，鄉(xiāng)'')=1，則求x值；

⑵若log,003(/-1)=0，則求X值.

解(l)：log3[^^|=l,...'4^=3

1-2x=27,即x=T3

⑵???1唯003(/-1)=0

.,.x2-1=1,即x2=2

.'.x=±\f2

10.求x的值：(l)x=log-^4；(2)x=log9M5；(3)x=71—log75；

(4)logv8=—3；(5)logp-=4.

解(1)由已知得：停卜4,

.,.2-5=2?,-1=2,x=-4.

(2)由已知得:9X=小,即3為=3T.

.?.2x=1.T

7

(3)x=7-71og75=7-5=^

(4)由已知得：X-3=8,

即(￡)3=23,1=2,

⑸由已知得：2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算(二)

----一?—自主學(xué)案—

D學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其推導(dǎo).

2.能運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值和證明.

D自學(xué)導(dǎo)引

1.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果心0,M>0,N>0,那么,

(l)log</(AW)=logJ0+log〃N；

M

(2)log，w=j2gsM2212g虺；

(3)log〃"=〃logM〃eR).

2.對數(shù)換底公式：log/二震.

對點(diǎn)講練

一、正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

例1若a>0,a^l,x>0,y>0,x>y,下列式子中正確的個數(shù)有()

①logWIo即=1。氏(x+y)；

②log1fx-10gtiy=logjx—y)；

③lo&歹=log<A+lo&炭；

④10go(中)=log/logj.

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案A

解析對數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是把積、商、幕的對數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算.在

運(yùn)算中要注意不能把對數(shù)的符號當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運(yùn)算，如lo&K#log“x,logd是不可

分開的一個整體.四個選項(xiàng)都把對數(shù)符號當(dāng)作字母參與運(yùn)算，因而都是錯誤的.

點(diǎn)評正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件.

變式遷移1若。>0月x>0,〃WN*,則下列各式正確的是()

A.Iog,A=—log?-B.(log?x)”=〃logM

C.00glA)"=bg/"D.log,A=loga(

答案A

二、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

例2計(jì)算:

7

(l)log535-210g5§+log57—log51.8；

(2)2(lgV2)2+lgV21g5+^(lgV2)2-lg2+l；

^,lgV27+lg8-lgVr000

⑶lgl.2；

(4)(lg5)2+lg21g50.

分析利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.

9

解(1)原式=log5(5X7)-2(log57-log53)+log57-log5^

=logsS+log57-21og57+210g§3+log57-21og53+log55

=210g$5=2.

(2)原式=lgV2(21gV2+lg5)+A/(lgV2-l)2

=lgV2(lg2+lg5)+1-lgV2=lg72+1-lgx/2=1.

(3)原式)麻+3植2-；31g3+61g2-32

lg3+21g2-12(lg3+21g2-1)2-

(4)原式=(lg5)2+lg2-(lg2+21g5)

=(lg5)2+21g5-lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.

點(diǎn)評要靈活運(yùn)用有關(guān)公式.注意公式的正用、逆用及變形使用.

變式遷移2求下列各式的值：

(l)log535+21ogp/2-log5^-log514；

2

(2)[(l-log63)+log62-log618]+log64.

解⑴原式

2

=log5(5X7)-21og221+log5(5X2)-log5(2X7)

=1+log57.1+2+log52-log52-log57=2.

2

⑵原式=[lo后2+log62-log6(3X6)]-log62

=log62(log62+log63+l)-(21og62)=1.

三、換底公式的應(yīng)用

例3(1)設(shè)3、=4"=36,求，2"1的值；

(2)已知已gi89=a,186=5,求log3645.

解(1)由已知分別求出x和x

：3*=36,4'=36,

.'.X=log336,y=log436,

由換底公式得：

=log3636=],=log3636=]

-

Alog363-R)g363')-log364log364'

log363,-=log364,

21

+

-■-77=21og363+log364

2

=log36(3X4)=log3636=1.

(2)Vlogi89=0,18*=5,.,.log]g5=b.

.._logix45_logi8(9X5)

..log3645-log]s36-logig(18x2)

_10glg9+logi85_a+b_a+b

=1+1Ogl82=

l+logl8f~'

點(diǎn)評指數(shù)式化為對數(shù)式后，兩對數(shù)式的底不同，但式子兩端取倒數(shù)后，利用對數(shù)的換

底公式可將差異消除.

變式遷移3(1)設(shè)log34-log48-logx/H=log416,求m；

(2)已知10gl227=。,求log616的值.

解（1）利用換底公式，得翳?修?牒=2,

，lg加=21g3,于是加:9.

31g3

⑵由log1227=a,得:2lg2+lg3="

..&2al^2.Ig3_2o_

?*3=3“'.3g2=3Y

..?41g24

.」og616=ig3+lg2=3L+1

3-67

4（3-a）

3+a-

?課堂小結(jié)

1.對于同底的對數(shù)的化簡常用方法是：

（1）“收”，將同底的兩對數(shù)的和（差）化成積（商）的對數(shù)；

（2）“拆”，將積（商）的對數(shù)拆成對數(shù)的和（差）.

2.對于常用對數(shù)的化簡要充分利用“Ig5+lg2=l”來解題.

3.對于多重對數(shù)符號對數(shù)的化簡，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡求值.

一?—課時作業(yè)—一?

一、選擇題

1.Ig8+31g5的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

答案D

解析lg8+31g5=Ig8+lg53=Igl000=3.

2.已知lg2=mlg3=6,則log36等于（）

a+ha+h

A.------B.-;—

ab

_a_b

^a+ba+h

答案B

解析log36=,g3=lg3=-

3.若Igo,Igb是方程2?—4x+l=0的兩個根，則（1點(diǎn)）2的值等于（）

A.2B、C.4D.；

答案A

解析由根與系數(shù)的關(guān)系，得lgo+lgZ）=2,lga-lgZ>=；,

=（Igcr+lgb）2-41galgb

i1

=22-4X-=2.

4.若2.5*=1000,0.25,=l000,貝日一1等于（）

A.1B.3C.D.-3

答案A

嬴斤由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式：

X=log25l000,y=logo.25l000，

則[一,=log,ooo2.5-logioooO.25=log1000IO=y.

5.設(shè)函數(shù).Ax)=log“t(心0,且aWl),若義RM…應(yīng)005)=8,貝！]兀淄+/(■玲H--h/(x；oo5)

的值等于()

A.4B.8C.16D.21o&8

答案C

解析因?yàn)镴(x)=log/,J[X\X2…X2005)=8,

所以渴)+欣)+…+於005)

=logaXi+log*+…+log^oos

=210goiXiI+2loga|x2|+…+210gm20051

=21O&K1X2…X2005I

=2/(X|X2—X2005)=2X8=16.

二、填空題

6.設(shè)Ig2=q,lg3=6,那么.

小-a+2h-1

答茶

__IIIOI2X9

解析1€宿=50.8=21斷6=21盯限

=1(lg2+lg9-l)=|((7+2fe-1).

7.若log』=2,log*=3,log,jc=6,則log^/的值為.

答案1

解析logger-bgdjc-logR+log/+log*

'/logf/x=2,log廬=3,\ogcX=6

/.logr^=1,log，=?log/-=

「?lo&M=j[=[=L

236

8.已知log63=0.6131,log6X=0.3869,貝llx=.

答案2

解析由log63+logQ=0.6131+0.3869=1.

得log6(3x)=1.故3x=6,x=2.

三、解答題

9.求下列各式的值：

(1)2lg49-3lg^+；

(2)(lg5)2+21g2-(lg2)2.

解⑴方法一原式=；(51g2-21g7)-dlg2

+|(21g7+lg5)

=1lg2-lg7-21g2+Ig7+|lg5

=|lg2+|lg5=1(lg2+lg5)

方法二原式=-lg4+lg7小

,4福義7小

=s7X4

=愴(小?小)=IgVTb=1.

(2)方法一原式=(lg5+Ig2)(lg5-lg2)+21g2

=lglOTg|+lg4=lg(|x4)=lglO=1.

方法二原式=(IglO-lg2)2+21g2-lg22

=1-21g2+lg22+21g2-lg22=1.

i7a

10.26a=33b=62c,求證：分=?

證明設(shè)26"=338=62,=4(上>0),那么

C6八~

廠硒=61。點(diǎn),

6a=log2左,

13

3b=噫左,廠麗=31og3

2c=log/r,

612,,

〔1麗=2log￡

S+，6-logA2+2X310g后

3

=log。6義36)=610gA6=3X210g*6=

l23

即on一+工=二

abc

2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

----—要點(diǎn)精析——

1.對數(shù)函數(shù)的概念

形如(<7>0且aWl)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù).

對于對數(shù)函數(shù)定義的理解，要注意：

(1)對數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來的，由指數(shù)式與對數(shù)式關(guān)系知，對數(shù)函數(shù)的自變量x

恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值”所以對數(shù)函數(shù)的定義域是(0,+8)；

(2)對數(shù)函數(shù)的解析式r-logj中，lo&x前面的系數(shù)為1,自變量在真數(shù)的位置，底數(shù)。

必須滿足<2>0,且。W1；

(3)以10為底的對數(shù)函數(shù)為y=lgx,以e為底的對數(shù)函數(shù)為y=lnx.

2.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

a>\0<o<l

L

圖象

\："1OJ

性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+°°),值域?yàn)?-8,H-CO)

函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0),即恒有l(wèi)og“l(fā)=0

當(dāng)x>l時，恒有戶0；當(dāng)x>l時，恒有產(chǎn)0；

當(dāng)0<x<l時，恒著y<0當(dāng)(Kxvl時，恒有y>0

函數(shù)在定義域(0,+°°)上為減函

函數(shù)在定義域(0,+8)上為增函數(shù)

數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系比較

名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

解析式y(tǒng)=a(i/>0,且aWl)y=logRAO,且aW1)

定義域(—8,+oo)(0,+8)

值域(0,+°°)(—8,H-OO)

7>1時，a>\時，logaX

>1(%>0)>0(x>1)

ax<=1(%=1);<=0(x=1)；

<l(x<0)>0(0<x<1)

函數(shù)值變

化情況0<k時，)<a<l時，log^A

<l(x>0)<0(x>1)

x<=l(x=1)

xa=0(x=1)

>l(x<0)>0(0<x<1)

圖象必

點(diǎn)(0,1)點(diǎn)(1,0)

過定點(diǎn)

a>\時，是增函

數(shù)；夕>1時，y=log/是增函數(shù)；

單調(diào)性

0<67<1時,是減函0<i/<l時，y=log/是減函數(shù)

數(shù)

圖象y="的圖象與y=IogM的圖象關(guān)于直線y=x對稱

實(shí)際上，觀察對數(shù)函數(shù)的圖象不難發(fā)現(xiàn)，對數(shù)函數(shù)中的值y=log,酒有以下規(guī)律:

(1)當(dāng)(m—1)(〃-1)>0,即》?、〃范圍相同(相對于"1”而言)，則10gmM>0；(2)當(dāng)(加一1)(〃

-1)<0,即機(jī)、〃范圍相反(相對于“1”而言)，則log,”〃<0.有了這個規(guī)律，我們再判斷對數(shù)

值的正負(fù)就很簡單了，如log2；<0,Iog52>0等，一眼就看出來了！

一?—典例剖析—

題型一求函數(shù)定義域

>例1求下列函數(shù)的定義域：

A/2X+3

(l?=log3「l\_］；

⑵尸布言行?！?“").

分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的X的范圍.

解(1)要使函數(shù)有意義，必須｛2x+3>0,X-1>0,3x-1>0,3X-1W1同時成

立,

f312

解得X>1,X>yX^y

二定義域?yàn)?1，+8).

(2)要使原函數(shù)有意義，需1-log“(x+a)>0,

即log0a+a)vl=10goa.

當(dāng)a>l時，0<x+a<q,/.~a<x<0.

當(dāng)O〈a<l時，x+a>a,；.x>0.

.?.當(dāng)a>l時，原函數(shù)定義域?yàn)閧x|-a<x〈O};

當(dāng)0<q<l時，原函數(shù)定義域?yàn)閧x|r>0}.

點(diǎn)評求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等

于1,若分母中含有x,還要考慮不能使分母為零.

題型二對數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

‘，例2⑴k?g43,log34,lo戰(zhàn)的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

43

A.log34<log43<log^

43

B.log34>log43>log^

43

C.log34>log^>log43

43

D.Iog^>log34>log43

⑵若/試比較log“￡,logA，，［ogM，bg/的大小.

⑴解析Vlog34>l,0<log43<l,

Alog34>log43>log^.

答案B

(2)解'：b>a>l,/.0<|<l.

/.log?1<0,log'G(0,1),log必e(0,1).

bb

又o>->1,且b>1,log%<log/,a,

故有l(wèi)og^log^log/^log.^.

點(diǎn)評比較對數(shù)的大小，一般遵循以下幾條原則：

①如果兩對數(shù)的底數(shù)相同，則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(底數(shù)°>1為增；0<a<l為減)比較.

②如果兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量進(jìn)行比較.

③如果兩對數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同，如y=log”、與y=logGX的比較。蘆1,

。2>°，。2W1).

當(dāng)4[>夕2>1時，曲線為比及的圖象(在第一象限內(nèi))上升得慢.即當(dāng)X>1時，刈勺2；當(dāng)

O〈X<1時，川>絲.而在第一象限內(nèi)，圖象越靠近X軸對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.

當(dāng)時，曲線刃比外的圖象(在第四象限內(nèi))下降得快.即當(dāng)%>1時，為勺2；當(dāng)

0VXV1時，川,”即在第四象限內(nèi)，圖象越靠近X軸的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小.

⑥例3已知那么“的取值范圍是.

分析利用函數(shù)單調(diào)性或利用數(shù)形結(jié)合求解.

解析由log?1<l=log?<7,得當(dāng)a>l時，顯然符合上述不等式，.">1；當(dāng)0<a<l時，

(7<2>.*<0<6T<^.

故或

答案或0<67<1

點(diǎn)評解含有對數(shù)符號的不等式時，必須注意對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1,然后再

利用相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.理解會用以下幾個結(jié)論很有必要：

(1)當(dāng)a>\時,logQ>0<=>x>1,log/vO<=>0<x<l；

(2)當(dāng)0〈QV1時,1OGK>000VXV1,10^<0<=>%>1.

題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用

0例4若不等式年一log^vO,當(dāng)x￡(0,1

時恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解

0,一］內(nèi)恒在

要使不等式2x<logax在x￡

<2J

.由圖可知，logag>J5,

函數(shù)產(chǎn)2x圖象的上方，而尸2x圖象過點(diǎn)

顯然這里0<a<l,函數(shù)y=logax遞減.

企

又loga*^〉,2=log“Q、2,.,.a5,2>—,即a>r-

所求的a的取值范圍為(g)之QV.

點(diǎn)評原問題等價于當(dāng)xe(o,；)時，yl=2x的圖象在y2=logax的圖象的下方，由于

a

的大小不確定，當(dāng)a>l時,顯然y2〈yl,因此a必為小于1的正數(shù),當(dāng)y2的圖象通過點(diǎn)

42