高中數(shù)學(xué)解題思路集錦

高中數(shù)學(xué)解題思路集錦

目錄

前言..............................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法....................3

一、配方法..................................3

二、換元法..................................7

三、待定系數(shù)法.............................14

四、定義法.................................19

五、數(shù)學(xué)歸納法............................23

六、參數(shù)法.................................28

七、反證法.................................32

八、消去法...............................

九、分析與綜合法.........................

十、特殊與一般法........................

H-一、類比與歸納法....................

十二、觀察與實(shí)驗(yàn)法....................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想.................35

一、數(shù)形結(jié)合思想...........................35

二、分類討論思想...........................41

三、函數(shù)與方程思想.........................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想......................54

第三章高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略.................59

一、應(yīng)用問(wèn)題...............................59

二、探索性問(wèn)題.............................65

三、選擇題解答策略.........................71

四、填空題解答策略.........................77

附錄...........................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析.....................

二、兩套高考模擬試卷.....................

三、參考答案..............................

刖言

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題

型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。

高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。

我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查:

①常用數(shù)學(xué)方法配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等;

②數(shù)學(xué)邏輯方法分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等;

④常用數(shù)學(xué)思想函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描

述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于

思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)

學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解

題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。

可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的

認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書(shū)先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、

待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法,

再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思想。最后談?wù)劷忸}

中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問(wèn)題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡(jiǎn)單的選擇

填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問(wèn)題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效

果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

第章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為

簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有

時(shí)也將其稱為“湊配法”。

最常見(jiàn)的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等

式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配

方形式，如：

a+b=(a+b)—2ab=(a—b)+2ab；

a+ab+b—(a+b)-ab=(a—b)+3ab=(a+)+(b)；

a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]

a+b+c=(a+b+c)—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)—2(ab-be—ca)="■■

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)；

x+=(x+)-2=(x-)+2；...等等。

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝中，aa+2aa+aa=25,貝a+a=?

2.方程x+y—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.<k<lB.kv或k>lC.kSR口.1<=或1<=1

3.已知sina+cosa=1,則sina+cosa的值為。

A.1B.-1C.1或一1D.O

4.函數(shù)y=log(-2x+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

A.(-8,]B.[,+8)C.(-,]D.[,3)

5.已知方程x+(a-2)x+a-l=0的兩根x、x,則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a=。

【簡(jiǎn)解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa=a,將已知等式左邊后配方(a+a)易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x—a)+(y-b)=r,解r>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sina+cosa)—2sinacosa=1,求出sinacosa,然后求出所求式的平方值，再開(kāi)方

求解。選C。

4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3一。

II、示范性題組：

例1.已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為。

A.2B.C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,則，而欲求對(duì)■角線長(zhǎng)，將其配湊成兩已知式的組合形

式可得。

【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：。

長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：===5

所以選B。

【注】木題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配

方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的?種解題模式。

例2.設(shè)方程x+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,若()+()<7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

【解】方程x+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

()+()====W7,解得kW—或k2。

又Vp>q為方程x+kx+2=0的兩實(shí)根，Z\=k-820即kN2或kW—2

綜合起來(lái)，k的取值范圍是：-Wk<一或者Wk<。

【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。

本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。

假如本題不為“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉為的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完

整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a+ab+b=0,求()+()?

【分析】對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()+()+1=0,貝IJ=3(3為1的立方虛根)；或配方為(a+b)=ab。則代

入所求式即得。

【解】由a+ab+b=0變形得：()+()+1=0,

設(shè)3=,則3+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：=,3==1。

又由a+ab+b=0變形得：(a+b)=ab,

所以()+()=()+()=()+()=3+=2。

【注】本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次嘉。一系列的

變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開(kāi)。

【另解】由a+ab+b=0變形得：()+()+1=0，解出=后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()+()后，

完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到3時(shí)進(jìn)行解題。

假如本題沒(méi)有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a+ab+b=0解出：a=b,直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)

后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。

III、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)+(x—b)(a,b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.C.D.最小值不存在

2.a、B是方程x-2ax+a+6=0的兩實(shí)根，則(a-l)+(6-1)的最小值是。

A.-B.8C.18D.不存在

3.已知x、yGR，且滿足x+3y—l=0,則函數(shù)t=2+8有。

A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值

4.橢圓x—2ax+3y+a—6=0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x+y+4=0上，則a=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡(jiǎn)：2+的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F和F為雙曲線一y=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足/FPF=90°,則AFPF的面積是。

7.若x>-l,則f(x)=x+2x+的最小值為。

8.已知〈B<a(it,cos(a-0)—,sin(a+B)=—,求sin2a的值。(92年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax+Bx+C,給定m、n(m〈n),且滿足A[(m+n)+mn]+2A[B(m+n)—Cmn]+B+C=0.

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使當(dāng)te(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0?若不存在，說(shuō)出理山；若存在，指出t的取值范圍。

10.設(shè)s>l,t>l,mGR,x=k?gt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有—個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)

化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從

而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者

把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、

三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次

出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4+2-220,先變

形為設(shè)2=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。

如求函數(shù)丫=+的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)xC[O,l],設(shè)*=日11a,aG[0,],問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么

會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x+y=r(r>0)時(shí)，

則可作三角代換x=rcos0、y=rsin0化為三角問(wèn)題。

均值換元，如遇到*+丫=5形式時(shí)，設(shè)*=+t,y=-t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范

圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和aw[0,]o

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx,cosx+sinx+cosx的最大值是?

2.設(shè)f(x+l)=log(4—x)(a>l),則f(x)的值域是。

3.已知數(shù)列｛a｝中，a=-1,a?a—a—a,則數(shù)列通項(xiàng)a=。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是。

5.方程=3的解是<,

6.不等式log(2-1)-log(2-2)〈2的解集是o

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx=te[—,],則丫=+t—,對(duì)稱軸t=-1,當(dāng)t=,y=+；

2小題：設(shè)x+l=t(t2l),則f(t)=log[-(t-1)+4],所以值域?yàn)?-8,kg4]；

3小題：已知變形為一=—1,設(shè)b=,則b=—l,b=—l+(n—1)(-1)=-n,所以a-；

4小題：設(shè)x+y=k,則x—2kx+l=0,A=4k—4N0,所以k》l或kW—l；

5小題：設(shè)3—y,則3y+2y—1=0,解得y=,所以x=-1；

6小題:設(shè)log(2—l)=y,則y(y+l)<2,解得一2〈y〈l,所以xWQogJog3)。

II、示范性題組：

例1.實(shí)數(shù)x、y滿足4x-5xy+4y=5(①式)，設(shè)S=x+y,求+的值。(93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

【分析】由S=x+y聯(lián)想到cosa+sina=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入①式求S和S的值。

【解】設(shè)代入①式得：4S—5S,sinacosa=5

解得S=；

；-lWsin2aW13W8—5sin2aW13，WW

二+=+==

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=的有界性而求，即解不等式：||W1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)

常用到的“有界法”。

【另解】由S=x+y,設(shè)*=+t,y=-t,t￡[—,],

則xy=±代入①式得：4s±5=5,

移項(xiàng)平方整理得100t+39S-160S+100=0。

39S-160S+100^0解得：WSW

+=+==

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x+y與三角公式cosa+sina=1的聯(lián)系

而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是山等式S

=x+y而按照均值換元的思路，設(shè)x=+t、y=-3減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值

域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)x=a+b,y=a—b,這稱為“和

差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a+13b=5,求得ae[0,],

所以S=(a—b)+(a+b)=2(a+b)=+a￡[,],再求+的值。

例2.AABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,+=一,求cos的值。(96年全國(guó)理)

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180?！钡男再|(zhì)，可得；由“A+C=120°”進(jìn)行均值換元,

則設(shè)，再代入可求cosa即cos。

【解】由ZSABC中已知A+C=2B,可得，

由A+C=120°,設(shè)，代入已知等式得：

+=+=+===-2,

解得：cosa=,即：cos=。

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以+=-

——2,設(shè)=-+m,=——m,

所以cosA=,cosC=,兩式分別相加、相減得:

cosA+cosC=2coscos=cos=，

cosA—cosC=_2sinsin=-sin=,

即：sin—,—,代入sin+cos=1整理得：3m—16m—12=0,解出m=6,代入cos==。

【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、“+=-2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式

進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)

算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以+=—=-2,即cosA+cosC=-2cosAcosC,和

積互化得：

2coscos=—[cos(A+C)+cos(A-C),即cos=—cos(A-C)=—(2cos—1),整理得：4cos+2cos—3=0,

解得：cos—

y

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx,cosx—2a的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,貝山(sinx+cosx)=1+2sinx?cosx得：sinx,cosx=

f(x)=g(t)=-(t-2a)+(a>0),te[-,]

t=-時(shí)，取最小值：一2a—2a—

當(dāng)2a2時(shí)，t=,取最大值：-2a+2a-；

當(dāng)0<2aW時(shí)，t=2a,取最大值：。

f(x)的最小值為一2a—2a—,最大值為。

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(te[-,])與sinx+

cosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)

系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為

f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x,不等式xlog+2xlog+log>0恒成立，求a的取值范圍。(87年全國(guó)理)

【分析】不等式中l(wèi)og、log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。

【解】設(shè)log=t,則log=log=3+k)g=3—log=3—t,log=2log=-2t,

代入后原不等式簡(jiǎn)化為(3-t)x+2tx-2t>0,它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：

，解得t<0即log<0

0<<1,解得ovavl。

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式

中l(wèi)og、log、log三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)

運(yùn)算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的已知條件

進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。

例5.已知=，且+=(②式)，求的值。

【解】設(shè)—=k,則sin9=kx,cos。=ky,且sin0+cos?=k(x+y)=1,代入②式得：+==即：+

設(shè)=t,則t+=,解得：t=3或=±或±

【另解】由==tg。，將等式②兩邊同時(shí)除以，再表示成含tgO的式子：1+tg。==tg。，設(shè)tg。=t,則

3t-10t+3=0,

；.t=3或，解得=±或±。

【注】第一種解法由=而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將已知變形為=,不難發(fā)現(xiàn)

進(jìn)行結(jié)果為tgO,再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次

數(shù)降低。

例6.實(shí)數(shù)x、y滿足+=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

【分析】由已知條件+=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a+b=1有相似之處，于是實(shí)施三角換元。

【解】由+=1,設(shè)=coso,=sin0,

即：代入不等式x+y-k>0得:

3cos9+4sin0—k>0,即k<3cos0+4sin9=5sin(0+W)

所以k<-5時(shí)不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題(或者是解析幾何問(wèn)題)化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題，再運(yùn)用“分離

參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求HI參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式

時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。

y

X

x+y—k>0

k平面區(qū)域

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹?/p>

線ax+by+c=O所分平面成兩部分中含x軸正方向的,部分。此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終

位于平面上x(chóng)+y-k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y-k=0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組

有相等的組實(shí)數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。

III、鞏固性題組：

1.已知f(x)=lgx(x>0),則44)的值為。

A.21g2B.Ig2C.Ig2D.Ig4

2.函數(shù)y=(x+l)+2的單調(diào)增區(qū)間是。

A.[-2,+8)B.[-1,+°°)D.(-8,+8)c.(-8,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差d=,且S=145,則a+a+a+……+a的值為。

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x+4y=4x,則x+y的范圍是。

5.已知a20,b20,a+b=l,則+的范圍是。

6.不等式>ax+的解集是(4,b),則a=,b=?

7.函數(shù)y=2x+的值域是。

8.在等比數(shù)列｛a｝中，a+aH--Fa=2,a+aH----|-a=12,求a+aH----Fa。

yDC

AB

Ox

9.實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式sinx+2mcosx+4m—1<0恒成立。

10.已知矩形ABCD,頂點(diǎn)C(4,4),A點(diǎn)在曲線x+y=2(x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩

形ABCD的最小面積。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論

依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)

式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，

通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)

題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求

函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾

何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代

入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)f(x)=+m,f(x)的反函數(shù)f(x)=nx—5,那么m、n的值依次為?

A.,—2B.—,2C.,2D.—>一2

2.:次不等式ax+bx+2>0的解集是(一，)，則a+b的值是。

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(1-x)(1+x)的展開(kāi)式中，x的系數(shù)是o

A.-297B.-252C.297D.207

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為，最小值為一，則y=-4asin3bx的最小正周期是。

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過(guò)點(diǎn)A(l,-4)的直線L'的方程是。

6.與雙曲線x-=1有共同的漸近線，旦過(guò)點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是。

【簡(jiǎn)解】1小題：由f(x)=+m求出f(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(一，)，可知一、是方程ax+bx+2=0的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，

易求得a+b,選D；

3小題：分析x的系數(shù)由C與(-1)C兩項(xiàng)組成，相加后得x的系數(shù)，選D；

4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；

5小題:設(shè)直線L'方程2x+3y+c=0,點(diǎn)A(l,4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0；

6小題：設(shè)雙曲線方程x—=入，點(diǎn)(2,2)代入求得入=3,即得方程一=1。

H、示范性題組：

例1.已知函數(shù)丫=的最大值為7,最小值為一1,求此函數(shù)式。

【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對(duì)分子

或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”。

【解】函數(shù)式變形為：(y—m)x—4x+(y—n)=0,xGR,山已知得y-mWO

二△=(—4)—4(y—m)(y—n)>0即：y—(m+n)y+(mn—12)W0①

不等式①的解集為(-1,7),則一1、7是方程y-(m+n)y+(mn-12)=0的兩根，

代入兩根得：解得：或

y=或者y=

此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y+l)(y—7)W0,即y—6y—7W0,然后與不等式①比較系數(shù)而得：,解出m、n而求得函

數(shù)式y(tǒng)。

【注】在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問(wèn)題，得到了含參數(shù)m、n的

關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、no兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、

n的方程求解；二是由已知解集寫(xiě)出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對(duì)一元二次不

等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的

一元二次方程，可知其有解，利用△》(),建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)

鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。

例2.設(shè)橢圓中心在(2,-1),它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離是一，求橢圓的

方程。

yB‘

X

AFO'F'A'

B

【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定兒何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問(wèn)題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)

系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為a-c的值后列出第二個(gè)方程。

【解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦距2c,則|BF'|=a

,解得：

所求橢圓方程是：+=1

也可有垂直關(guān)系推證出等腰Rt^BB'F'后，由其性質(zhì)推證出等腰RtZiB'O'F',再進(jìn)行如下列式：，更容易

求a、b的值。

【注】圓錐曲線中，參數(shù)(a、b、c、e、p)的確定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其

轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，兒何數(shù)據(jù)(a、b、c、e)不變，本題就利用了這?特征，列出關(guān)于a—c的等式。

一般地，解析幾何中求曲線方程的問(wèn)題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程(或幾何數(shù)據(jù))一幾何條件轉(zhuǎn)換

成方程f求解f已知系數(shù)代入。

例3.是否存在常數(shù)a、b、c,使得等式1-2+2?3+…+n(n+l)=(an+bn+c)對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你

的結(jié)論。(89年全國(guó)高考題)

【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n=l、2、3列出關(guān)于a、b、c的方

程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有自然數(shù)n都成立。

【解】假設(shè)存在a、b^c使得等式成立，令：n=1,得4=(a+b+c)；n=2,得22=(4a+2b+c)；n=3,得70=9a

+3b+c?整理得：

，解得,

于是對(duì)n=l、2、3,等式1?2+2?3+…+n(n+l)=(3n+lln+10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意自然數(shù)n,

該等式都成立：

假設(shè)對(duì)n=k時(shí)等式成立,即1?2+2*3+-+k(k+l)=(3k+llk+10)；

當(dāng)11=卜+1時(shí)，P2+2?34-----l-k(k+l)+(k+l)(k+2)=(3k+llk+10)+(k+l)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k

+l)(k+2)=(3k+5k+12k+24)=[3(k+l)+ll(k+1)+10],

也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+l也成立。

綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。

【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于山幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對(duì)

于是否存在性問(wèn)題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列1+

24-----\-n、1+2H-----l-n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開(kāi)，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：山n(n+l)=n+

2n+n得S=1?2+2*3+—+n(n+l)=(1+2H-----bn)+2(1+2H-----Fn)+(l+2H-----Fn)=+2X+=

(3n+lln+10),綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll>c=10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。

例4.有矩形的鐵皮，其長(zhǎng)為30cm,寬為14cm,要從四角上剪掉邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)

蓋的矩形盒子，問(wèn)x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？

【分析】實(shí)際問(wèn)題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

最大值和最小值的研究。

【解】依題意，矩形盒子底邊邊長(zhǎng)為(30—2x)cm,底邊寬為(14—2x)cm,高為xcm。

二盒子容積V=(30_2x)(14-2x)x=4(15_x)(7_x)x,

顯然:15-x>0,7-x>0,x>0,

設(shè)V=(15a—ax)(7b—bx)x(a>0,b>0)

要使用均值不等式，則

解得：a=,b=,x=3。

從而V=(-)(-x)xW()=X27=576。

所以當(dāng)x=3時(shí);矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。

【注】均值不等式應(yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答

中也可以令V=(15a—ax)(7—x)bx或(15—x)(7a-ax)bx,再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)

該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。

I1K鞏固性題組：

1.函數(shù)y=logx的xG[2,+8)上恒有惘>1,則a的取值范圍是。

A.2>a>且aWlB.0<a<或l〈a<2C.l<a<2D,a>2或0<a<

2.方程x+px+q=O與x+qx+p=O只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為?

A.1B.-1C.p+qD.無(wú)法確定

3.如果函數(shù)y=sin2x+a?cos2x的圖像關(guān)于直線x=一對(duì)稱，那么a=。

A.B.-C.1D.-1

4.滿足C+1*C+2?C+…+n?C<500的最大正整數(shù)是?

A.4B.5C.6D.7

5.無(wú)窮等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S=a—，則所有項(xiàng)的和等于。

A.-B.1C.D.與a有關(guān)

6.(1+kx)=b+bx+bx+…+bx,若b+b+b+…+b=—1,貝ljk=。

7.經(jīng)過(guò)兩直線llx—3y—9=0與12x+y—19=0的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,-2)的直線方程為。

8.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱和底面所成角為60°,過(guò)底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為

9.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù)，已知出8)=15,且f(2)、耳5)、(fl4)成等比數(shù)列,求f(l)+f(2)+…+f(m)的值。

10.設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2),對(duì)稱軸與x軸平行，開(kāi)口向右，直線y=2x+7和拋物線截得的線段長(zhǎng)是4,求

拋物線的方程。

四、定義法

所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是山定義和公理推演出來(lái)。定義是

揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過(guò)指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念。

定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，定義是基本概念對(duì)

數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。

1、再現(xiàn)性題組：

1.已知集合A中有2個(gè)元素，集合B中有7個(gè)元素，AUB的元素個(gè)數(shù)為n,則。

A.2<nW9B.7WnW9C.5WnW9D.5WnW7

2.設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則。

A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT?OM<MPD.OM<AT<MP

3.復(fù)數(shù)z=a+2i,z=-2+i,如果|z|<|z|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

A.—l<a<lB.a>lC.a>0D.a<—1或a>l

4,橢圓+=1上有一點(diǎn)P,它到左準(zhǔn)線的距離為,那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為o

A.8C.7.5C.D.3

5.奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則f(一)的值為。

A.TB.0C.D.不能確定

6.正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為。

【簡(jiǎn)解】1小題：利用并集定義，選B；

2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；

3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得〈，選A；

4小題：利用橢圓的第二定義得到=e=,選A；

5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到人一)=f()=-f(-),選B；

6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。

H、示范性題組：

例1.已知z=l+i,①設(shè)w=z+3—4,求w的三角形式；②如果=1—i,求實(shí)數(shù)a、b的值。(94年

全國(guó)理)

【分析】代入z進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)后，運(yùn)用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答。

【解】山z=l+i,有w=z+3—4=(1+i)+3—4=2i+3(1—i)—4=—1—i,w的三角形式是(cos+i

sin)；

由z=l+i,有===(a+2)—(a+b)i?

由題設(shè)條件知：(a+2)—(a+b)i=1+i；

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，

解得。

【注】求復(fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實(shí)部、虛部分別相等而

建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。

例2.已知f(x)=-x+cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=logf(x)的定義域，判定在(，1)上的單調(diào)性。

【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。

【解】解得：

f(x)=—x+x解f(x)>0得：0<x<l

設(shè)則f(x)—f(x)=—X+x-(-X+x)=(x-X)[1-(x+x)(X+x)],

X+x>,X+x>...(x+x)(X+x)〉X=1

...f(x)-f(x)>0即電)在(,1)上是減函數(shù)

,/<1,y=logKx)在(，1)上是增函數(shù)。

A'A

D

ec

0H

B'B

【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過(guò)程中，

運(yùn)用了待定系數(shù)法和換元法。

例3.如圖，已知A'B'C'—ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。

①證明：AB'〃平面DBC'；

②假設(shè)AB'1BC,求二面角D—BC'—C的度數(shù)。(94年全國(guó)理)

【分析】山線面平行的定義來(lái)證①問(wèn)，即通過(guò)證AB'平行平面DBC'內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義

作出平面角，通過(guò)解三角形而求②問(wèn)。

【解】①連接B'C交BC'于0,連接0D

A'B'C'—ABC是正三棱柱

，四邊形B'BCC'是矩形

二O是B'C中點(diǎn)

△AB'C中，D是AC中點(diǎn)/.AB'〃0D

二AB'〃平面DBC'

②作DHJ_BC于H,連接OHZ.DH_L平面BC'C

,/AB'〃OD,AB'_LBC'/.BC'±OD

二BC'1OH即/DOH為所求二面角的平面角。

設(shè)AC=1,作OEJ_BC于E,則DH=sin60°=,BH=,EH=；

Rt^BOH中，OH=BHXEH=,

OH==DH.,./DOH=45°,即二面角D—BC'—C的度數(shù)為45°。

【注】對(duì)于二面角D—BC'—C的平面角，容易誤認(rèn)為/DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓

住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH,再證得垂直于棱的垂線DO,最后連接兩個(gè)垂足OH,則/DOH即為所

求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在RtaBOH中運(yùn)用射影定理求0H的長(zhǎng)是計(jì)算的關(guān)鍵。

此題文科考生的第二問(wèn)為：假設(shè)AB'，BC',BC=2,求AB'在側(cè)面BB'C'C的射影長(zhǎng)。解答中抓住斜線在平

面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE±BC于E,連接B'E即所

求，