高中數(shù)學必修1第二章教案

第二章基本初等函數(shù)（I）

本章教材分析

教材把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)當作三種重要的函數(shù)模型來學習,強調通過實例和圖象

的直觀，揭示這三種函數(shù)模型增長的差異及其關系,從而讓學生體會建立和研究一個函數(shù)模型

的基本過程和方法，學會運用具體的函數(shù)模型解決一些實際問題.

本章總的教學目標是:了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解有理數(shù)指數(shù)'幕的意義，通過具體實

例了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運算;理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，掌握f（x）=ax的符號及

意義,能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的有關性質（單

調性、值域、特別點），通過應用實例的教學，體會指數(shù)函數(shù)是?種重要的函數(shù)模型;理解對數(shù)

的概念及其運算性質，了解對數(shù)換底公式及其簡單應用，能將一般對數(shù)轉化為常用對數(shù)或自然

對數(shù),通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運算的作用;通過具體函數(shù)，直觀了解對

數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握f（x）=log;,x的符號及意義，體會

對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了

解對數(shù)函數(shù)的有關性質（單調性、值域、特殊點）；知道指數(shù)函數(shù)產a'與對數(shù)函數(shù)y=logax

互為反函數(shù)（a>O,a￥l）,初步了解反函數(shù)的概念和J（x）的意義;通過實例了解幕函數(shù)的概念,

結合五種具體函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x',y=x^的圖象，了解它們的變化情況.

本章的重點是三種初等函數(shù)的概念、圖象及性質，要在理解定義的基礎上，通過幾個特殊函數(shù)

圖象的觀察，歸納得出?般圖象及性質，這種由特殊到一般的研究問題的方法是數(shù)學的基本方

法.把這三種函數(shù)的圖象及性質之間的內在聯(lián)系及本質區(qū)別搞清楚是本章的難點.

教材注重從現(xiàn)實生活的事例中引出指數(shù)函數(shù)概念，所舉例子比較全面，有利于培養(yǎng)學生的思想

素質和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和欲望.教學中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可能

聯(lián)系一些熟悉的事例，以豐富教學的情境創(chuàng)設.在學習對數(shù)函數(shù)的圖象和性質時，教材將它與

指數(shù)函數(shù)的有關內容作了比較，讓學生體會兩種函數(shù)模型的增長區(qū)別與關聯(lián)，滲透了類比思想.

建議教學中重視知識間的遷移與互逆作用.教材對反函數(shù)的學習要求僅限于初步的知道概念,

目的在于強化指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩種函數(shù)模型的學習，教學中不宜對其定義做更多的拓

展.教材對基函數(shù)的內容做了削減，僅限于學習五種學生易于掌握的幕函數(shù)，并且安排的順序

向后調整，教學中應防止增加這部分內容，以免增加學生的學習負擔.通過運用計算機繪制指

數(shù)函數(shù)的動態(tài)圖象，使學生進一步體會到信息技術在數(shù)學學習中的作用,教師要盡量發(fā)揮電腦

繪圖的教學功能.教材安排了“閱讀與思考”的內容，有利于加強數(shù)學文化的教育，應指導學生

認真研讀.

2.1指數(shù)函數(shù)

2.1.1指數(shù)與指數(shù)第的運算

整體設計

教學分析

我們在初中的學習過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)嘉的概念和運算性質.從本節(jié)開始我們將在回顧

平方根和立方根的基礎上,類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù).進而推

廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將哥的運算性質由整數(shù)指數(shù)轄推廣到實數(shù)指數(shù)帚.

教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子:GDP的增

長問題和碳14的衰減問題.前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)幕，也讓學生感

受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值.后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時,

激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)帚、無理數(shù)指數(shù)幕的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊.

本節(jié)安排的內容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如推廣的思想（指數(shù)基運算律的推廣）、類比

的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)累逼近無理數(shù)指數(shù)基)、數(shù)形結合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象

研究指數(shù)函數(shù)的性質)等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值.

根據(jù)本節(jié)內容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術的力量,盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設教學

情境,為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持.

三維目標

1.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)幕的概念，進而學習指數(shù)幕的性質.掌握分數(shù)

指數(shù)塞和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)基的運算性質.培養(yǎng)學生觀察分析、抽象類比的能力.

2.掌握根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化，滲透“轉化”的數(shù)學思想.通過運算訓練,養(yǎng)成學生嚴謹治學,

一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務于生活的哲理.

3.能熟練地運用有理指數(shù)慕運算性質進行化簡、求值，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算

能力.

4.通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數(shù)幕的運算性質.展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察,

進而研究指數(shù)函數(shù)的性質，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美.

重點難點

教學重點：

(1)分數(shù)指數(shù)募和根式概念的理解.

(2)掌握并運用分數(shù)指數(shù)嘉的運算性質.

(3)運用有理指數(shù)嘉性質進行化簡、求值.

教學難點：

(1)分數(shù)指數(shù)惠及根式概念的理解.

(2)有理指數(shù)毒性質的靈活應用.

課時安排

3課時

教學過程

第1課時指數(shù)與指數(shù)塞的運算⑴

導入新課

思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發(fā)展與進化，又怎樣判斷它

們所處的年代?(考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進化的，第二個問題

我們不太清楚)考古學家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的.教師板書本節(jié)課題:指

數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)幕的運算.

思路2.同學們,我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方

根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)暴的運算.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根據(jù)上面的結論我們又能得到什么呢？

(3)根據(jù)上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？

(4)可否用一個式子表達呢？

活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類

比平方根、立方根的定義解釋上面的式子,對問題②的結論進行引申、推廣，相互交流討論后

回答，教師及時啟發(fā)學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維.

討論結果：

⑴若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如:4的平方根為±2,

負數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如:-8的立方根

為-2.

(2)類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a,則這個數(shù)叫a的四次方根.一個數(shù)的五

次方等于a,則這個數(shù)叫a的五次方根.一個數(shù)的六次方等于a,則這個數(shù)叫a的六次方根.

(3)類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a,則這個數(shù)叫a的n次方根.

(4)用一個式子表達是，若x"=a,則x叫a的n次方根.

教師板書n次方根的意義：

一般地，如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且nGN*.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出問題

(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根；②士8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；

⑥0的7次方根；⑦武的立方根.

(2)平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分別對應的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特

點?4,±8,16,-32,32,0K分別對應什么性質的數(shù),有什么特點？

(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負，還有零,結論有一個的，也有兩個

的，你能否總結一般規(guī)律呢？

(4)任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢？

活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的

n次方等于a,及時點撥學生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫來,觀察數(shù)的特點，對問題

(2)中的結論,類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生

提示引導考慮問題的思路.

討論結果：

(1)因為±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5

次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a1所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32

的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,的立方根分別是±2,±2,±2,2,204.

(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負數(shù)和零.

(3)一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個,是互為相反數(shù).0的任何次

方根都是0.

(4)任何?個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負數(shù)的偶次方根就不存在,因為沒有一個數(shù)的偶

次方是一個負數(shù).

類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：

①當n為偶數(shù)時,a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用我表示,如果是負數(shù),

負的n次方根用-〃'表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成士儲(a>0).

②n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù),負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用

符號后表示.

③負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字語言可用下面的式子表示：

、—0/〃為奇數(shù),a的〃次方根有一個為〃'，

a為正數(shù)_

"為偶數(shù)，。的〃次方根有兩個為土低.

“啟拓［〃為奇數(shù)，。的〃次方根只有一個為近，

1〃為偶數(shù)，。的〃次方根不存在.

零的n次方根為零,記為血=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例.

思考根據(jù)n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？

活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握,即正數(shù)的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根,零的任

何次方根，這樣才不重不漏,同時巡視學生，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根,立方根,4次

方根等，看是否有意義,注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題.

解答：答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根為±2,-27的5次方根為匯萬,而-27

的4次方根不存在等.其中07也表示方根，它類似于,片的形式，現(xiàn)在我們給式子'4a?個

名稱——根式.

根式的概念：

式子后叫根式，其中a叫被開方數(shù),n叫根指數(shù).

如47中,3叫根指數(shù),-27叫被開方數(shù).

思考

行表示a"的n次方根，等式加7=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么我7等于什么？

活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論.教師點撥,

注意歸納整理.

（如#（—3）3=V^7=3,y（—8）4=卜8|=8）.

解答：根據(jù)n次方根的意義，可得:（心）』.

通過探究得到：n為奇數(shù)，叱=a.

n為偶,,數(shù),"—〃=間=1a>0,

-a,a<0.

因此我們得到n次方根的運算性質：

①（心）'F先開方，再乘方（同次），結果為被開方數(shù).

②n為奇數(shù)，叱=a.先奇次乘方,再開方（同次），結果為被開方數(shù).

n為偶數(shù)，叱=|a|=aj"'""0'先偶次乘方,再開方（同次），結果為被開方數(shù)的絕對值.

-a,a<0.

設計感想

學生已經學習了數(shù)的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式

的概念和性質難以理解,在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例,根式立'的講

解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進行,每種情況又分a>O,a<O,a=O三種情況，并結合具體例子

講解,因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要

用多媒體信息技術服務教學.

(設計者：路致芳)

第2課時指數(shù)與指數(shù)塞的運算(2)

導入新課

思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14,并與氧結合成二氧化碳

后進入所有活組織，先為植物吸收,再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸

收碳14在機體內保持一定的水平.而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14,其組織內的碳14

便以約5730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的

含量，便可推斷其年代(半哀期:經過?定的時間，變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)

幕的運算之分數(shù)指數(shù)事.

思路2.同學們，我們在初中學習了整數(shù)指數(shù)塞及其運算性質，那么整數(shù)指數(shù)基是否可以推廣

呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)幫的運算之分

數(shù)指數(shù)幕.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)整數(shù)指數(shù)幕的運算性質是什么？

(2)觀察以下式子，并總結出規(guī)律：a>0,

____10

①=。02)，=a2=a5;

②==a，=a5;

____12

③V^12==a3=a4;

④飛a'。=y(a5)2=a5=a2.

(3)利用⑵的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？

V?",(x>0,m,n￡N［且n>l).

(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？

(5)你能推廣到一般的情形嗎？

活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)哥及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步

的指數(shù)之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發(fā)學生類

比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵

提示.

討論結果：⑴整數(shù)指數(shù)事的運算性質：an=aaa；.aa°=l(a#));0°無意義；

an=t(a^O);am-an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a?是a的5次方根；②是a?的2次方根；③是aI？的4次方根；④a'是@1°的2次

____[08____12____10

方根.實質上①證=a'②J^=a5,③訝=a%④療=a^結果的a的指數(shù)是2,4,3,5

分別寫成了色,目，絲，竺，形式上變了，本質沒變.

5245

根據(jù)4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以

寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式(分數(shù)指數(shù)幕形式).

(3)利用(2)的規(guī)律,VF=54,V7?=7\V^?=a5,VF=x".

357m

(4)53的四次方根是54,75的三次方根是7與‘a’的五次方根是4"1的n次方根是x,

結果表明方根的結果和分數(shù)指數(shù)寒是相通的.

mm

(5)如果a>0,那么a"1的n次方根可表示為(["W7,即a7=Vam(a>0,m,neN\n>l).

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義，教師板書：

n

規(guī)定:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是am=y[am(a>0,m,neN*,n>l).

提出問題

①負整數(shù)指數(shù)基的意義是怎樣規(guī)定的？

②你能得出負分數(shù)指數(shù)嘉的意義嗎？

③你認為應怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)基的意義？

④綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)基的意義？

⑤分數(shù)指數(shù)基的意義中，為什么規(guī)定a>0,去掉這個規(guī)定會產生什么樣的后果？

⑥既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)基的運算性質是否也適

用于有理數(shù)指數(shù)暴呢？

活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)基的意義和負

整數(shù)指數(shù)新的意義來類比,把正分數(shù)指數(shù)基的意義與負分數(shù)指數(shù)幕的意義融合起來，與整數(shù)指

數(shù)基的運算性質類比可得有理數(shù)指數(shù)'幕的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具

體的實例說明a>0的必要性,教師及時作出評價.

討論結果：①負整數(shù)指數(shù)幕的意義是:a.=-!-(arO),neN*.

an

②既然負整數(shù)指數(shù)暴的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)塞的意義可得正數(shù)的負分

數(shù)指數(shù)募的意義.

」11

規(guī)定:正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是a"=——=—j=(a>0,m,neN\n>1).

11"/c加

am"

③規(guī)定:零的分數(shù)指數(shù)基的意義是:零的正分數(shù)次幕等于零，零的負分數(shù)指數(shù)界沒有意義.

④教師板書分數(shù)指數(shù)幕的意義.分數(shù)指數(shù)幕的意義就是：

n___

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)'幕的意義是a7=〃￡(a>0,m,nGN",n>l),正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)基的意義是

--11

a時=」一=3包>0,111,11￡產,11>1),零的正分數(shù)次第等于零,零的負分數(shù)指數(shù)事沒有意義.

a","

⑤若沒有a>0這個條件會怎樣呢？

如(-1)3=3-1=1,(-1)6=65)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結果，這只說明分

數(shù)指數(shù)痔在底數(shù)小于零時是無意義的.因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零,

2

如無a>0的條件，比如式子3a2=間5,同時負數(shù)開奇次方是有意義的，負數(shù)開奇次方時,應把負

號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)累，也就是說，負分數(shù)指數(shù)基在有意義的情況

下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.

⑥規(guī)定了分數(shù)指數(shù)'幕的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).

有理數(shù)指數(shù)基的運算性質:對任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質：

(1)a'-as=a's(a>O,r,s￡Q),

(2)(ar)s=ars(a>O,r,sGQ),

(3)(a-b)r=arbr(a>O,b>O,reQ).

我們利用分數(shù)指數(shù)事的意義和有理數(shù)指數(shù)嘉的運算性質可以解決一些問題，來看下血的例題.

設計感想

本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)基的意義的引出及應用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充,要讓學生反復

理解分數(shù)指數(shù)累的意義，教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)嘉的互化來鞏固加深對這一概念的

理解,用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練

習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務.

(設計者：郝云靜)

第3課時指數(shù)與指數(shù)塞的運算(3)

導入新課

思路1.

同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就

推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)塞呢?回顧數(shù)的擴充過

程,自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實數(shù).并且知道,在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程

中，增添的數(shù)是——實數(shù).對無理數(shù)指數(shù)塞，也是這樣擴充而來.既然如此,我們這節(jié)課的主要內

容是:教師板書本堂課的課題(指數(shù)與指數(shù)基的運算(3))之無理數(shù)指數(shù)幕.

思路2.

同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識,對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中,我們又對函數(shù)

的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù),如一次函數(shù)、二

次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的

發(fā)展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們

必須學習實數(shù)指數(shù)界的運算性質，為此，我們必須把指數(shù)累從有理數(shù)指數(shù)幕擴充到實數(shù)指數(shù)新,

因此我們本節(jié)課學習:指數(shù)與指數(shù)騫的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)幕，教師板書本堂課的課題.

推進新課

新知探究

提出問題

①我們知道=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…，是血的什么近似值?

而1.42,1.415,1.4143,1.41422,...,是正的什么近似值？

②多媒體顯示以下圖表:同學們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?

J2的過剩近似值55拉的近似值

1.511.18033989

1.429.82935328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.73817752

5上的近似值V2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.414213

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

③你能給上述思想起個名字嗎?

④個正數(shù)的無理數(shù)次幕到底是個什么性質的數(shù)呢?如5'歷，根據(jù)你學過的知識，能作出判

斷并合理地解釋嗎？

⑤借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？

活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生,學生有困惑時加以解

釋,可用多媒體顯示輔助內容：

問題①從近似值的分類來考慮，一方面從大于后的方向，另一方面從小于正的方向.

問題②對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看,注意其關聯(lián).

問題③上述方法實際上是無限接近，最后是逼近.

問題④對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋.

問題⑤在③④的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般.

討論結果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…這些數(shù)都小于正，稱、歷的不足近似值，而

1.42,1.415,1.4143,1.41422,...,這些數(shù)都大于O，稱41的過剩近似值.

②第一個表:從大于Ji的方向逼近正時,5企就從52,5叱5⑷M⑷4討.4”22,…,即大于52

的方向逼近5?.

第二個表:從小于2的方向逼近正時,5&就從514541,574,5742,5"1421,…，即小于5女

的方向逼近5&.

從另一角度來看這個問題,在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5衣從

5'4,5'Al,5'4\4,5]4l425*1421,…，即小于5&的方向接近5拉，而另一方面5拒從

5",5?,5⑷5,51.4143,5⑷422,…,即大于5亞的方向接近5可以說從兩個方向無限地接近5夜,

即逼近5拉，所以5是一串有理數(shù)指數(shù)幕5'A,5'41,5'A\4,5'A\42,5L41421,…,和另一串有理

數(shù)指數(shù)第52S"15⑷55-4⑷,5卬422,.,按上述變化規(guī)律變化的結果，事實上表示這些數(shù)的點

從兩個方向向表示5、巧的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結論是5忘一定

是一個實數(shù)，即51-4<5141<51414<514142<5141421<...<575<...<5141422<514143<51415<5142<51\

充分表明5&是一個實數(shù).

③逼近思想,事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識.

④根據(jù)②③我們可以推斷5&是一個實數(shù),猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次幕是一個實數(shù).

⑤無理數(shù)指數(shù)嘉的意義：

一般地，無理數(shù)指數(shù)導a。（a>0,a是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù).

也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在

數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)界的意義，知

道它是一個確定的實數(shù)，結合前面的有理數(shù)指數(shù)累，那么，指數(shù)事就從有理數(shù)指數(shù)轅擴充到實

數(shù)指數(shù)幕.

提出問題

（1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)累的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？

（2）無理數(shù)指數(shù)毒的運算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)塞的運算法則相通呢？

（3）你能給出實數(shù)指數(shù)基的運算法則嗎？

活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比,歸納.

對問題（1）回顧我們學習分數(shù)指數(shù)幕的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明.

對問題（2）結合有理數(shù)指數(shù)痔的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)嘉aa（a>O,a是無理數(shù)）是一個

確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)幕的運算法則應當與有理數(shù)指數(shù)幕的運算法則類似，并且相通.

對問題（3）有了有理數(shù)指數(shù)幕的運算法則和無理數(shù)指數(shù)事的運算法則,實數(shù)的運算法則自然

就得到了.

討論結果：（1）底數(shù)大于零的必要性，若a=-l,那么a”是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成

混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無理數(shù)指數(shù)塞a"是一個確定的實數(shù),就不會再造成混亂.

(2)因為無理數(shù)指數(shù)寨是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行寒的運算，有理

數(shù)指數(shù)第的運算性質，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)基.類比有理數(shù)指數(shù)第的運算性質可以得到無

理數(shù)指數(shù)基的運算法則：

@a'-as=ar+s(a>O,r,s都是無理數(shù)).

0(ar)s=an(a>O,r,s都是無理數(shù)).

@(a-b)r=a'br(a>O,b>O,r是無理數(shù)).

(3)指數(shù)基擴充到實數(shù)后，指數(shù)累的運算性質也就推廣到了實數(shù)指數(shù)塞.

實數(shù)指數(shù)幕的運算性質：

對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質：

①a'：a'=a"、(a>O,r,seR).

(2)(ar)s=ars(a>0,r,sSR).

③"1)>=斜1>0,1>>04€R).

設計感想

無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充,教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)哥

的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本

堂課內容較為抽象，又不能進行推理,只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的

思想、類比的思想，多作練習,提高學生理解問題、分析問題的能力.

備課資料

富蘭克林的遺囑與拿破侖的諾言

富蘭克林利用放風箏而感受到電擊，從而發(fā)明了避雷針.這位美國著名的科學家死后留下了一

份有趣的遺囑：

“……一千英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊,那么這筆錢應該托付給一些

挑選出來的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息.這些款

過了100年增加到131000英鎊.我希望那時候用100000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的

31000英鎊拿去繼續(xù)生息100年.在第二個100年末了，這筆款增加到4061000英鎊，其中

1061000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的3000000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管

理.過此之后，我可不敢主張了！”

你可曾想過：區(qū)區(qū)的1000英鎊遺產,竟立下幾百萬英鎊財產分配的遺囑，是“信口開河”,還是

“言而有據(jù)”呢？事實上，只要借助于復利公式，同學們完全可以通過計算而作出自己的判斷.

y『m(l+a)n就是復利公式，其中m為本金,a為年利率,%為n年后本金與利息的總和.在第一個

100年末富蘭克林的財產應增加到:yioo=1000(l+5%)"°=131501(英鎊)，比遺囑中寫的還多出

501英鎊.在第二個100年末，遺產就更多了：yioo=131501(1+5%嚴°=4142421(英鎊).可見富

蘭克林的遺囑是有科學根據(jù)的.

遺囑故事啟示我們：在指數(shù)效應下，微薄的財產，低廉的利率，可以變得令人瞠目結舌.威名顯赫

的拿破侖，由于陷進了指數(shù)效應的漩渦而使法國政府十分難堪！

1797年,拿破侖參觀國立盧森堡小學，贈上了一束價值三個金路易的玫瑰花，并許諾只要法蘭

西共和國存在一天，他將每年送一束價值相等的玫瑰花,以作兩國友誼的象征.由于連年征戰(zhàn),

拿破侖忘卻了這一諾言！1894年,盧森堡王國鄭重地向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”，要

求法國政府在拿破侖的聲譽和1375596法郎的債款中，二者選取其一.這筆巨款就是三個金路

易的本金，以5%的年利率，在97年的指數(shù)效應下的產物.

(設計者：劉玉亭)

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質

整體設計

教學分析

有了前面的知識儲備，我們就可以順理成章地學習指數(shù)函數(shù)的概念，作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研

究指數(shù)函數(shù)的性質.

教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子:GDP的增

長問題和碳14的哀減問題.前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)幕，也讓學生感

受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值.后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時,

激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)基、無理數(shù)指數(shù)基的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊.

本節(jié)安排的內容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如推廣的思想（指數(shù)嘉運算律的推廣）、類比

的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)基）、數(shù)形結合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象

研究指數(shù)函數(shù)的性質）等，同時，編寫時充分關注與實際問題的結合，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值.

根據(jù)本節(jié)內容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術的力量,盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設教學

情景,為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持.

三維目標

1.通過實際問題了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,根據(jù)圖象理解和掌握

指數(shù)函數(shù)的性質，體會具體到一般數(shù)學討論方式及數(shù)形結合的思想.

2.讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務于生活的哲理.培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題的能力，

培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力.

3.通過訓練點評，讓學生更能熟練指數(shù)基運算性質.展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察，進而研究

指數(shù)函數(shù)的性質，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美.

重點難點

教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念和性質及其應用.

教學難點：指數(shù)函數(shù)性質的歸納、概括及其應用.

課時安排

3課時

教學過程

第1課時指數(shù)函數(shù)及其性質（1）

導入新課

思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的二,寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關系式，它是

4

函數(shù)關系式嗎？若是，請計算若要使存留的污垢不超過原有的則至少要漂洗幾次？教師

64

引導學生分析，列出關系式產（工）；發(fā)現(xiàn)這個關系式是個函數(shù)關系且它的自變量在指數(shù)的位

4

置上，這樣的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，引出本節(jié)課題.

思路2.教師復習提問指數(shù)基的運算性質，并要求學生計算23,2°,2-2,16\273,49F.再提問怎樣

畫函數(shù)的圖象，學生思考，分組交流，寫出自己的答案8,1,工,2,9,1,先建立平面直角坐標系，再

47

描點，最后連線.點出本節(jié)課題.

1—

思路3.在本章的開頭，問題（2）中時間t和碳14含量P的對應關系P=［（—）573?！?，如果我

2

1q

們用X表示時間,y表示碳14的含量，則上述關系可表示為y=[(萬產3。]X,這是我們習慣上

的函數(shù)形式,像這種自變量在指數(shù)的位置上的函數(shù)，我們稱為指數(shù)函數(shù)，下面我們給出指數(shù)函

數(shù)的確切概念，從而引出課題.

推進新課

新知探究

提出問題

1.一種放射性物質不斷衰減為其他物質，每經過一年剩留量約是原來的84%,求出這種物質經

過x年后的剩留量y與x的關系式是.(y=0.84x)

2.某種細胞分裂時，由一個分裂成兩個，兩個分裂成四個，四個分裂成十六個，依次類推,一個這

樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的關系式是.(y=2x)

提出問題

(1)你能說出函數(shù)產0.84*與函數(shù)y=2x的共同特征嗎？

(2)你是否能根據(jù)上面兩個函數(shù)關系式給出一個一般性的概念？

(3)為什么指數(shù)函數(shù)的概念中明確規(guī)定a>O,a/l?

(4)為什么指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集？

(5)如何根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù)？請你說出它的步驟.

活動:先讓學生仔細觀察，交流討論，然后回答,教師提示點撥，及時鼓勵表揚給出正確結論的學

生，引導學生在不斷探索中提高自己的應用知識的能力，教師巡視，個別輔導，針對學生共性的

問題集中解決.

問題(1)看這兩個函數(shù)的共同特征，主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值.

問題(2)一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量.

問題(3)為了使運算有意義，同時也為了問題研究的必要性.

問題(4)在(3)的規(guī)定下，我們可以把a*看成一個哥值，一個正數(shù)的任何次哥都有意義.

問題(5)使學生回想指數(shù)函數(shù)的定義，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷?個函數(shù)是否是?個指數(shù)函數(shù),

緊扣指數(shù)函數(shù)的形式.

討論結果：(1)對于兩個解析式我們看到每給自變量x-個值,y都有唯?確定的值和它對應,

再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上，它們的底數(shù)都大于0,但一個大于1，一個小于1.0.84

與2雖然不同，但它們是兩個函數(shù)關系中的常量，因為變量只有x和y.

(2)對于兩個解析式y(tǒng)=0.84'和產2:我們把兩個函數(shù)關系中的常量用一個字母a來表示，這樣

我們得到指數(shù)函數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)產aX(a>0,ari)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x叫自變量，函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

(3)a=0吐x>0時,a*總為0;x<0時,a'沒有意義.

a<0時，如a=-2,x=-,ax=(-2)2=R顯然是沒有意義的.

2

a=l時,a*恒等于I,沒有研究的必要.

因此規(guī)定a>0,a戶1.此解釋只要能說明即可，不要深化.

(4)因為a>0,x可以取任意的實數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

(5)判斷?個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù),一是看底數(shù)是否是一個常數(shù)，再就是看自變量是否是

一個x且在指數(shù)位置上，滿足這兩個條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù).

提出問題

(1)前面我們學習函數(shù)的時候，根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質，對指數(shù)函數(shù)呢？

(2)前面我們學習函數(shù)的時候,如何作函數(shù)的圖象?說明它的步驟.

(3)利用上面的步驟,作函數(shù)y=2*的圖象.

(4)利用上面的步驟,作函數(shù)y=(g》的圖象.

(5)觀察上面兩個函數(shù)的圖象各有什么特點，再畫幾個類似的函數(shù)圖象，看是否也有類似的特

點？

(6)根據(jù)上述幾個函數(shù)圖象的特點，你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質嗎？

⑺把尸2*和尸(；戶的圖象，放在同一坐標系中，你能發(fā)現(xiàn)這兩個圖象的關系嗎？

(8)你能證明上述結論嗎？

(9)能否用尸2*的圖象畫y=(g)x的圖象?請說明畫法的理由.

活動：教師引導學生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質，共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質的方法,

強調數(shù)形結合，強調函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質中的作用，注意從具體到?般的思想方法的運用,

滲透概括能力的培養(yǎng)，進行課堂巡視，個別輔導,投影展示畫得好的部分學生的圖象，同時投影

展示課本表21,22及圖2.12,2.13及2.14,及時評價學生，補充學生回答中的不足.學生獨立思考,

提出研究指數(shù)函數(shù)性質的思路，獨立畫圖，觀察圖象及表格，表述自己的發(fā)現(xiàn)，同學們相互交流,

形成對指數(shù)函數(shù)性質的認識，推薦代表發(fā)表本組的集體的認識.

討論結果：(1)我們研究函數(shù)時，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質，由具體到一般,一般要考慮函數(shù)的定

義域、值域、單調性、奇偶性，有時也通過畫函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來看函數(shù)的性質.

(2)一般是列表，描點，連線，借助多媒體手段畫出圖象，用計算機作函數(shù)的圖象.

(3)列表.

X-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00

1]_]_

y=2x124

^842

作圖如圖2-1-2-1

圖2-122

(5)通過觀察圖2121,可知圖象左右延伸，無止境說明定義域是實數(shù).圖象自左至右是上升的，說

明是增函數(shù)，圖象位于X軸上方，說明值域大于0.圖象經過點(0,1),且y值分布有以下特點,x<0

時0<y<l,x>0時y>l.圖象不關于x軸對稱，也不關于y軸對稱，說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是

偶函數(shù).

通過觀察圖2122,可知圖象左右延伸，無止境說明定義域是實數(shù).圖象自左至右是下降的，說明

是減函數(shù)，圖象位于x軸上方，說明值域大于0.圖象經過點(0,1),x<0時y>l,x>0時0<y<l.

圖象不關于x軸對稱，也不關于y軸對稱，說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

可以再畫下列函數(shù)的圖象以作比較，尸3\尸6\尸(-)\y=J)'.重新觀察函數(shù)圖象的特點，推

廣到一般的情形.

(6)-搬地，指數(shù)函數(shù)產a*在a>l和0〈a〈l的情況下，它的圖象特征和函數(shù)性質如下表所示.

圖象特征函數(shù)性質

a>l0<a<la>l0<a<l

向X軸正負方向無限延伸函數(shù)的定義域為R

圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域為R

函數(shù)圖象都過定點(0,1)a°=l

自左向右,圖象逐漸上升自左向右,圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)

在第一象限內的圖象縱坐在第一?象限內的圖象縱坐

lx>O,ax>lx>O,ax<l

標都大于1標都小于

在第二象限內的圖象縱坐在第二象限內的圖象縱坐

x<O,ax<lx<O,ax>l

標都小于1標都大于1

一般地，指數(shù)函數(shù)y=a、在底數(shù)a>l及0<a<l這兩種情況下的圖象和性質如下表所示:

a>l0<a<l

x

y^=o(a>l)1

(0<a<l)\^

圖象

0X0X

①定義演!c：R

②值域：(0,+8)

性質③過點(0,1)，即x=0時y=l

④在R上是增函數(shù)，當xVO時QVyVl;④在R上是減函數(shù)，當xVO時,y>l;

當x>0時,y>1當x>0時,0<yV1

(7)在同一坐標系中作出產2*和丫=(；》兩個函數(shù)的圖象，如圖2-1-23經過仔細研究發(fā)現(xiàn),

它們的圖象關于y軸對稱.

(8)證明:設點P(XM)是y=2x上的任意一點，它關于y軸的對稱點是pGx.),它滿足方程

產(；尸2",即點p(xi,y。在廣(；戶的圖象上，反之亦然，所以y=2*和廣(；了兩個函數(shù)的圖

象關于y軸對稱.

(9)因為產2*和廣(；戶兩個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以可以先畫其中一個函數(shù)的圖象，利

用軸對稱的性質可以得到另一個函數(shù)的圖象,同學們一定要掌握這種作圖的方法，對以后的學

習非常有好處.

設計感想

本節(jié)課是在前面研究了函數(shù)性質的基礎上，研究具體的初等函數(shù),它是重要的初等函數(shù)，它有

著豐富的內涵，且和我們的實際生活聯(lián)系密切，也是以后學習對數(shù)函數(shù)的基礎,在指數(shù)函數(shù)的

概念講解過程中，既要向學生說明定義域是什么，又要向學生交代，為什么規(guī)定底數(shù)a是大于

0而不等于1的,本節(jié)內容課堂容量大，要提高課堂的效率和節(jié)奏，多運用信息化的教學手段,

順利完成本堂課的任務.

(設計者：韓雙影)

第2課時指數(shù)函數(shù)及其性質(2)

導入新課

思路1.復習導入：我們前一節(jié)課學習了指數(shù)函數(shù)的概念和性質,下面我們一起回顧一下指數(shù)

函數(shù)的概念、圖象和性質.如何利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質來解決一些問題，這就是本堂課要

講的主要內容.教師板書課題.

思路2.我們在學習指數(shù)函數(shù)的性質時，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點，并且是用類比和歸納的

方法得出，在理論上，我們能否嚴格的證明特別是指數(shù)函數(shù)的單調性，以便于我們在解題時應

用這些性質,本堂課我們要解決這個問題.教師板書課題:指數(shù)函數(shù)及其性質(2).

應用示例

思路1

例1已知指數(shù)函數(shù)f(x尸a*(a>0且/1)的圖象過點(3,1,求f(0),f(l)*3)的值.

活動：學生審題，把握題意,教師適時提問，點撥，求值的關鍵是確定a,?般用待定系數(shù)法，構建

■?個方程來處理，函數(shù)圖象過已知點，說明點在圖象上，意味著已知點的坐標滿足曲線的方程,

轉化為將已知點的坐標代入指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且arl)求a的值，進而求出f(0),f(l),f(-3)

的值，請學生上黑板板書，及時評價.

解：因為圖象過點(3,兀)，

JI

所以氏3『3=兀,即a=?t5,f(x)=(”)'.

再把0,1,3分別代入，得

[0)=兀°=1,

f(l)=7Il=7t,

f(-3)=7t'=—.

兀

點評：根據(jù)待定系數(shù)的多少來確定構建方程的個數(shù)是解題的關鍵，這是方程思想的運用.

例2用函數(shù)單調性的定義證明指數(shù)函數(shù)的單調性.

活動：教師點撥提示定義法判斷函數(shù)單調性的步驟，單調性的定義證明函數(shù)的單調性，要按規(guī)

定的格式書寫.

證法一：設XgGR,且X1〈X2,則

y2-y1=aX2—ax?=axi(a'-x]-1).

x

因為a>l,x2-X1>0,所以a*2-xi>l,即a2-x,-l>0.

又因為*>0,

所以y2—yi>o,

即yi<y2.

所以當a>l時，尸a',xGR是增函數(shù).

同理可證，當0<a<l時，產a*是減函數(shù).

證法二：設xgGR,且X]<X2,則y2與yi都大于0,則力.

%?1

因為a>l,X2—xi>0,所以aX2~x,>1,

即立■>i,yi〈y2.

%

所以當a>l時，產a',xGR是增函數(shù).

同理可證，當0<a<l時，產a'是減函數(shù).

變式訓練

若指數(shù)函數(shù)產(2a-l)*是減函數(shù)，則a的范圍是多少？

田田1，

答案：一<a<l.

2

例3截止到1999年底，我國人口約13億，如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,那么經

過20年后，我國人口數(shù)最多為多少(精確到億)？

活動:師生共同討論，將實際問題轉化為數(shù)學表達式，建立目標函數(shù),常采用特殊到一般的方式,

教師引導學生注意題目中自變量的取值范圍，可以先考慮一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，最后解決問題：

1999年底人口約為13億；

經過1年人口約為13(1+1%)億；

經過2年人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2億；

經過3年人口約為13(1+1%)2(1+1%戶13(1+1%)3億；

經過x年人口約為13(1+1%戶億；

經過20年人口約為13(1+1%嚴億.

解：設今后人口年平均增長率為1%,經過x年后,我國人口數(shù)為y億,則

y=13(l+l%)x,

當x=20時,產13(1+1%)2~6(億).

答：經過20年后，我國人口數(shù)最多為16億.

點評：類似此題，設原值為N,平均增長率為P,則對于經過時間x后總量y=N(l+p);像

尸N(l+p)、等形如產ka'(kWR,a>0且存1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù).

思路2

例1求下列函數(shù)的定義域、值域：

X

f——x2-2

(l)y=0.4->;(2)產3舊-|；(3)y=2+l;(4)y=——.

2,+1

解：(1)由x-1用得x，l,所以所求函數(shù)定義域為｛x|xrl｝.由x#0得y/1,

即函數(shù)值域為｛y|y>0且療1｝.

(2)由5x-lK)得x[,所以所求函數(shù)定義域為｛x|xN』｝.山石二120得yNl,

所以函數(shù)值域為｛y|yNl｝.

（3）所求函數(shù)定義域為R,由2*>0可得2*+1>1.

所以函數(shù)值域為{y|y>l}.

⑷由已知得：函數(shù)的定義域是R,且（2*+1）產2*-2,即（y-l）2x=-y-2.

因為講1,所以2X=-=v一—2.又X6R,所以—v一-2>0.解之，得

y-1y-1

因此函數(shù)的值域為{yH〈y<l}.

點評：通過此例題的訓練，學會利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域去求解指數(shù)形式的復合函數(shù)的

定義域、值域，還應注意書寫步驟與格式的規(guī)范性.

變式訓練