高中數(shù)學(xué)必修1第二章教案

第二章基本初等函數(shù)（I）

本章教材分析

教材把指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)當(dāng)作三種重要的函數(shù)模型來(lái)學(xué)習(xí),強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)例和圖象

的直觀，揭示這三種函數(shù)模型增長(zhǎng)的差異及其關(guān)系,從而讓學(xué)生體會(huì)建立和研究一個(gè)函數(shù)模型

的基本過(guò)程和方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用具體的函數(shù)模型解決一些實(shí)際問(wèn)題.

本章總的教學(xué)目標(biāo)是:了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解有理數(shù)指數(shù)'幕的意義，通過(guò)具體實(shí)

例了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運(yùn)算;理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，掌握f(shuō)（x）=ax的符號(hào)及

意義,能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單

調(diào)性、值域、特別點(diǎn)），通過(guò)應(yīng)用實(shí)例的教學(xué)，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是?種重要的函數(shù)模型;理解對(duì)數(shù)

的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，了解對(duì)數(shù)換底公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然

對(duì)數(shù),通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用;通過(guò)具體函數(shù)，直觀了解對(duì)

數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握f(shuō)（x）=log;,x的符號(hào)及意義，體會(huì)

對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型;能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了

解對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性、值域、特殊點(diǎn)）；知道指數(shù)函數(shù)產(chǎn)a'與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

互為反函數(shù)（a>O,a￥l）,初步了解反函數(shù)的概念和J（x）的意義;通過(guò)實(shí)例了解幕函數(shù)的概念,

結(jié)合五種具體函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x',y=x^的圖象，了解它們的變化情況.

本章的重點(diǎn)是三種初等函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)，要在理解定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)幾個(gè)特殊函數(shù)

圖象的觀察，歸納得出?般圖象及性質(zhì)，這種由特殊到一般的研究問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)的基本方

法.把這三種函數(shù)的圖象及性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系及本質(zhì)區(qū)別搞清楚是本章的難點(diǎn).

教材注重從現(xiàn)實(shí)生活的事例中引出指數(shù)函數(shù)概念，所舉例子比較全面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想

素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可能

聯(lián)系一些熟悉的事例，以豐富教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè).在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，教材將它與

指數(shù)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容作了比較，讓學(xué)生體會(huì)兩種函數(shù)模型的增長(zhǎng)區(qū)別與關(guān)聯(lián)，滲透了類(lèi)比思想.

建議教學(xué)中重視知識(shí)間的遷移與互逆作用.教材對(duì)反函數(shù)的學(xué)習(xí)要求僅限于初步的知道概念,

目的在于強(qiáng)化指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這兩種函數(shù)模型的學(xué)習(xí)，教學(xué)中不宜對(duì)其定義做更多的拓

展.教材對(duì)基函數(shù)的內(nèi)容做了削減，僅限于學(xué)習(xí)五種學(xué)生易于掌握的幕函數(shù)，并且安排的順序

向后調(diào)整，教學(xué)中應(yīng)防止增加這部分內(nèi)容，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).通過(guò)運(yùn)用計(jì)算機(jī)繪制指

數(shù)函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,教師要盡量發(fā)揮電腦

繪圖的教學(xué)功能.教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生

認(rèn)真研讀.

2.1指數(shù)函數(shù)

2.1.1指數(shù)與指數(shù)第的運(yùn)算

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)嘉的概念和運(yùn)算性質(zhì).從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧

平方根和立方根的基礎(chǔ)上,類(lèi)比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù).進(jìn)而推

廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將哥的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)轄推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)帚.

教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子:GDP的增

長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題.前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)幕，也讓學(xué)生感

受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值.后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí),

激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)帚、無(wú)理數(shù)指數(shù)幕的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊.

本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數(shù)基運(yùn)算律的推廣）、類(lèi)比

的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)累逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)基)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象

研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)

情境,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.

三維目標(biāo)

1.通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)幕的性質(zhì).掌握分?jǐn)?shù)

指數(shù)塞和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類(lèi)比的能力.

2.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練,養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué),

一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.

3.能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)慕運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算

能力.

4.通過(guò)訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀察,

進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)募和根式概念的理解.

(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì).

(3)運(yùn)用有理指數(shù)嘉性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.

教學(xué)難點(diǎn)：

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)惠及根式概念的理解.

(2)有理指數(shù)毒性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

課時(shí)安排

3課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算⑴

導(dǎo)入新課

思路1.同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它

們所處的年代?(考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問(wèn)題

我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測(cè)生物所處的年代的.教師板書(shū)本節(jié)課題:指

數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算.

思路2.同學(xué)們,我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方

根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)暴的運(yùn)算.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

(1)什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？

(3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？

(4)可否用一個(gè)式子表達(dá)呢？

活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對(duì)照類(lèi)

比平方根、立方根的定義解釋上面的式子,對(duì)問(wèn)題②的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后

回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類(lèi)比出n次方根的概念，評(píng)價(jià)學(xué)生的思維.

討論結(jié)果：

⑴若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如:4的平方根為±2,

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如:-8的立方根

為-2.

(2)類(lèi)比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根.一個(gè)數(shù)的五

次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根.一個(gè)數(shù)的六次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根.

(3)類(lèi)比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根.

(4)用一個(gè)式子表達(dá)是，若x"=a,則x叫a的n次方根.

教師板書(shū)n次方根的意義：

一般地，如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且nGN*.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出問(wèn)題

(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根；②士8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；

⑥0的7次方根；⑦武的立方根.

(2)平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分別對(duì)應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特

點(diǎn)?4,±8,16,-32,32,0K分別對(duì)應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù),有什么特點(diǎn)？

(3)問(wèn)題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零,結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)

的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？

(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？

活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出的那個(gè)數(shù)的

n次方等于a,及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類(lèi)考慮，可以把具體的數(shù)寫(xiě)來(lái),觀察數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題

(2)中的結(jié)論,類(lèi)比推廣引申，考慮要全面，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生

提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路.

討論結(jié)果：

(1)因?yàn)椤?的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5

次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a1所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32

的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,的立方根分別是±2,±2,±2,2,204.

(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來(lái)看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零.

(3)一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè),是互為相反數(shù).0的任何次

方根都是0.

(4)任何?個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在,因?yàn)闆](méi)有一個(gè)數(shù)的偶

次方是一個(gè)負(fù)數(shù).

類(lèi)比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用我表示,如果是負(fù)數(shù),

負(fù)的n次方根用-〃'表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成士?jī)?chǔ)(a>0).

②n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用

符號(hào)后表示.

③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示：

、—0/〃為奇數(shù),a的〃次方根有一個(gè)為〃'，

a為正數(shù)_

"為偶數(shù)，。的〃次方根有兩個(gè)為土低.

“啟拓［〃為奇數(shù)，。的〃次方根只有一個(gè)為近，

1〃為偶數(shù)，。的〃次方根不存在.

零的n次方根為零,記為血=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例.

思考根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況？

活動(dòng)：教師提示學(xué)生對(duì)方根的性質(zhì)要分類(lèi)掌握,即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根,零的任

何次方根，這樣才不重不漏,同時(shí)巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個(gè)數(shù)，我們寫(xiě)出它的平方根,立方根,4次

方根等，看是否有意義,注意觀察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題.

解答：答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根為±2,-27的5次方根為匯萬(wàn),而-27

的4次方根不存在等.其中07也表示方根，它類(lèi)似于,片的形式，現(xiàn)在我們給式子'4a?個(gè)

名稱(chēng)——根式.

根式的概念：

式子后叫根式，其中a叫被開(kāi)方數(shù),n叫根指數(shù).

如47中,3叫根指數(shù),-27叫被開(kāi)方數(shù).

思考

行表示a"的n次方根，等式加7=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么我7等于什么？

活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào)，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論.教師點(diǎn)撥,

注意歸納整理.

（如#（—3）3=V^7=3,y（—8）4=卜8|=8）.

解答：根據(jù)n次方根的意義，可得:（心）』.

通過(guò)探究得到：n為奇數(shù)，叱=a.

n為偶,,數(shù),"—〃=間=1a>0,

-a,a<0.

因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)：

①（心）'F先開(kāi)方，再乘方（同次），結(jié)果為被開(kāi)方數(shù).

②n為奇數(shù)，叱=a.先奇次乘方,再開(kāi)方（同次），結(jié)果為被開(kāi)方數(shù).

n為偶數(shù)，叱=|a|=aj"'""0'先偶次乘方,再開(kāi)方（同次），結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)的絕對(duì)值.

-a,a<0.

設(shè)計(jì)感想

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式

的概念和性質(zhì)難以理解,在引入根式的概念時(shí)，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉具體實(shí)例,根式立'的講

解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來(lái)進(jìn)行,每種情況又分a>O,a<O,a=O三種情況，并結(jié)合具體例子

講解,因此設(shè)計(jì)了大量的類(lèi)比和練習(xí)題目，要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要

用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué).

(設(shè)計(jì)者：路致芳)

第2課時(shí)指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算(2)

導(dǎo)入新課

思路1.碳14測(cè)年法.原來(lái)宇宙射線(xiàn)在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成二氧化碳

后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收,再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸

收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14

便以約5730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的

含量，便可推斷其年代(半哀期:經(jīng)過(guò)?定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半).引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)

幕的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)事.

思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)塞及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)基是否可以推廣

呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書(shū)本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)幫的運(yùn)算之分

數(shù)指數(shù)幕.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

(1)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)是什么？

(2)觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a>0,

____10

①=。02)，=a2=a5;

②==a，=a5;

____12

③V^12==a3=a4;

④飛a'。=y(a5)2=a5=a2.

(3)利用⑵的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？

V?",(x>0,m,n￡N［且n>l).

(4)你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？

(5)你能推廣到一般的情形嗎？

活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)哥及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀察，特別是每題的開(kāi)始和最后兩步

的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋?zhuān)更c(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類(lèi)

比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般，對(duì)寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)

提示.

討論結(jié)果：⑴整數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)：an=aaa；.aa°=l(a#));0°無(wú)意義；

an=t(a^O);am-an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a?是a的5次方根；②是a?的2次方根；③是aI？的4次方根；④a'是@1°的2次

____[08____12____10

方根.實(shí)質(zhì)上①證=a'②J^=a5,③訝=a%④療=a^結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5

分別寫(xiě)成了色,目，絲，竺，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變.

5245

根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以

寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)幕形式).

(3)利用(2)的規(guī)律,VF=54,V7?=7\V^?=a5,VF=x".

357m

(4)53的四次方根是54,75的三次方根是7與‘a(chǎn)’的五次方根是4"1的n次方根是x,

結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)寒是相通的.

mm

(5)如果a>0,那么a"1的n次方根可表示為(["W7,即a7=Vam(a>0,m,neN\n>l).

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，教師板書(shū)：

n

規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是am=y[am(a>0,m,neN*,n>l).

提出問(wèn)題

①負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義是怎樣規(guī)定的？

②你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義嗎？

③你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義？

④綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義？

⑤分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義中，為什么規(guī)定a>0,去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？

⑥既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)是否也適

用于有理數(shù)指數(shù)暴呢？

活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)基的意義和負(fù)

整數(shù)指數(shù)新的意義來(lái)類(lèi)比,把正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義融合起來(lái)，與整數(shù)指

數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比可得有理數(shù)指數(shù)'幕的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書(shū)，學(xué)生合作交流，以具

體的實(shí)例說(shuō)明a>0的必要性,教師及時(shí)作出評(píng)價(jià).

討論結(jié)果：①負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是:a.=-!-(arO),neN*.

an

②既然負(fù)整數(shù)指數(shù)暴的意義是這樣規(guī)定的，類(lèi)比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義可得正數(shù)的負(fù)分

數(shù)指數(shù)募的意義.

」11

規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a"=——=—j=(a>0,m,neN\n>1).

11"/c加

am"

③規(guī)定:零的分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是:零的正分?jǐn)?shù)次幕等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)界沒(méi)有意義.

④教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義就是：

n___

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的意義是a7=〃￡(a>0,m,nGN",n>l),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是

--11

a時(shí)=」一=3包>0,111,11￡產(chǎn),11>1),零的正分?jǐn)?shù)次第等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒(méi)有意義.

a","

⑤若沒(méi)有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？

如(-1)3=3-1=1,(-1)6=65)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說(shuō)明分

數(shù)指數(shù)痔在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零,

2

如無(wú)a>0的條件，比如式子3a2=間5,同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí),應(yīng)把負(fù)

號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累，也就是說(shuō)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基在有意義的情況

下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.

⑥規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).

有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)a'-as=a's(a>O,r,s￡Q),

(2)(ar)s=ars(a>O,r,sGQ),

(3)(a-b)r=arbr(a>O,b>O,reQ).

我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義和有理數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下血的例題.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充,要讓學(xué)生反復(fù)

理解分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義，教學(xué)中可以通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的互化來(lái)鞏固加深對(duì)這一概念的

理解,用觀察、歸納和類(lèi)比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒(méi)有合理的解釋?zhuān)虼硕喟才乓恍┚?/p>

習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固知識(shí)，要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù).

(設(shè)計(jì)者：郝云靜)

第3課時(shí)指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算(3)

導(dǎo)入新課

思路1.

同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就

推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)塞呢?回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)

程,自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實(shí)數(shù).并且知道,在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程

中，增添的數(shù)是——實(shí)數(shù).對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)塞，也是這樣擴(kuò)充而來(lái).既然如此,我們這節(jié)課的主要內(nèi)

容是:教師板書(shū)本堂課的課題(指數(shù)與指數(shù)基的運(yùn)算(3))之無(wú)理數(shù)指數(shù)幕.

思路2.

同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí),對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中,我們又對(duì)函數(shù)

的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù),如一次函數(shù)、二

次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足我們的需要，隨著科學(xué)的

發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們

必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)界的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)累從有理數(shù)指數(shù)幕擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)新,

因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí):指數(shù)與指數(shù)騫的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)幕，教師板書(shū)本堂課的課題.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

①我們知道=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…，是血的什么近似值?

而1.42,1.415,1.4143,1.41422,...,是正的什么近似值？

②多媒體顯示以下圖表:同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?

J2的過(guò)剩近似值55拉的近似值

1.511.18033989

1.429.82935328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.73817752

5上的近似值V2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.414213

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

③你能給上述思想起個(gè)名字嗎?

④個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次幕到底是個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢?如5'歷，根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí)，能作出判

斷并合理地解釋嗎？

⑤借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生,學(xué)生有困惑時(shí)加以解

釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：

問(wèn)題①?gòu)慕浦档姆诸?lèi)來(lái)考慮，一方面從大于后的方向，另一方面從小于正的方向.

問(wèn)題②對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看,注意其關(guān)聯(lián).

問(wèn)題③上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近.

問(wèn)題④對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè)，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋.

問(wèn)題⑤在③④的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般.

討論結(jié)果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…這些數(shù)都小于正，稱(chēng)、歷的不足近似值，而

1.42,1.415,1.4143,1.41422,...,這些數(shù)都大于O，稱(chēng)41的過(guò)剩近似值.

②第一個(gè)表:從大于Ji的方向逼近正時(shí),5企就從52,5叱5⑷M⑷4討.4”22,…,即大于52

的方向逼近5?.

第二個(gè)表:從小于2的方向逼近正時(shí),5&就從514541,574,5742,5"1421,…，即小于5女

的方向逼近5&.

從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題,在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5衣從

5'4,5'Al,5'4\4,5]4l425*1421,…，即小于5&的方向接近5拉，而另一方面5拒從

5",5?,5⑷5,51.4143,5⑷422,…,即大于5亞的方向接近5可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近5夜,

即逼近5拉，所以5是一串有理數(shù)指數(shù)幕5'A,5'41,5'A\4,5'A\42,5L41421,…,和另一串有理

數(shù)指數(shù)第52S"15⑷55-4⑷,5卬422,.,按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)

從兩個(gè)方向向表示5、巧的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是5忘一定

是一個(gè)實(shí)數(shù)，即51-4<5141<51414<514142<5141421<...<575<...<5141422<514143<51415<5142<51\

充分表明5&是一個(gè)實(shí)數(shù).

③逼近思想,事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識(shí).

④根據(jù)②③我們可以推斷5&是一個(gè)實(shí)數(shù),猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次幕是一個(gè)實(shí)數(shù).

⑤無(wú)理數(shù)指數(shù)嘉的意義：

一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)導(dǎo)a。（a>0,a是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在

數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)界的意義，知

道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)累，那么，指數(shù)事就從有理數(shù)指數(shù)轅擴(kuò)充到實(shí)

數(shù)指數(shù)幕.

提出問(wèn)題

（1）為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)累的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？

（2）無(wú)理數(shù)指數(shù)毒的運(yùn)算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則相通呢？

（3）你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則嗎？

活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類(lèi)比,歸納.

對(duì)問(wèn)題（1）回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說(shuō)明.

對(duì)問(wèn)題（2）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)痔的運(yùn)算法則，既然無(wú)理數(shù)指數(shù)嘉aa（a>O,a是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)

確定的實(shí)數(shù)，那么無(wú)理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則類(lèi)似，并且相通.

對(duì)問(wèn)題（3）有了有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算法則,實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然

就得到了.

討論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性，若a=-l,那么a”是+1還是-1就無(wú)法確定了，這樣就造成

混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無(wú)理數(shù)指數(shù)塞a"是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),就不會(huì)再造成混亂.

(2)因?yàn)闊o(wú)理數(shù)指數(shù)寨是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行寒的運(yùn)算，有理

數(shù)指數(shù)第的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)基.類(lèi)比有理數(shù)指數(shù)第的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)

理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則：

@a'-as=ar+s(a>O,r,s都是無(wú)理數(shù)).

0(ar)s=an(a>O,r,s都是無(wú)理數(shù)).

@(a-b)r=a'br(a>O,b>O,r是無(wú)理數(shù)).

(3)指數(shù)基擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)塞.

實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：

對(duì)任意的實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①a'：a'=a"、(a>O,r,seR).

(2)(ar)s=ars(a>0,r,sSR).

③"1)>=斜1>0,1>>04€R).

設(shè)計(jì)感想

無(wú)理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充,教學(xué)中要讓學(xué)生通過(guò)多媒體的演示，理解無(wú)理數(shù)指數(shù)哥

的意義，教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過(guò)實(shí)際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對(duì)概念的理解，本

堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進(jìn)行推理,只能通過(guò)多媒體的教學(xué)手段，讓學(xué)生體會(huì)，特別是逼近的

思想、類(lèi)比的思想，多作練習(xí),提高學(xué)生理解問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力.

備課資料

富蘭克林的遺囑與拿破侖的諾言

富蘭克林利用放風(fēng)箏而感受到電擊，從而發(fā)明了避雷針.這位美國(guó)著名的科學(xué)家死后留下了一

份有趣的遺囑：

“……一千英鎊贈(zèng)給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊,那么這筆錢(qián)應(yīng)該托付給一些

挑選出來(lái)的公民，他們得把這些錢(qián)按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息.這些款

過(guò)了100年增加到131000英鎊.我希望那時(shí)候用100000英鎊來(lái)建立一所公共建筑物，剩下的

31000英鎊拿去繼續(xù)生息100年.在第二個(gè)100年末了，這筆款增加到4061000英鎊，其中

1061000英鎊還是由波士頓的居民來(lái)支配，而其余的3000000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來(lái)管

理.過(guò)此之后，我可不敢主張了！”

你可曾想過(guò)：區(qū)區(qū)的1000英鎊遺產(chǎn),竟立下幾百萬(wàn)英鎊財(cái)產(chǎn)分配的遺囑，是“信口開(kāi)河”,還是

“言而有據(jù)”呢？事實(shí)上，只要借助于復(fù)利公式，同學(xué)們完全可以通過(guò)計(jì)算而作出自己的判斷.

y『m(l+a)n就是復(fù)利公式，其中m為本金,a為年利率,%為n年后本金與利息的總和.在第一個(gè)

100年末富蘭克林的財(cái)產(chǎn)應(yīng)增加到:yioo=1000(l+5%)"°=131501(英鎊)，比遺囑中寫(xiě)的還多出

501英鎊.在第二個(gè)100年末，遺產(chǎn)就更多了：yioo=131501(1+5%嚴(yán)°=4142421(英鎊).可見(jiàn)富

蘭克林的遺囑是有科學(xué)根據(jù)的.

遺囑故事啟示我們：在指數(shù)效應(yīng)下，微薄的財(cái)產(chǎn)，低廉的利率，可以變得令人瞠目結(jié)舌.威名顯赫

的拿破侖，由于陷進(jìn)了指數(shù)效應(yīng)的漩渦而使法國(guó)政府十分難堪！

1797年,拿破侖參觀國(guó)立盧森堡小學(xué)，贈(zèng)上了一束價(jià)值三個(gè)金路易的玫瑰花，并許諾只要法蘭

西共和國(guó)存在一天，他將每年送一束價(jià)值相等的玫瑰花,以作兩國(guó)友誼的象征.由于連年征戰(zhàn),

拿破侖忘卻了這一諾言！1894年,盧森堡王國(guó)鄭重地向法蘭西共和國(guó)提出了“玫瑰花懸案”，要

求法國(guó)政府在拿破侖的聲譽(yù)和1375596法郎的債款中，二者選取其一.這筆巨款就是三個(gè)金路

易的本金，以5%的年利率，在97年的指數(shù)效應(yīng)下的產(chǎn)物.

(設(shè)計(jì)者：劉玉亭)

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

有了前面的知識(shí)儲(chǔ)備，我們就可以順理成章地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研

究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子:GDP的增

長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的哀減問(wèn)題.前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)幕，也讓學(xué)生感

受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值.后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí),

激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)基、無(wú)理數(shù)指數(shù)基的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊.

本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數(shù)嘉運(yùn)算律的推廣）、類(lèi)比

的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)幕逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)基）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象

研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時(shí)，編寫(xiě)時(shí)充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)

情景,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.

三維目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,根據(jù)圖象理解和掌握

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)具體到一般數(shù)學(xué)討論方式及數(shù)形結(jié)合的思想.

2.讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力.

3.通過(guò)訓(xùn)練點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練指數(shù)基運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀察，進(jìn)而研究

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納、概括及其應(yīng)用.

課時(shí)安排

3課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）

導(dǎo)入新課

思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的二,寫(xiě)出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關(guān)系式，它是

4

函數(shù)關(guān)系式嗎？若是，請(qǐng)計(jì)算若要使存留的污垢不超過(guò)原有的則至少要漂洗幾次？教師

64

引導(dǎo)學(xué)生分析，列出關(guān)系式產(chǎn)（工）；發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系式是個(gè)函數(shù)關(guān)系且它的自變量在指數(shù)的位

4

置上，這樣的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，引出本節(jié)課題.

思路2.教師復(fù)習(xí)提問(wèn)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)，并要求學(xué)生計(jì)算23,2°,2-2,16\273,49F.再提問(wèn)怎樣

畫(huà)函數(shù)的圖象，學(xué)生思考，分組交流，寫(xiě)出自己的答案8,1,工,2,9,1,先建立平面直角坐標(biāo)系，再

47

描點(diǎn)，最后連線(xiàn).點(diǎn)出本節(jié)課題.

1—

思路3.在本章的開(kāi)頭，問(wèn)題（2）中時(shí)間t和碳14含量P的對(duì)應(yīng)關(guān)系P=［（—）573?！?，如果我

2

1q

們用X表示時(shí)間,y表示碳14的含量，則上述關(guān)系可表示為y=[(萬(wàn)產(chǎn)3。]X,這是我們習(xí)慣上

的函數(shù)形式,像這種自變量在指數(shù)的位置上的函數(shù)，我們稱(chēng)為指數(shù)函數(shù)，下面我們給出指數(shù)函

數(shù)的確切概念，從而引出課題.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

1.一種放射性物質(zhì)不斷衰減為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留量約是原來(lái)的84%,求出這種物質(zhì)經(jīng)

過(guò)x年后的剩留量y與x的關(guān)系式是.(y=0.84x)

2.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由一個(gè)分裂成兩個(gè)，兩個(gè)分裂成四個(gè)，四個(gè)分裂成十六個(gè)，依次類(lèi)推,一個(gè)這

樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的關(guān)系式是.(y=2x)

提出問(wèn)題

(1)你能說(shuō)出函數(shù)產(chǎn)0.84*與函數(shù)y=2x的共同特征嗎？

(2)你是否能根據(jù)上面兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式給出一個(gè)一般性的概念？

(3)為什么指數(shù)函數(shù)的概念中明確規(guī)定a>O,a/l?

(4)為什么指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集？

(5)如何根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù)？請(qǐng)你說(shuō)出它的步驟.

活動(dòng):先讓學(xué)生仔細(xì)觀察，交流討論，然后回答,教師提示點(diǎn)撥，及時(shí)鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)給出正確結(jié)論的學(xué)

生，引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己的應(yīng)用知識(shí)的能力，教師巡視，個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生共性的

問(wèn)題集中解決.

問(wèn)題(1)看這兩個(gè)函數(shù)的共同特征，主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值.

問(wèn)題(2)一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量.

問(wèn)題(3)為了使運(yùn)算有意義，同時(shí)也為了問(wèn)題研究的必要性.

問(wèn)題(4)在(3)的規(guī)定下，我們可以把a(bǔ)*看成一個(gè)哥值，一個(gè)正數(shù)的任何次哥都有意義.

問(wèn)題(5)使學(xué)生回想指數(shù)函數(shù)的定義，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷?個(gè)函數(shù)是否是?個(gè)指數(shù)函數(shù),

緊扣指數(shù)函數(shù)的形式.

討論結(jié)果：(1)對(duì)于兩個(gè)解析式我們看到每給自變量x-個(gè)值,y都有唯?確定的值和它對(duì)應(yīng),

再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上，它們的底數(shù)都大于0,但一個(gè)大于1，一個(gè)小于1.0.84

與2雖然不同，但它們是兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中的常量，因?yàn)樽兞恐挥衳和y.

(2)對(duì)于兩個(gè)解析式y(tǒng)=0.84'和產(chǎn)2:我們把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中的常量用一個(gè)字母a來(lái)表示，這樣

我們得到指數(shù)函數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)產(chǎn)aX(a>0,ari)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x叫自變量，函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

(3)a=0吐x>0時(shí),a*總為0;x<0時(shí),a'沒(méi)有意義.

a<0時(shí)，如a=-2,x=-,ax=(-2)2=R顯然是沒(méi)有意義的.

2

a=l時(shí),a*恒等于I,沒(méi)有研究的必要.

因此規(guī)定a>0,a戶(hù)1.此解釋只要能說(shuō)明即可，不要深化.

(4)因?yàn)閍>0,x可以取任意的實(shí)數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

(5)判斷?個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù),一是看底數(shù)是否是一個(gè)常數(shù)，再就是看自變量是否是

一個(gè)x且在指數(shù)位置上，滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù).

提出問(wèn)題

(1)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)指數(shù)函數(shù)呢？

(2)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候,如何作函數(shù)的圖象?說(shuō)明它的步驟.

(3)利用上面的步驟,作函數(shù)y=2*的圖象.

(4)利用上面的步驟,作函數(shù)y=(g》的圖象.

(5)觀察上面兩個(gè)函數(shù)的圖象各有什么特點(diǎn)，再畫(huà)幾個(gè)類(lèi)似的函數(shù)圖象，看是否也有類(lèi)似的特

點(diǎn)？

(6)根據(jù)上述幾個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？

⑺把尸2*和尸(；戶(hù)的圖象，放在同一坐標(biāo)系中，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖象的關(guān)系嗎？

(8)你能證明上述結(jié)論嗎？

(9)能否用尸2*的圖象畫(huà)y=(g)x的圖象?請(qǐng)說(shuō)明畫(huà)法的理由.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質(zhì)，共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的方法,

強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，注意從具體到?般的思想方法的運(yùn)用,

滲透概括能力的培養(yǎng)，進(jìn)行課堂巡視，個(gè)別輔導(dǎo),投影展示畫(huà)得好的部分學(xué)生的圖象，同時(shí)投影

展示課本表21,22及圖2.12,2.13及2.14,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，補(bǔ)充學(xué)生回答中的不足.學(xué)生獨(dú)立思考,

提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路，獨(dú)立畫(huà)圖，觀察圖象及表格，表述自己的發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們相互交流,

形成對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，推薦代表發(fā)表本組的集體的認(rèn)識(shí).

討論結(jié)果：(1)我們研究函數(shù)時(shí)，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，由具體到一般,一般要考慮函數(shù)的定

義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，有時(shí)也通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來(lái)看函數(shù)的性質(zhì).

(2)一般是列表，描點(diǎn)，連線(xiàn)，借助多媒體手段畫(huà)出圖象，用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象.

(3)列表.

X-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00

1]_]_

y=2x124

^842

作圖如圖2-1-2-1

圖2-122

(5)通過(guò)觀察圖2121,可知圖象左右延伸，無(wú)止境說(shuō)明定義域是實(shí)數(shù).圖象自左至右是上升的，說(shuō)

明是增函數(shù)，圖象位于X軸上方，說(shuō)明值域大于0.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且y值分布有以下特點(diǎn),x<0

時(shí)0<y<l,x>0時(shí)y>l.圖象不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是

偶函數(shù).

通過(guò)觀察圖2122,可知圖象左右延伸，無(wú)止境說(shuō)明定義域是實(shí)數(shù).圖象自左至右是下降的，說(shuō)明

是減函數(shù)，圖象位于x軸上方，說(shuō)明值域大于0.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),x<0時(shí)y>l,x>0時(shí)0<y<l.

圖象不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

可以再畫(huà)下列函數(shù)的圖象以作比較，尸3\尸6\尸(-)\y=J)'.重新觀察函數(shù)圖象的特點(diǎn)，推

廣到一般的情形.

(6)-搬地，指數(shù)函數(shù)產(chǎn)a*在a>l和0〈a〈l的情況下，它的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)如下表所示.

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

a>l0<a<la>l0<a<l

向X軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱(chēng)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)a°=l

自左向右,圖象逐漸上升自左向右,圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐在第一?象限內(nèi)的圖象縱坐

lx>O,ax>lx>O,ax<l

標(biāo)都大于1標(biāo)都小于

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐在第二象限內(nèi)的圖象縱坐

x<O,ax<lx<O,ax>l

標(biāo)都小于1標(biāo)都大于1

一般地，指數(shù)函數(shù)y=a、在底數(shù)a>l及0<a<l這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示:

a>l0<a<l

x

y^=o(a>l)1

(0<a<l)\^

圖象

0X0X

①定義演!c：R

②值域：(0,+8)

性質(zhì)③過(guò)點(diǎn)(0,1)，即x=0時(shí)y=l

④在R上是增函數(shù)，當(dāng)xVO時(shí)QVyVl;④在R上是減函數(shù)，當(dāng)xVO時(shí),y>l;

當(dāng)x>0時(shí),y>1當(dāng)x>0時(shí),0<yV1

(7)在同一坐標(biāo)系中作出產(chǎn)2*和丫=(；》兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖2-1-23經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn),

它們的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

(8)證明:設(shè)點(diǎn)P(XM)是y=2x上的任意一點(diǎn)，它關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是pGx.),它滿(mǎn)足方程

產(chǎn)(；尸2",即點(diǎn)p(xi,y。在廣(；戶(hù)的圖象上，反之亦然，所以y=2*和廣(；了兩個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

(9)因?yàn)楫a(chǎn)2*和廣(；戶(hù)兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以可以先畫(huà)其中一個(gè)函數(shù)的圖象，利

用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以得到另一個(gè)函數(shù)的圖象,同學(xué)們一定要掌握這種作圖的方法，對(duì)以后的學(xué)

習(xí)非常有好處.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)課是在前面研究了函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，研究具體的初等函數(shù),它是重要的初等函數(shù)，它有

著豐富的內(nèi)涵，且和我們的實(shí)際生活聯(lián)系密切，也是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),在指數(shù)函數(shù)的

概念講解過(guò)程中，既要向?qū)W生說(shuō)明定義域是什么，又要向?qū)W生交代，為什么規(guī)定底數(shù)a是大于

0而不等于1的,本節(jié)內(nèi)容課堂容量大，要提高課堂的效率和節(jié)奏，多運(yùn)用信息化的教學(xué)手段,

順利完成本堂課的任務(wù).

(設(shè)計(jì)者：韓雙影)

第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(2)

導(dǎo)入新課

思路1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入：我們前一節(jié)課學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì),下面我們一起回顧一下指數(shù)

函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).如何利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)解決一些問(wèn)題，這就是本堂課要

講的主要內(nèi)容.教師板書(shū)課題.

思路2.我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，并且是用類(lèi)比和歸納的

方法得出，在理論上，我們能否嚴(yán)格的證明特別是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以便于我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)

用這些性質(zhì),本堂課我們要解決這個(gè)問(wèn)題.教師板書(shū)課題:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(2).

應(yīng)用示例

思路1

例1已知指數(shù)函數(shù)f(x尸a*(a>0且/1)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,1,求f(0),f(l)*3)的值.

活動(dòng)：學(xué)生審題，把握題意,教師適時(shí)提問(wèn)，點(diǎn)撥，求值的關(guān)鍵是確定a,?般用待定系數(shù)法，構(gòu)建

■?個(gè)方程來(lái)處理，函數(shù)圖象過(guò)已知點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)在圖象上，意味著已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)的方程,

轉(zhuǎn)化為將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且arl)求a的值，進(jìn)而求出f(0),f(l),f(-3)

的值，請(qǐng)學(xué)生上黑板板書(shū)，及時(shí)評(píng)價(jià).

解：因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)(3,兀)，

JI

所以氏3『3=兀,即a=?t5,f(x)=(”)'.

再把0,1,3分別代入，得

[0)=?！?1,

f(l)=7Il=7t,

f(-3)=7t'=—.

兀

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)待定系數(shù)的多少來(lái)確定構(gòu)建方程的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，這是方程思想的運(yùn)用.

例2用函數(shù)單調(diào)性的定義證明指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

活動(dòng)：教師點(diǎn)撥提示定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要按規(guī)

定的格式書(shū)寫(xiě).

證法一：設(shè)XgGR,且X1〈X2,則

y2-y1=aX2—ax?=axi(a'-x]-1).

x

因?yàn)閍>l,x2-X1>0,所以a*2-xi>l,即a2-x,-l>0.

又因?yàn)?>0,

所以y2—yi>o,

即yi<y2.

所以當(dāng)a>l時(shí)，尸a',xGR是增函數(shù).

同理可證，當(dāng)0<a<l時(shí)，產(chǎn)a*是減函數(shù).

證法二：設(shè)xgGR,且X]<X2,則y2與yi都大于0,則力.

%?1

因?yàn)閍>l,X2—xi>0,所以aX2~x,>1,

即立■>i,yi〈y2.

%

所以當(dāng)a>l時(shí)，產(chǎn)a',xGR是增函數(shù).

同理可證，當(dāng)0<a<l時(shí)，產(chǎn)a'是減函數(shù).

變式訓(xùn)練

若指數(shù)函數(shù)產(chǎn)(2a-l)*是減函數(shù)，則a的范圍是多少？

田田1，

答案：一<a<l.

2

例3截止到1999年底，我國(guó)人口約13億，如果今后能將人口年平均增長(zhǎng)率控制在1%,那么經(jīng)

過(guò)20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少(精確到億)？

活動(dòng):師生共同討論，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立目標(biāo)函數(shù),常采用特殊到一般的方式,

教師引導(dǎo)學(xué)生注意題目中自變量的取值范圍，可以先考慮一年一年增長(zhǎng)的情況，再?gòu)闹邪l(fā)現(xiàn)規(guī)

律，最后解決問(wèn)題：

1999年底人口約為13億；

經(jīng)過(guò)1年人口約為13(1+1%)億；

經(jīng)過(guò)2年人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2億；

經(jīng)過(guò)3年人口約為13(1+1%)2(1+1%戶(hù)13(1+1%)3億；

經(jīng)過(guò)x年人口約為13(1+1%戶(hù)億；

經(jīng)過(guò)20年人口約為13(1+1%嚴(yán)億.

解：設(shè)今后人口年平均增長(zhǎng)率為1%,經(jīng)過(guò)x年后,我國(guó)人口數(shù)為y億,則

y=13(l+l%)x,

當(dāng)x=20時(shí),產(chǎn)13(1+1%)2~6(億).

答：經(jīng)過(guò)20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為16億.

點(diǎn)評(píng)：類(lèi)似此題，設(shè)原值為N,平均增長(zhǎng)率為P,則對(duì)于經(jīng)過(guò)時(shí)間x后總量y=N(l+p);像

尸N(l+p)、等形如產(chǎn)ka'(kWR,a>0且存1)的函數(shù)稱(chēng)為指數(shù)型函數(shù).

思路2

例1求下列函數(shù)的定義域、值域：

X

f——x2-2

(l)y=0.4->;(2)產(chǎn)3舊-|；(3)y=2+l;(4)y=——.

2,+1

解：(1)由x-1用得x，l,所以所求函數(shù)定義域?yàn)椋鹸|xrl｝.由x#0得y/1,

即函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y>0且療1｝.

(2)由5x-lK)得x[,所以所求函數(shù)定義域?yàn)椋鹸|xN』｝.山石二120得yNl,

所以函數(shù)值域?yàn)椋鹹|yNl｝.

（3）所求函數(shù)定義域?yàn)镽,由2*>0可得2*+1>1.

所以函數(shù)值域?yàn)閧y|y>l}.

⑷由已知得：函數(shù)的定義域是R,且（2*+1）產(chǎn)2*-2,即（y-l）2x=-y-2.

因?yàn)橹v1,所以2X=-=v一—2.又X6R,所以—v一-2>0.解之，得

y-1y-1

因此函數(shù)的值域?yàn)閧yH〈y<l}.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)此例題的訓(xùn)練，學(xué)會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域去求解指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的

定義域、值域，還應(yīng)注意書(shū)寫(xiě)步驟與格式的規(guī)范性.

變式訓(xùn)練