計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述

計算機控制系統(tǒng)

ComputercontrolSystem

-----理蹌、設(shè)計與實瓠

工程學院自動化教研室

邢航

2010年9月

1

第3章

計算機控制系統(tǒng)的

數(shù)學描述

3.1離散系統(tǒng)時域描述——差分方程

3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析差分方程

3.5離散系統(tǒng)的頻域描述脈沖傳遞函數(shù)

3.7應(yīng)用實例頻率特性

狀態(tài)空間方程

2

3.1離散系統(tǒng)時域描述差分方程

3

3.L1差分的定義

?連續(xù)函數(shù)，⑺，采樣后為人切)H~>fg

一階向前差分：Af(左)=f(k+l)-/(/c)

二階向前差分：及于*)=Af(/<+l)-Af(/<)

=/(左+2)—2/、吩+1)+/、(左)

/>階向前差分：A-A^-W+1)-Aw-1/(Ar)

一階向后差分：\f(k)=f(k-l)

二階向后差分：『〃左)=V[Vf(t)]=f(k)-2/(左-1)+f(k-2)

〃階向后差分:m="f(k)7"k—D

4

3.1.2差分方程(differenceequation)

差分方程是描述離散系統(tǒng)的方程

2

+改(，)二質(zhì)⑺s^as-b

度續(xù)系統(tǒng)■■■■■■■(a)

微分用向前差分代替

/⑺C+as+bC(t)c*(/)

(b)

(二二尸(左)代替r(/)

c(R)代替C”)

[c\k+2)-2c(k+1)+c(A)]+a[c(k+1)-c(Zr)]+bc(k)=kr(k)

c(k+2)+(a-2)c(Zr+1)+(1—〃+b)c(k)=kr(k)

c(k+2)+a/Ik+1)+a2c(k)=kr(k)

5

二階、常系數(shù)、線性差分方程

二階常系數(shù)線性差分方程

c(k+2)+aYc(k+1)+a2c(k)=kr(k)

一般離散系統(tǒng)的差分方程

□兩種表示方法

差分方程的向前差分表示：

(n-------------------------------------------------------------------------------------------------------------4

c(k+77)+”]C(k+〃-1)+a<[k+〃-2)+…%c(")

=bor{k+〃1)+〃1r(4+m—1)4-----Fbmr(k)m<n

u

差分方程的向后差分表示：

_________________________________________________________________________________________________ffi

c(k)+aYc(k-1)+ci2c(k-2)4-----1a〃c(k一〃)

=bQr(k)+btr(k-1)+--?+b〃j(k-m)in<n

3.1.3線性常系數(shù)差分方程的迭代求解

差分方程的解」r通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。

L特解與外部輸入有關(guān)。

差分方程求解1-遞推法（P49,例3-1）

c(A)-0.5c(A-l)=r(A)c(0)=0r(Zr)=1

c(k)=r(A)+0.5c(A-1)

k=l,c(l)=r⑴+0.5c(l-l)=1+0.5c(0)=1

k=2,c(2)=*2)+0.5=2-1)=1+0.5=1)=1+0.5=15

k=3,c(3)=r(3)+0.5c(3-1)=1+0.5c(2)=1+0.5x1.5=1,75

依此類推，迭代下去就可以求得任意時刻輸出eg）

7

特點：算法簡單，無閉合形式，便于編程求解。

例3-1采用MATLAB程序求解

一MATLAB程序：

n=10;3。定義計算的點數(shù)

c(l:n)=O;r(l:n)=l;k(l)=O；%)定義輸入輸出和點數(shù)的初值

fori=2:n

c(i)=r(i)+0.5*c(i-l);k(i)=k(i-l)+l;

end

z%)繪輸出響應(yīng)圖，每一點上用。表示

plot(kzc/k:o)

解序列為：k=0,1,…，9時，

0=0,1.0000,1.5000,1.7500,§

1.8750,1.9375,1.9688,

1.9844,1.9922,1.9961人

差分方程的解序列表示8

與拉式變換求解微分方程相同，

差分方程的另一個求解方法是利用Z變換求解。

9

3.2z變換

在離散系統(tǒng)中，采用Z變換得到系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),

它將在離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計中發(fā)揮重要作用。

10

N)——人——廣⑺

3.2.1二變換定義

采樣信號/*⑺N八⑦卬一4）

尸*（$）="/*?）］=￡/（"）「，

nr」=。

J二。U.X4>k">L'<=

一V

注意：

F（z）=iy（H）「

采樣信號;變換中，二】代表信號

的::變換￡=0滯后一個采樣周期，

稱為單位延遲因子。

11

采樣脈沖序列進行Z變換的寫法：

Z"*(川,Z"(f)],Z[f(kT)lZ[F(s)]

F(z)的表現(xiàn)形式:□在實際應(yīng)用中，對控制工程中多數(shù)信

號，：變換所表示的無窮級數(shù)是收斂的

,并可寫成閉合形式。

□:的有理分式:

◎

產(chǎn)⑴=時+仆2+…+…'。)

m<n

工十0”-1工+…+G7+”

□的有理分式：(在L變換中沒有)

=Xa++…++)

,~-T+-+CL+C°「I=n-m

□零、極點形式:

:尸⑴=KN⑶=K(Z-G)…(…〃,)

111<11

“B(z)(z-Pi)…(z-p〃)

(L變換)_"

;變換過程：/?)-----?/*(s)z=e>F(z)

I——?3(t-kT)nz*---------

z變換的特點：

1)得到幕級數(shù)形式，可以簡化研究o尸⑶是有理多項式

2)11在時間上延時一個采樣周期，故從時間上看

是延遲的，稱為單位延遲因子。

Z-10b。-T)尸=6。-27)

只對應(yīng)采樣點

13

2z反變換

□求與:變換相對應(yīng)的采樣序列函數(shù)的過程稱為:反變換。

z力/⑶]=/*?)=>/(4)

二反變換唯一，且對應(yīng)的是采樣序列值

Z”(z)]w/⑺

:變換只能反映采樣點的信號,

不能反映采樣點之間的行為。

0T2T3T4T5T6F,4

322z變換的基本定理

1.線性定理幻/⑺+區(qū)(f)]=〃4⑴+bF2(z)

2.實位移定理(時移定理)

向前差分

(1)右位移(延遲)定理相當于拉

和向后差

式變換中

n分的Z變換

Z[f(t-T)]=z-F(z)的微分和

n將用到此

積分定理

(2)左位移(超前)定理定理

//—1

Z"(f+〃T)]=Z〃尸(z)—Z/(AT)zT

Ar=O

3.復(fù)域位移定理Z[?”/⑺]=F(ze±aT)

15

4.初值定理

若存在極限lim尸仁)，則有：/(O)=lim/(1)

Z—>00i―>00

證明：

尸⑶=￡/(1)「=/(o)+/(T)z-1+f(2T)z-2+…

后=0

當Z趨于無窮時，兩邊取極限，7.00,7-1.0

上式成立。

利用初值定理檢查z變換的結(jié)果是否有錯很方便。

16

5.終值定理

假定函數(shù)F(z)全部極點均在z平面的單位圓內(nèi)

或最多有一個極點在：=1處，則

limf(kT)=lim(l-z-1)F(z)=lim(z-l)F(z)

k—gz->lz->l

應(yīng)用終值定理可以方便分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

17

終值定理成立的條件:

（1一1）尸⑶在單位圓上和圓外沒有極點。

4?J

當Af8,應(yīng)有/(A)=2"f8

不滿足條件而強行采用終值定理公式隹

結(jié)果如下：

W吟（一尸金=062

18

3.2.3求z變換及反變換方法

1.二變換方法

(1)級數(shù)求和法(根據(jù)定義)

例3-6求指數(shù)函數(shù)/（，）=/的;變換

O0

/（/）=Xe-kT8（t-kT）=—T）+D（，-27）+…

k=Q

尸（二）=S/（kT）：k=1+?-，-1+?-2?一2+...

條件:<11

19

（2）方（s）的z變換

（1反變換）f（八（采樣）

尸（S）”了「?/（'）空紅尸（Z）

利用S域中的部分分式展開：

例3.7試求的湮換。

1--1-------1-------------

解:/⑸二叮⑺"

S(S+I)SS+1一＞占"j'

式1-e")

/⑶=Z[Rs—'六一

(z-l)(z-e-r)

另一種由尸⑸求取尸⑶的方法是留數(shù)計算方法。大綱不要求

利用MATLAB軟件中的符號語言工具箱：

§+2

已知尸(§)二—總F，通過部分分式展開法求「⑴。

s($+l)(s+3)

就二

運行結(jié)果

F=sym(,(s+2)/(s*(s+l)A2*(s+3))f)；

R=

%傳遞函數(shù)F⑸進行符號定義0.0833

方提取分子分母-0.7500

[numFzdenF]=numden(F)；

pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項式-0.5000

0.6667

pdenF=sym2poly(denF)；眺將分子轉(zhuǎn)化為一般多項式P=

干[R,P,K]=residue(pmjmF,pdenF)%)部分分式展開-3.0000

￡__________________________________i-1.0000

對應(yīng)部分分式分解結(jié)果為：-1.0000

0

F(s)=0.0833———0.7500—--0.5000―^+0,6667^K=

s+3s+1(§+1)，s[]

F(z)=0.0833—^---0.7500—^---0.5000—^--+0.6667—

21

(3)利用z變換定理求取z變換式

，―…ZsincoT

例3-8：已知/⑺=§iud的z變換-)X-T+i

試求fi⑴=?一"sincot的二變換。

解：利用［變換中的復(fù)位移定理可以很容易得到

彳…sinCDT二____?飛也如____

Z|_CsinG)t\——;一~萬~__22“一°丁mamT4-?？诠?/p>

z'e-2zecos勿丁+1&//cos?/+c

復(fù)域位移定理

Z[e^f(t)]=F(ze±aT)

22

（4）查表法

?實際應(yīng)用時可能遇到各種復(fù)雜函數(shù)，不可能

采用上述方法進行推導計算。實際上，前人

已通過各種方法針對常用函數(shù)進行了計算，

求出了相應(yīng)的尸⑴并列出了表格，工程人員應(yīng)

用時，根據(jù)已知函數(shù)直接查表即可。具體表

格見附錄A。

/⑺部分分式,力⑺查表,耳求唐一.⑴

尸（S）部今但?丹（S）查表,耳（Z）求知一尸⑴

23

部分分式展開法——查表法

尸（S）=9=%s〃'…+鬣

N（s）S〃+〃]S"-1+..?%§+%

1.當力⑸=0無重根時

"、）=?+裊+…+三+…+三q=（-，）.「⑸

2.當4s)=0有重根時,設(shè)1為r階重根

cC「，=（?$）尸⑸L

尸(s)=——二一十——仁—+…

(―(f)T

=￡[($—)]

C

上▲十一+―?

+4+$

S—§]s—

r+l專務(wù)（一門⑸]

505]

24

2.z反變換方法

⑴查表法、部分分式法

一⑴一部分分變.Z6⑶空衛(wèi)/⑺-^5^八）

—尸⑴—=—4—-F—4^―+…+4,

（）分子上往W，____ww，■w

Fz&4>-J?-《2,一&“

往有Z,為了對

應(yīng)查表方便。二L2.…，〃

-可以直接查表

F口（z/）、=—蟲3—+—4%—+???+―4]?

"，e'，W

G2].A>~2X>

I查表

/（叮）=4噂+4噌+…+4"=尤4/

i=i

811

/"（'）=Z（Z4Z*-u）

k=0Z=1

例3?9求z反變換尸(:)=三拿T暮2

一MATLAB程序:、

Fz=sym(/(-3*z人2+z)/(z人2?2*z+l)，)；加進彳亍符號定義

F=Fz/'zf；

%提取分子分母

[numFzdenF]=numden(F)；結(jié)果

pnumF=sym2poly(numF)；%)將分母轉(zhuǎn)化為一般多項式R=

pdenF=sym2poly(denF)；-3

c部分分式展開

q[RzPzK]=residue(pnumFzpdenF)Vb-2

0

尸⑶-3—_-_2__—___0____—(―2—3____P_=

zZ-1(z-I)2z—0(z-1)2z—11

1

查表可得0

f(k)--2k-3u(k)K=

[]

26

⑶累級數(shù)展開法（長除法）

尸(G=/(0)+/(r)z-1+/QT)[2+…+f(kT)z-k+…

f⑺=/((W)+/(7W-T)+/(2T)5(f-2T)+…+/(4)6("⑺+…

10尸*

例3-10已知尸⑶I」一二一2，求f⑴

1卜'+IS:：+17.^+18.75-'-…F(z)=IO—+15：2+175j3+18.75：T+…

TW+0,52^^廠

T1Dt:-15葭一血、f(t)=0+105(，-T)+155("2T)

15-—5只

+17.56(7—3T)+18.756(，—4T)+…

-恤—3

心-一工

對該例，從相關(guān)系數(shù)中可以歸納得：

一)1-5『|一26.25丁+8.75：-

18.75^-8.75?QD

/*(1)=工20(1-0.5%)5(，-kT)

27

324差分方程z變換解法

28

3.2.4差分方程N變換解法

利用及換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)

換為代數(shù)方程的求解

例3-11用;變換法求差分方程c(k+2)-3c(k+l)+2c(k)=4^

解：(1)對每一項做z變換-—+

7—■

(Z2-3：+2)C(-)-“(1)-z%(0)+3.(0)=z/(Z-4)

左位移(超前)定理

/z-1

Z[/(r+nT)]=zwF(z)-Yf(kT^~k

k=0

29

假設(shè)初始條件為零，上式第2項為零

(3)z反變換

部分分式展開得到

0.166-0.5二_0.33二

C(5)=

z-42—2z-1

查表可得

c(/c)=(0.166(4/-0.5(2/+0.333)

30

差分方程的解法一Z變換法

例：x(A+2)—3x(R+l)+2x(A)=0,x(0)=0,x(l)=1

求x(i)=?

解:由x(A+2)->z2X(z)-z2x(0)-zX(l)=z2X(z)-z

kt工+1)tzX(z)-^x(O)=zX(z)

x(k)tX(z)

得：z2X(z)-z-3次⑴+2X(z)=o

(Z2-3Z+2)X(Z)=Z

???X(z)=———=--------—

Z-3z+2z—2z-1

由z—>A：查表,

X(ZT)=2A^-1,A=(U2

令曰IT31

差分方程的解法一Z變換法

例：c(k+1)—bc(k)=r(A),c(0)=。，r(k)=a

求c(k)=?

解：由c(A+l)->工C(l)一ZC(O)=NC⑴

2工C(Q一0⑴

得:

zC(z)-6C(z)=

a

―。遙￥2~

〃)仁-切

.?(3)=(?az-b

由1->R：查表，c(k)=h"+h2bA40.12

令片kT

需要檢驗初始條件：A=0』時是否滿足給定的初始條件

32

可以得出解析解，解法與連續(xù)微分方程對應(yīng)億與上“變換）。

3.3脈沖傳遞函數(shù)

33

3.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義

定義：在初始條件為零時,輸出量及換

離散系統(tǒng)脈(零初始條件)

沖傳遞函數(shù)

輸入量Z變換

所謂零初始條件，是指在，＜°時，輸入脈沖序列各采樣值

N—T)/(—2T),…以及輸出脈沖序列各采樣值c(—T),c(—27),…均為

零。

輸出的采樣信號：c\/)=Z1[C(z)]=Z-1[G(z)l?(z)]

34

若r(，)=5(，),c()=g()R（Z）C(z)

7（7）c'(f)

R(Z)=Z[3(t)]=l

C(z)=G(z)R(z)

r(t)Tr⑺

麗/G(s)

=G(z)=Z[g*⑺]R⑺c⑺.C(s)

(b)

圖3-6脈沖傳遞函數(shù)

實際上許多采樣系統(tǒng)輸出是連續(xù)信號，而不是采樣信號，如圖（b）所示。

在這種情況下為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可以在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個

開關(guān)，如圖中虛線所示，并且它與輸入采樣開關(guān)同步工作，具有相同的采

樣周期。必須指出，虛設(shè)的采樣開關(guān)是不存在的，它只表明了脈沖傳遞函

數(shù)所能描述的是輸出連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的離散值。

35

332脈沖傳遞函數(shù)特性

1.G(z)的求取如何由G(s)求G(N)

(1)對G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng)

(2)對g⑺采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)

8

g*8=Zg(kT)5(t-kT)

(3)對g*⑺做■換，得系統(tǒng)的脈沖傳函2

K(S]K(2)_____

G(1)=Z[g*(f)]=Xg(AT)：f

圖3?6脈沖傳遞函數(shù)

幾種表示法：G(z)=Z[g*⑺]=Z[g{t)]=Z[G(s)]

脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性,

并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號無關(guān)。

R(z)C(z)

VT*G⑶

，?(/)c(t)

⑶

G(z)的特點G(力

c'(/),的

「一

rr\t)

%)I/,

砥)/"麗

o從采樣開關(guān)到采樣開關(guān)dt),C(s)

(b)

圖3?6脈沖傳遞函數(shù)

脈沖響/卜1八,、

應(yīng)函數(shù)h(t)—G⑸三"G(%)

=ew

離散脈沖[*/八z["G(eJO)T)

響應(yīng)函數(shù)"AG(Z)

37

G(Z)的物理可實現(xiàn)條件

而〃，+卬〃，-】+…十九

G(Z)=n>ni,可實現(xiàn)條件

Z"+"I?”1H------F%

例：假設(shè)6匕)=工@=:

Y(z)=z/^(z)

r(t)=3(t),R(z)=1o=>Y(z)=Z,y(/)=8(t+T)

輸出信號出現(xiàn)在輸入信號之前,

非因果的.物理上不存在。38

2.脈沖傳遞函數(shù)的極點與零點

?:?極點

》當G(：)是G(s)由通過工變換得到時，其極點按『e"關(guān)系一

一映射得到。

"G(Q的極點位置與G⑸的極點有關(guān)

“還與■切相關(guān)。了30時，極點密集映射在尸1附近。

?:?零點

>G(。的零點是r的復(fù)雜函數(shù)。采樣會增加額外的零點。

k若G(s)沒有不穩(wěn)定的零點，且極點數(shù)與零點數(shù)之差大于2

,當采樣周期較小時，G⑥總會出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點，變

成非最小相位系統(tǒng)C

》有不穩(wěn)定零點的連續(xù)系統(tǒng)G(s),只要T取得合適，離散后

也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點的G?)。

39

3.3.3差分方程與脈沖傳遞函數(shù)

1.由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)

差分方程

c(k)+a-1)4-a2c(k—2)++a”c(k-n)

=4r(斤)+bj(k-l)d----bbtir(k一〃z)z

變

c(k)+￡a.c(k-i)=^b.r(k-j)換

i=l/=0i

nmk沖傳遞函數(shù)

零初始條件：c⑴⑴=2%一，/?已)

/=i>o

fn

C(z)

系統(tǒng)輸出

G(z)=C(二)=G(二次(二)=上^-------△(二)

R(D

1+￡年7

z=0

n

△（二）=i+?1'為該系統(tǒng)的特征多項式40

2.由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程

C(r)_

G（二）二/=o

n

H⑶1+5＞廠

i=0

〃7〃

。(2)+工4/一'。(2)=工方產(chǎn)一，H(Z)

z=l_j=0

-Z反變換在計算機控制系

V統(tǒng)控制軟件編程

〃in

實現(xiàn)時，由脈沖

c(k)+工qc(k-i)=￡bj(k-j)傳遞函數(shù)求差分

/=ij=o方程是很重要的。

41

3-8已知以卜離散系統(tǒng)的差分方程，求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

（1）c（左）+0.5c（n—1）—c（片一2）+0.5c（上一3）=4rg—r（k-2）-06?（左-3）；

解：

（1）對差分方程進行z變換，得

（1+0.5二T一二一2+0.5二-3）c（二）=（4一二-2—0.6二一3）氏（二）

C（二）（4一二二—OF二一3）

G（二）二

R（二）一（1+0.5二一1-二一2+0.5二一3）

42

3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析

43

3.4.1開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(從采樣開關(guān)到采樣開關(guān))

1.采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式

R(s)"""C(s)

R(s)并不是所有結(jié)構(gòu)

都能寫出環(huán)節(jié)的

_離____散____脈__沖傳函。6

<\

G(G?

<J

圖(a)—連續(xù)輸入與連續(xù)輸出C(s)=G(s)&(s)

圖(b)—連續(xù)輸入與采樣輸出

C*(s)=[G(s)K(s)]*即C(z)=Z[G(s)&s)]=GK(z)3c

圖(c)—采樣輸入與采樣輸出c(z)=G(z)7?(z)

圖(d)一采樣輸入與連續(xù)輸出C(s)=G(s)R*(s)加虛好癡3

2.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

在求取離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時，如果系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)相串聯(lián),

則采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。

1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時

C(Z)=G2(N/(N)K(Z)

=G(z)R(z)

俳)=黑=&(加2(二)

由理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)

節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。這一結(jié)論，可以推廣到個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時的情形。

45

2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時

沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩

個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的相應(yīng)變換。這一結(jié)論也可以推廣到個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時的

情形。

46

注意：⑴WGG⑴

例:G1($)=，，G2(S)=—

2

G1(Z)G2(Z)=Z-Z

s(z-D(z-er)

1(1Q)Z

Z[G⑸G2(S)]=Z

s(s+l)(Z-l)(Z-eT)

故有：G^G^z^GfiSz)

兩者結(jié)果不同，但它們的極點相同，僅零點不同。

47

3）有零階保持器時

7G(s)

G(z)=Z[(l-e-sT)-^-~]

s

G,(s)TG〃(s)

-e-sT

=ss

,G〃(s)

二(l-z—i)Z[^^]

s

48

3.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

⑶

3-9

根據(jù)Z變換的線性疊加定理：

CL）

G（z）=/=G（n+Ga）

A（Z）-

=Z[Gy(s)]+Z[G2(S)]

49

342閉環(huán)反饋系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

1.獨立環(huán)節(jié)：在計算機控制系統(tǒng)里，兩個相鄰采樣開關(guān)之間

的環(huán)節(jié)（不管其中有幾個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)或并聯(lián)）只稱為1

個獨立環(huán)節(jié)。

2.若閉環(huán)系統(tǒng)輸入信號未被采樣，則整個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳

遞函數(shù)將寫不出來，只能寫出輸出信號z變換表達式。

3.若誤差信號被采樣，則認為輸入、輸出信號都有采樣信號

即e*（，）=r*-c*（/）

50

由于在閉環(huán)系統(tǒng)中采樣器有多種配置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖形式叁不惟一。

下圖是一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖中，虛線所示的理想

采樣開關(guān)是為了便于分析而設(shè)的，所有理想采樣開關(guān)都同步工作，采樣周期

為。T

J---CT「-CT

“研-4)/2E⑦r—T1;匕

—1—cro--------------0-G(S)H------------------

海B⑦

—a(>-?*-

b(t)----------

-------------------H(s)-------------------

根據(jù)結(jié)構(gòu)圖以及脈沖傳遞函數(shù)的定義，可建立如下方程組:

'C(z)=G(z)E(z)該閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

C(z)=G(z)

<￡(z)=E(z)_5(z)①(z)=

R(z)—l+GH(z)

B(z)=GH(z)E(z)51

閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)

E(z)=1

①eQ)R(z)~l+GH(z)

與連續(xù)系統(tǒng)相類似，令①⑶或②⑶的分母多項式為零，便可得到閉環(huán)

離散系統(tǒng)的特征方程：

D(z)=1+GH(z)=0

需要注意的是，如果誤差信號處沒有采樣開關(guān)，則不能求出閉環(huán)離散系

統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C(z)o

52

一般規(guī)律:

前向通道所有獨立環(huán)節(jié)Z變換的乘積

1+閉環(huán)回路中所有獨立環(huán)節(jié)Z變換的乘積

(1)輸入火⑸也作為一個連續(xù)環(huán)節(jié)看待。

(2)若A⑴存在，則可寫出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳

遞函數(shù)；否則寫不出來，只能寫出輸出信號z

變換表達式。

53

(2)H59(2)5+I(2)y

H(2)0

(2)50(2)51^55

(f9629+

1HG)D

(2)69(2)b

(2)7(2)59(2)5H(2)D

G)HWS(2)$+I、，

G)y乂右

(2)R(2)H$E(2)T9—(2)YH(2)R

QWEg

WETl\\L^

±S5TS&

一

一

」G54

(l?5---01，囤

反饋通道有采樣開關(guān)

fF（s）」Yz）

y(z)=G(z)E(z)

￡（z）=^（Z）-F（Z）F（Z）=K（Z）-）（Z）G（Z）E（Z）

G(z)n,、

￡(z)=輸出：F⑴=1+F(：)G5⑴

l+F(z)G(z)

55

試用C（二）表示題圖3-10所列系統(tǒng)的輸出,指出哪些系統(tǒng)可以寫出輸出對輸入的脈沖

傳遞函數(shù)，哪些不能寫出。

56

解：

（a）不能,。（二）=KG（二）:

（b）能（輸出加虛擬開關(guān)），■（二）=&二）G（二）:

⑹能（輸出加虛擬開關(guān)），c（二）二」（二）G，）；

1+GH（二）

火G（二）

（d）不能,C（二）二

1+GH（二）

H（二）GU）

（e）能,

1+G（二）“（二）

火5（二）G式二）

⑴不能,C（二）二

l+GRGO

57

343CCS的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

1.數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)

口控制算法，通常有以下兩種形式：

?:?差分方程（:變換法）脈沖傳遞函數(shù)刀⑶

?:?連續(xù)傳遞函數(shù)與⑸脈沖傳遞函數(shù)0⑴

58

2.連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)

2計算機輸出的控制指令?、耸墙?jīng)過零階保持器加到系統(tǒng)的

被控對象上的，因此系統(tǒng)的連續(xù)部分由零階保持器和被控

對象組成。

u(k}U(z)i~~1

——-------G°(s)-^C(s)\

T|~：——-------

Go⑸-------------------------------J

圖3T1連續(xù)部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

被控對象C(Z)—-"心"1「1

傳遞函數(shù)。⑸

G（：）==z---------G=(1Y)Z-G0(s)

k_________JU⑶ss

59

3.閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取

例3-12求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，已知7=1秒。

-1

加)=Z[D(s)]二—

1I—eA』1I一

G(：)=aG0(：)=Z=(—

ss+1_s(s+l)」(l-e-Tz)

①(-)_「&)_刀1)30。?)

“R(z)l+)(z)G“Go(n

利用Matlab相應(yīng)命令進行Z變換

口MATLAB命令：?

num=[l];―--------------