首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽參考資料

首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽

參考資料

（高中數(shù)學(xué)部分）

第一部分解題技能競(jìng)賽大綱

第二部分解題技能競(jìng)賽試題樣題

第三部分?jǐn)?shù)學(xué)建模論文示范論文

全國(guó)組委會(huì)編

首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽

數(shù)學(xué)學(xué)科筆試部分競(jìng)賽大綱（2008年試驗(yàn)稿）

為了提高廣大青少年走進(jìn)科學(xué)、熱愛科學(xué)的興趣，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新型人才，團(tuán)

中央中國(guó)青少年發(fā)展服務(wù)中心、全國(guó)“青少年走進(jìn)科學(xué)世界”科普活動(dòng)指導(dǎo)委員會(huì)

辦公室共同舉辦首屆“全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽”（以下簡(jiǎn)稱“競(jìng)賽”）。競(jìng)賽

由北京師范大學(xué)《高中數(shù)理化》雜志社承辦。為保證競(jìng)賽活動(dòng)公平、公正、有序地

進(jìn)行，現(xiàn)將數(shù)學(xué)學(xué)科筆試部分競(jìng)賽大綱頒布如下：

1命題指導(dǎo)思想和要求

根據(jù)教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課

程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，著重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、科學(xué)素養(yǎng)和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

分析問題、解決問題力及創(chuàng)新能力。命題吸收各地高考和中考的成功經(jīng)驗(yàn)，以能力

測(cè)試為主導(dǎo)，體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)能力的要求，注意數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的豐富的思維素

材，強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系；注重考查數(shù)學(xué)的通法通則，注重考查數(shù)學(xué)思想和方

法。激發(fā)學(xué)生學(xué)科學(xué)的興趣，培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新能力，促進(jìn)新課程標(biāo)

準(zhǔn)提出的“知識(shí)與技能”、“過程與方法”、“情感與價(jià)值觀”三維目標(biāo)的落實(shí)。總體

難度把握上，要追求“源于教材，高于教材.，略高于高考”的原則。并提出以下三

個(gè)層面上的命題要求：

1）從宏觀上看：注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)的全面考查，注意對(duì)數(shù)學(xué)基本能力（空

間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力）的考查，注意對(duì)

數(shù)學(xué)思想和方法方面的考查，注意考查通則通法。

2）從中觀上看：注意各個(gè)主要知識(shí)塊的重點(diǎn)考查，注意對(duì)主要數(shù)學(xué)思維方法

的考查。

3）從微觀上看：注意每個(gè)題目的基礎(chǔ)性（知識(shí)點(diǎn)）、技能性（能力點(diǎn)）、能力

性（五大基本能力為主）和思想性（四種思想為主），注意考查大的知識(shí)塊中的重點(diǎn)

內(nèi)容（如：代數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性），注意從各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的交

匯命題，注意每個(gè)題目的通則通法使用的同時(shí)也適度引進(jìn)必要的特技，注意題目編

擬中一些題目的結(jié)構(gòu)特征對(duì)思路形成的影響。

2命題范圍

依據(jù)教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課

程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，初賽和決賽所考查的知識(shí)點(diǎn)范圍，不超出相關(guān)年級(jí)在相應(yīng)的時(shí)間

段內(nèi)的普遍教學(xué)進(jìn)度。另外要明確初二年級(jí)以上開始，每個(gè)年級(jí)的命題范圍包含下

年級(jí)的所有的內(nèi)容。比如：高一的命題范圍包括初中所有內(nèi)容和高中階段所學(xué)的內(nèi)

容。

3考試形式

初一、初二、初三、高一、高二組：閉卷，筆答?？荚嚂r(shí)間為120分鐘，試

卷滿分為120分。

4試卷結(jié)構(gòu)

全卷選擇題6題，非選擇題9題（填空6題、解答題3題）

5難度系數(shù)

1）初賽試卷的難度系數(shù)控制在0.6左右；

2）決賽試卷的難度系數(shù)控制在0.5左右。

高中一年級(jí)樣題

-選擇題(每小題5分，共30分)

1.已知/(2*-2-*)=4*+4-」,則〃x)=(B)

(A)4"+4-”(B)12+2(C)X2-2(D)x2

2.已知A={x\f(x)=x2+l},B={/(x)|/(x)=x2+\},C={f[f(x)]\f(x)=x2+l},貝U下

列結(jié)論正確的是(D)

(A)A=B=C(B)A^B=C(C)A^B=C(D)A383c

3.設(shè)則在四個(gè)數(shù)2,logab,logb&,logab。2中，最大的和最小的分別是(A)

22

(A)2,logi,a(B)2,log(C)logft,log"(D)loglogai,a

令〃=2/=3,則

2

log,,b=log23G(1,2),10gzla=log32=log94e(0,1),log而a=log64>log94

故選A

4.如果關(guān)于x的方程+3=0至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(C)

(A)[-2,2](B)(V3,2](C)(-73,2](D)[-73,2]

A=a2-4(a2-3)>0,

,[a>0

由a~-3<0,或《，或<?>0,解得，ae(-V3,2],故選C

a2-3=0

a~—3>0,

5.不等式J1+唾2X>1-log2X的解是(B)

(A)x>2(B)x>1(C)1<x<8(D)x>2

1-log2%>0l-log2x<0

71+log2x>l-log2

2

l+log2x>(l-log2x)1+log2x>0

<=>0<log2x<1,或log2x>1,故選B

6.已知y=/(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，則(D)

(A)函數(shù)x=/T(y)與y=/(x)的圖象關(guān)于直線丁=%對(duì)稱

(B)函數(shù)“7)與/(/)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(C)和/(x)的單調(diào)性相反

(D)函數(shù)1)和廣(犬)-1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

二填空題(每小題5分，共30分)

7.已知不等式(，)/j>47的解集是(-2,4),那么實(shí)數(shù)。的值是§。

2

8.已知函數(shù)y=lg(根X2-4X+%-3)的值域是R,則m的取值范圍是[0,41。

fm>0

機(jī)=0,或4,解得0WW4

△=16—4m(m-3)>0

9.如果函數(shù)/(x)=ax2+bx+c,xe[2a-3,是偶函數(shù)，則0=-3或1,b=0,

10.多項(xiàng)式6x2-5xy+y2-12x+2y-48因式分解的結(jié)果是(2x-y-8)(3%-y+6)。

提示：十字相乘法

3

11.若方程4x+3|-x=a有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則.=-1或一a。

提示：圖象法

12.函數(shù)y=J772-衣萬的最大值是近。

_______3

提示：y=Jx+2-Jx-1=]...——I----

<x+2+'x—1

三解答題

13(本小題滿分20分)

已知a>0,aw1,試求使方程log(x-ak)-log(x2-a2)有解的k的取值范圍.

aa2

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解X應(yīng)滿足

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<x-ak>0,(2)

x2-a2>0.(3)

當(dāng)(1),(2)同時(shí)成立時(shí)，(3)顯然成立，因此只需解

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<

x-ak>0,(2)

由(1)得2kx=a(l+k2)(4)

當(dāng)k=0時(shí)，由a>0知(4)無解，因而原方程無解.

當(dāng)kWO時(shí)，(4)的解是

22

X=?+k).(5),把(5)代入(2),得Vj〉k.

2k2k

解得：-8<k<-l或0<k<l.

綜合得，當(dāng)k在集合(-00,-1)2(0,1)內(nèi)取值時(shí)，原方程有解.

14(本小題滿分20分)

已知A=/+/1臺(tái)｝,且x,ycA

(1)若B=Z,求證：孫wA

(2)若5=。，且ywO,求證：

x

(1)證明：因?yàn)?=Z,且x,y￡A,

所以可設(shè)X=m2+〃2,y=p2+q2,其中檢小p,q￡Z

因?yàn)閤y=(m2+〃2)(P2+/)=(mP)2+(〃咐)2+("〃)2+。應(yīng))2=(mp+nq)2+(np-mq)2

而m,n,p,qeZ=(mp+nq)9(np-mq)GZ

所以孫EA

(2)證明：因?yàn)?=Q,且

所以可設(shè)x=m?+〃2,y=p?+q2,其中m,凡〃,4￡。

因?yàn)?/p>

222

x_xy_(/77+〃2)(//+q，_(mp+nq)+(np-mq)_mp+nq2jp-mq2

yy(p(p+如)p，qp~+q

e八(mp+nq、,np-mq、八

而m,幾，p,qeQn(「--r)X---r)e2

P+q~P+如

所以上wA

x

15(本小題滿分20分)

已知點(diǎn)M是A48c的中線AD上的一點(diǎn)，直線BM交邊AC于點(diǎn)

N,且A3是\NBC的外接圓的切線，設(shè)—=/1,試求也(用4表示).

BNMN

N

B

DC

NACD,

證明：在ABCN中，由Menelaus定理得"乙------=1

MNACDB

因?yàn)锽D=DC,所以也=如

MNAN

ABCB

由知nl

ZABN=ZACB,AA8NsAACB,貝|J——二而

所以,

因此,

高中二年級(jí)樣題

-選擇題(每小題5分，共30分)

1.已知A={x|/(x)=X2+1},B={/(X)|/(X)=X2+1},C=[f[f(x)]\f(x)=/+1},則下

列結(jié)論正確的是(D)

(A)A=B=C(B)A^B=C(C)A^B=C(D)A^B^C

2

2.設(shè)1<a<b<a,則在四個(gè)數(shù)2,logaZ?,log^a,log/1中,最大的和最小的分別是(A)

(A)2,logha(B)2,log”方〃2(C)log,/,log/,。(D)log。/?,log。/,/

令〃=21=3,則

2

log.b=log23e(1,2),10gzia=log32=log94e(0,1),log^a=log64>log94

故選A

3.圓/+(y_l)2=l上任意一點(diǎn)PQ,y)都滿足x+y+c",則C的取值范圍是(C)

(A)(-00,0](B)[V2,+8)(C)[V2-1,+00)(D)[I-V2,-Foo)

4.不等式Jl+log?x>1—log2x的解是(B)

(A)x>2(B)x>1(C)l<x<8(D)x>2

1-log2x>0l-log2x<0

71+log2x>l-log2x?

2

l+log2x>(l-log2x)1+log2x>0

0<log2x<1,或logz^Al,故選B

5.棱長(zhǎng)為2百的正四面體內(nèi)切一球，然后在它四個(gè)頂點(diǎn)的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些的

最大半徑為（C）

(A)V2

如果正四面體的棱長(zhǎng)為a,則根據(jù)正四面體的性質(zhì)和球的性質(zhì)可計(jì)算出正四面體的內(nèi)切球半徑

為（正四面體的內(nèi)切球的球心將高四等分），后放入小球是一個(gè)新正四面體的內(nèi)切球，且

12

新正四面體的高為原正四面體的高減去其內(nèi)切球的直徑，所以新正四面體的高為

=—a,進(jìn)而得到所求球的半徑為，xY9x2行=山

6464

6.函數(shù)二2x110的最小值是(D)

(A)2石(B)2&(C)V17(D)V26

y=&+4+A/X2-2X+10=J(x-0)2+(0+2)2+7(x-l)2+(0-3)2>7(1-0)2+(3+2)2

二填空題(每小題5分，共30分)

7.已知函數(shù)y=Y-2x—3,當(dāng)xw[—2,a)時(shí)的值域是[―4,5],則ae「1,4]。

F

8.函數(shù)y=——*<1)的最大值是_0_。

x-1

廠X-—14_11____

y=---=--------=X-1H------F2<-2+2=0

X—1X—1X—1

9.已知數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式是〃“="=I,b,,=―-—(n=l,2,3,…)，則數(shù)列｛/，“｝

區(qū),+%

的前”項(xiàng)和S“=’2向—1一1

b〃=-------=~-f==h'+i_i-

a?+an+lJ2"-1+

所以S“=12向一1一1

3

10.若方程|”-4x+3|-x=a有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a=T或—彳。

11.已知直線(的方向向量是￡=(—1,〃?+〃)，直線4的斜率是〃/+1，

■JT

直線4斜率是〃2-m+―。其中根,〃都可取任何實(shí)數(shù)，則三條直線中傾斜角為鈍角的條數(shù)的最

32

大值是2。

因?yàn)槿龡l直線的斜率之和

=一(〃z+〃)+(〃/-n+l)+(n2—m+—)=(/n-1)2+(H-I)2+--1>0

所以至多有兩條直線的斜率小于零。

12.給出下列5個(gè)命題：

2

Ji_x

(1)函數(shù)/(x)=1：是奇函數(shù);

x+2—2

(2)函數(shù)/(x-a)與/'(a-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

(3)函數(shù)/(X)與/(x+1)的值域一定相等，但定義域不同；

(4)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象若有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線y=x上;

(5)若函數(shù)/(x)存在反函數(shù)，則在其定義域內(nèi)一定單調(diào)

其中正確命題的題號(hào)是(1)>(4)_

三解答題

13(本小題滿分20分)

定義在(-00,+00)上的減函數(shù)/(X)也是奇函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)X,

不等式/[(wt+2)sinx+2cos2x]+f(-sinxcos2x-sin2x-2〃?)<0恒成立。

求實(shí)數(shù)〃？的取值范圍。

分析:根據(jù)題設(shè)，可以將f[(m+2)sinx+2cos2x]+/(-sinxcos2x-sin2x-2m)<0等價(jià)

轉(zhuǎn)化為可分離參數(shù)的不等式形式。

解：因?yàn)?(x)是奇函數(shù)

所以不等式可化為f[(m+2)sinx+2cos2x]</(sinxcos2x+sin2x+2m)

又因?yàn)?(x)在(-oo,+oo)上是減函數(shù)

不等式可進(jìn)一步化為(〃?+2)sinx+2cos2x>sinxcos2x+sin2x+2m

BP(2-sinx)m<(2-sinx)(cos2x+sinx)

因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x,都有-lAsinxWl,所以2-sinx>0

進(jìn)而得到<cos2x+sinx

21,9

令y=cos2x+sinx,貝lly=l-2sirrx+sinx=-2(sinx-w)-+—

而一IVsinxWl,所以當(dāng)sinx=-l時(shí)，ymin=-2

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是m<-2

14(本小題滿分20分)

已知A={r+$2e臺(tái)},且x,yeA

(1)若B=Z,求證：xyE：A

(2)若B=Q,且ywO,求證：—EA

x

(1)證明：因?yàn)锽=Z,且x,ywA,

所以可設(shè)X=〃?2+〃2,y=p2+/,其中私凡p,qEZ

因?yàn)閤y=(7??2+〃2)(p2+')=("ip)2+(mq)2+(np)2+(ncj)2=(mp+nq)2+(np-mq#

而m,n,p,qeZ=>(mp+nq),(np-mq)eZ

所以孫eA

(2)證明：因?yàn)锽=Q,且x,ywA,

所以可設(shè)X=〃?2+〃2,y=p2+g2,其中私小p,4￡。

因?yàn)?/p>

x_xy_(m2+〃r)(p2+q2)_(mp+nq)2+(np-mq￥_mp+nq2,np-mq)

丁丁=(p2+/)2=(7TW=(7^r+(7wr

工八/inp+nq、Rp—mq、_

而"4PM?。=>(「一r),(——T)W。

p+q，+q

所以上eA

x

15(本小題滿分20分)

已知點(diǎn)M是\ABC的中線AO上的一點(diǎn)，直線BM交邊AC于點(diǎn)

N,且A8是\NBC的外接圓的切線，設(shè)09=4,試求也(用/I表示).

BNMN

證明：在ABCN中，由Menelaus定理得§絲?絲-C2=1.

MNACDB

因?yàn)锽D=DC,所以也=生

MNAN

……ABACCB

由NABN=NACB,知AABNSAACBnl.則---=----=----

ANABBN

22

CBACBC

所以，—即

ANAB~BN~AN~BN

2

BMBCBCBM

m因此，----.又2,故

MN~BNBNMN

高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新小論文要求及范文

一、論文形式：科學(xué)論文

科學(xué)論文是對(duì)某??課題進(jìn)行探討、研究，表述新的科學(xué)研究成果或創(chuàng)見的文

早。

注意：它不是感想，也不是調(diào)查報(bào)告。

二、論文選題：新穎，有意義，力所能及

要求：

1.有背景.

應(yīng)用問題要來源于學(xué)生生活及其周圍世界的真實(shí)問題，要有具體的對(duì)象和真

實(shí)的數(shù)據(jù)。理論問題要了解問題的研究現(xiàn)狀及其理論價(jià)值。要做必要的學(xué)術(shù)

調(diào)研和研究特色。

2.有價(jià)值.

有一定的應(yīng)用價(jià)值，或理論價(jià)值，或教育價(jià)值，學(xué)生通過課題的研究可以掌

握必須的科學(xué)概念，提升科學(xué)研究的能力。

3.有基礎(chǔ)

對(duì)所研究問題的背景有一定了解，掌握一定量的參考文獻(xiàn)，積累了一些解決

問題的方法，所研究問題的數(shù)據(jù)資料是能夠獲得的。

4.有特色

思路創(chuàng)新，有別于傳統(tǒng)研究的新思路；

方法創(chuàng)新，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)，對(duì)傳統(tǒng)方法的改進(jìn)和創(chuàng)新；

結(jié)果創(chuàng)新，要有新的，更深層次的結(jié)果。

5.問題可行

適合學(xué)生自己探究并能夠完成，要有學(xué)生的特色，所用知識(shí)應(yīng)該不超過初中

生（高中生）的能力范圍。

三、（數(shù)學(xué)應(yīng)用問題）數(shù)據(jù)資料：來源可靠，引用合理，目標(biāo)明確

要求:

1.數(shù)據(jù)真實(shí)可靠，不是編的數(shù)學(xué)題目；

2.數(shù)據(jù)分析合理，采用分析方法得當(dāng)。

四、（數(shù)學(xué)應(yīng)用問題）數(shù)學(xué)模型：通過抽象和化簡(jiǎn)，使用數(shù)學(xué)語言對(duì)實(shí)際問題

的一個(gè)近似描述，以便于人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。

要求：

1.抽象化簡(jiǎn)適中，太強(qiáng)，太弱都不好；

2.抽象出的數(shù)學(xué)問題，參數(shù)選擇源于實(shí)際，變量意義明確；

3.數(shù)學(xué)推理嚴(yán)格，計(jì)算準(zhǔn)確無誤，得出結(jié)論；

4.將所得結(jié)論回歸到實(shí)際中，進(jìn)行分析和檢驗(yàn)，最終解決問題，或者提出建設(shè)

性意見；

5.問題和方法的進(jìn)一步推廣和展望。

五、（數(shù)學(xué)理論問題）問題的研究現(xiàn)狀和研究意義：了解透徹

要求：

1.對(duì)問題了解足夠清楚，其中指導(dǎo)教師的作用不容忽視；

2.問題解答推理嚴(yán)禁，計(jì)算無誤；

3.突出研究的特色和價(jià)值。

六、論文格式：符合規(guī)范，內(nèi)容齊全，排版美觀

1.標(biāo)題：

是以最恰當(dāng)、最簡(jiǎn)明的詞語反映論文中主要內(nèi)容的邏輯組合。

要求：反映內(nèi)容準(zhǔn)確得體，外延內(nèi)涵恰如其分，用語凝練醒目。

2.摘要：

全文主要內(nèi)容的簡(jiǎn)短陳述。

要求：

1）摘要必須指明研究的主要內(nèi)容，使用的主要方法，得到的主要結(jié)論和成果;

2）摘要用語必須十分簡(jiǎn)練，內(nèi)容亦須充分概括。文字不能太長(zhǎng)，6000字以內(nèi)

的文章摘要一般不超過300字；

3）不要舉例，不要講過程，不用圖表，不做自我評(píng)價(jià)。

3.關(guān)鍵詞：文章中心內(nèi)容所涉及的重要的單詞，以便于信息檢索。

要求：數(shù)量不要多，以3-5各為宜，不要過于生僻。

4.正文

1）前言:

問題的背景：?jiǎn)栴}的來源；

提出問題：需要研究的內(nèi)容及其意義；

文獻(xiàn)綜述：國(guó)內(nèi)外有關(guān)研究現(xiàn)狀的回顧和存在的問題；

概括介紹論文的內(nèi)容，問題的結(jié)論和所使用的方法。

2）主體:

（數(shù)學(xué)應(yīng)用問題）數(shù)學(xué)模型的組建、分析、檢驗(yàn)和應(yīng)用等。

（數(shù)學(xué)理論問題）推理論證，得出結(jié)論等。

3）討論

解釋研究的結(jié)果，揭示研究的價(jià)值，指出應(yīng)用前景，提出研究的不足。

要求：

1）背景介紹清楚，問題提出自然；

2）思路清晰，涉及到得數(shù)據(jù)真是可靠，推理嚴(yán)密，計(jì)算無誤；

3）突出所研究問題的難點(diǎn)和意義。

5.參考文獻(xiàn)：

是在文章最后所列出的文獻(xiàn)目錄。他們是在論文研究過程中所參考引用的主

要文獻(xiàn)資料，是為了說明文中所引用的的論點(diǎn)、公式、數(shù)據(jù)的來源以表示對(duì)前

人成果的尊重和提供進(jìn)一步檢索的線索。

要求：

1）文獻(xiàn)目錄必須規(guī)范標(biāo)注；

2）文末所引的文獻(xiàn)都應(yīng)是論文中使用過的文獻(xiàn)，并且必須在正文中標(biāo)明。

示范小論文:

演出收入計(jì)稅的數(shù)學(xué)模型

［內(nèi)容提要］

本文運(yùn)用了Y=aX+b這一最基本的函數(shù)，通過建立數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)化

了比較復(fù)雜的演出收入計(jì)算個(gè)人所得稅的問題。

［關(guān)鍵詞］演出收入個(gè)人所得稅數(shù)學(xué)模型

問題的提出

我的表姐是一個(gè)演員，每次演出的收入較高，但是她總覺得繳納個(gè)

人所得稅的計(jì)稅方法太復(fù)雜，到底要繳多少稅，心里沒底。為了幫表姐

解決這個(gè)問題，我上網(wǎng)查證了計(jì)稅方法，詢問了稅務(wù)局的專家，通過分

析后發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用Y=ax+b這一最基本的函數(shù)，通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,

可以簡(jiǎn)化比較復(fù)雜的演出收入計(jì)算個(gè)人所得稅的問題。

一、由演出者繳稅的數(shù)學(xué)模型

(一)、稅法規(guī)定的數(shù)學(xué)模型

個(gè)人所得稅稅法規(guī)定，演出收入要在減去一定費(fèi)用，計(jì)算出應(yīng)納稅

所得額以后，再按規(guī)定稅率來計(jì)算應(yīng)納稅額。

假設(shè)：應(yīng)納稅額為Y元，總收入為M元，應(yīng)納稅所得額為X元，稅

率為Z。則丫=乂2。這個(gè)關(guān)系式中，有兩點(diǎn)需要說明：

1.這里的應(yīng)納稅所得額X,是在獲得的總收入M的基礎(chǔ)上扣除一定

費(fèi)用后的余額。稅法規(guī)定，費(fèi)用的扣除標(biāo)準(zhǔn)如下：

(1)當(dāng)MW4000時(shí)，費(fèi)用扣除額為800元，即乂=乂-800.

(2)當(dāng)M>4000時(shí),費(fèi)用扣除額為收入的20%,BPX=M-20%M=0.8M

2.這里的稅率Z規(guī)定如下表(見表1)

表1級(jí)數(shù)X(每次應(yīng)納稅所得額)Z（稅率%）演

出1不超過20000元(含)的部分20收

入

2超過20000元至50000元(含)的部分30個(gè)

人3超過50000元的部分40所

得稅

稅率表

該稅率表在稅法里有一個(gè)術(shù)語，叫三級(jí)超額累進(jìn)稅率。即：它將收

入分為三段，每段的稅率分別不同，收入越高，稅率越高。如果用數(shù)學(xué)

的術(shù)語來表達(dá)的話，它是一個(gè)分段函數(shù)：

1、如果XW20000

則Y=20%X

2、如果50000NX>20000

則Y=20000X20%+(X—20000)X30%

3、如果X>50000

則Y=20000X20%十(50000—20000)X30%+(X—50000)X40%

上述表達(dá)式告訴我們，計(jì)算個(gè)人所得稅時(shí)，應(yīng)先根據(jù)M計(jì)算出X,

再根據(jù)X找出相應(yīng)的Z,最后將X進(jìn)行分段，再計(jì)算出應(yīng)納稅額Y。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用：

問題L甲演員到杭州演出一場(chǎng)，收入3000元，應(yīng)繳納多少個(gè)人所

得稅？

1、..小二？。。。元V4000

VX=M-800=3000—800=2200元

2、VX<20000

.\Y=20%X=2200X20%=440元

問題2：乙演員到杭州演出一場(chǎng)，收入100000元，應(yīng)繳納多少個(gè)人

所得稅?

1、?.5=100000元>40000

.?.X=0.8M=0.8X100000=80000元

2、VX>20000

AY=20000X20%+(50000-20000)X30%+(X—50000)X40%

=20000X20%+(50000-20000)X30%+(80000—50000)X40%

=25000元

從以上這些例子我們發(fā)現(xiàn)，在超額累進(jìn)稅率F,分段計(jì)稅確實(shí)比較

復(fù)雜。我們能不能找出簡(jiǎn)單一點(diǎn)的計(jì)算方法呢？

(二)化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型

我們將上面的分段函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)：

1、如果XW20000

則Y=200%X,這已經(jīng)很簡(jiǎn)單了，不需要再化簡(jiǎn)。

2、如果500002X>20000

則Y=20000X20%+(X-20000)X30%=30%X-2000

3、如果X>50000

則Y=20000X20%+(50000-20000)X30%+(X-50000)X40%

=40%X-7000

分析上述三個(gè)化簡(jiǎn)后的式子，我們可以得出以下兩個(gè)結(jié)論：

1、應(yīng)納稅額Y等于應(yīng)納稅所得額X與相應(yīng)稅率Z的乘積減去一個(gè)

常數(shù)。假設(shè)此常數(shù)為C,則丫=乂2-或

2、可以把稅率表(表1)改寫成表2

表2演出收入個(gè)人所得稅稅率表

級(jí)數(shù)x(每次應(yīng)納稅所得額)Z（稅率%）C(常數(shù))

1不超過20000元(含)的部分200

2超過20000元至50000元(含)的部分302000

3超過50000元的部分407000

上述結(jié)論告訴我們，計(jì)算個(gè)人所得稅時(shí)，應(yīng)先根據(jù)M計(jì)算出X,再

根據(jù)X找出相應(yīng)的Z和C,代入關(guān)系式Y(jié)=XZ-C,就可以直接得出結(jié)

果了。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用：

問題3資料同問題1。

1、?.5=3000元V4000

.*.X=M-800=3000-800=220元

2、VX<20000,則Z=20%,C=0

AY=XZ-C=2200X20%-0=440元

問題4資料同問題2。

1、?.?2100000元>40000元

.,.X=0.8M=0.8X100000=80000元

2、VX>50000,則Z=40%,C=7000

Y=XZ-C=80000X40%-7000=25000元

這樣計(jì)算就簡(jiǎn)單多了！

(三)再化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過化簡(jiǎn)后，計(jì)算確實(shí)簡(jiǎn)單了許多，但它還需要轉(zhuǎn)個(gè)彎，M的前提

下，只有換算成X后才能計(jì)算稅款。能不能直接用M來：

答案是肯定的。因?yàn)镸與X之間存在著密切的關(guān)系。下面我佃

1、當(dāng)MW4000口寸.則X=M-800,Z=20%.C=0,代入Y=XZ-C

那么,Y=(M-800)X20%=0.2M-160

令Y=0,即0.2M-160=0,得M=800

所以，M的取值范圍為：800VMW4000

即當(dāng)800VMW4000時(shí)，Y=0.2M-160

2、當(dāng)M>4000時(shí)，X=0.8M,按照X的取值范圍分三種情況

(1)如果XW20000,貝i」Z=20%,C=0,代入Y=XZ-C,

那么,Y=20%X-0=0.2X0.8M=0.16M

令X=20000,得M=X4-0.8=200004-0.8=25000

所以,M的取值范圍為4000VMW25000

即當(dāng)4000VMW25000時(shí),Y=0.16M

(2)如果50000^X>20000,則Z=30%,C=2000,代入Y=XZ-C

那么,Y=30%X-2000=0.3X0.822000=0.24M-2000=0.24M-2000

令X=50000,得M=X+0.8=50000:0.8=62500

所以,M的取值范圍為：25000VMW62500

即，當(dāng)25000VMW62500時(shí),Y=0.24M-2000

20000,得M：X4-08：200004-08：25000

(3)如果X>50000,則Z=40%,C=7000,代入Y=XZ-C

那么,Y=40%X-7000=0.4X0.8M-7000=0.32M-7000

M的取值范圍為M>625000

即,當(dāng)M>625000時(shí)，Y=0.32M-7000

通過觀察上述式子，我們可以發(fā)現(xiàn)，他們都變成了一次函

數(shù):Y=aM-b。將上述推導(dǎo)結(jié)果整理成下表(表3)

表3演出收入個(gè)人所得稅計(jì)稅系數(shù)表

級(jí)數(shù)X（每次總收入）ab

1超過800元至4000元（含）的0.2160

2超過4000元至25000元（含）的0.160

3超過25000元至62500元（含）的0.242000

4超過62500元的0.327000

問題5：資料同問題1

?.?M=3000元V4000,則a=0.2,b=160

Y=aM-b=0.2X3000—160=440元

問題6:資料同問題2

VM=100000TG,M>62500,則a=0.32,b=7000

.\Y=aM—b=0.32X100000—7000=25000元

這樣的計(jì)算就更簡(jiǎn)單了！

二、由舉辦方代付稅款的數(shù)學(xué)模型

問題2中乙到杭州演出一場(chǎng)，總收入為100000元，繳了25000元

個(gè)人所得稅后，稅后凈收入只有75000元了。她覺得報(bào)酬太低，不合算。

于是丙到演出舉辦單位簽訂協(xié)議，要求演出的稅后凈收入為100000元，

即個(gè)人所得稅由演出舉辦者承擔(dān).那么，舉辦者代為繳納的個(gè)人所得稅

是不是25000元呢？

(一)稅法規(guī)定的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)：稅后凈收入為N,舉辦者為演員代付款為Y,演出舉辦方實(shí)

際支出為M,M也就是演出者的總收入。顯然M=Y+N。這意味著計(jì)算代付

稅款時(shí)，應(yīng)當(dāng)將舉辦者支付給演員的的稅后凈收入N(或稱不含稅支付額)

換算為總收入M,按規(guī)定扣除費(fèi)用后得巾應(yīng)納稅所得額X,然后按規(guī)定

稅率Z計(jì)算出應(yīng)代付的個(gè)人所得稅款Yo

現(xiàn)在N是已知條件，我們只要建立起以N為自變量、丫為因變量的函

數(shù)關(guān)系式，并且將表面化中的X換算成N,就可確定Z,計(jì)算出Y。

根據(jù)費(fèi)用扣除規(guī)定和表面化的信息，推導(dǎo)如下：

1、當(dāng)MW4000時(shí)，X=M-800,將X=M-800,代入Y=XZ-C

那么，Y=(M-800)Z-C=(Y+N-800)Z-C,經(jīng)整理可得：

Yv=-N-Z---S-0-0--Z---C

1-Z

下面確定N的取值范圍。

當(dāng)MW4000時(shí)，Z=20%,C=0

令Y=0,即NZ-80°Z-C=0,則N=800。

1-Z

令M=4000,即Y=XZ—C=(4000—800)X20%-0=640元,

N=M—Y=4000—640=3360元。

即：與MM000元相對(duì)應(yīng)值為3360元。

也就是說,當(dāng)3360^N>800時(shí)，按Y=NZ—800Z-C來計(jì)算稅款。

1-Z

此時(shí)，Z=20%,C=0o

2、當(dāng)M>4000時(shí),X=0.8M

那以，Y=XZ-C

=0.8MZ-C

=0.8(Y+N)Z-C

經(jīng)整理可得：

vY=-0.-8-N-Z---C

1-0.8Z

下面分別就X的三種取值范圍來確定N的對(duì)應(yīng)取值范圍。

(1)當(dāng)X=20000元時(shí),Y=XZ-C=20000X20%-0=4000元

M=X4-0.8=200004-0.8=25000元

N=M-Y=25000-4000=20111元。即：與X=2000元相對(duì)應(yīng)的N值為

21000元。

也就是說，當(dāng)21000NN>3360時(shí)，按丫="絲/來計(jì)算稅款。此

1-0.8Z

時(shí),Z=20%>C=0o

(2)當(dāng)X=50000元時(shí)，Y=XZ-C=50000X30%-2000=13000元

M=X+O.8=500004-0.8=62500元，N=M-Y=62500-13000=49500元，

即：與X=50000元相對(duì)應(yīng)的N值為49500元。

也就是說，當(dāng)49500NN>21000時(shí)，按丫=”經(jīng)工來計(jì)算稅款。此

1-0.8Z

時(shí),Z=30%,C=2000o

(3)顯然，當(dāng)N>49500時(shí)，按Y=S8NZ二。來計(jì)算稅款。此時(shí)，

1-0.8Z

Z=40%,C=7000元。

級(jí)數(shù)N（不含稅演出收入）Z（稅率%）C（常數(shù)）

1超過800元至3360元（含）的200

2超過3360元至21000元（含）的200

3超過21000元至49500元（含）的302000

4超過49500元的407000

根據(jù)上述推導(dǎo)，可以把稅率表（表