山東省泰安市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含解析

泰安二中高一年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1.命題“，”的否定為（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得答案.【詳解】根據(jù)題意，命題“，”是全稱命題，其否定為：，.故選：C.2.若集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得集合，，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，求得，即可求解.【詳解】由集合，，所以，所以中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C.3.函數(shù)與的圖象交點(diǎn)為，則所在區(qū)間是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令函數(shù)，，由于，所以區(qū)間(2,3)必有零點(diǎn)．4.若，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得原函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)二次函數(shù)的增區(qū)間，則答案可求.【詳解】由，得或，則原函數(shù)的定義域?yàn)榛?，令，其對稱軸方程為，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.6.玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人．某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面積公式，大扇形面積減去小扇形面積即可求解【詳解】易知該扇形玉雕壁畫可看作由一個(gè)大扇形剪去一個(gè)小扇形得到，設(shè)大、小扇形所在圓的半徑分別為，，相同的圓心角為，則，得，又因?yàn)?，所以，，該扇形玉雕壁畫面積（）．故選：D．7.已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由特稱命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題后列式求解，【詳解】由題意可知恒成立．①當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，，解得．綜上：．故選：C8.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出的值，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解不等式的解集.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得或，所以不等式的解集為，故選：B.二．多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，全部選對得5分，部分選對得2分，多選不得分，共20分）9.若，且，在下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.【詳解】對于A，∵，，∴，故A正確，對于B，，，∴，故B正確，對于C，令，則，故C錯(cuò)誤，對于D，令，，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.關(guān)于函數(shù)，描述正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.有個(gè)零點(diǎn)C.在定義域上增函數(shù)D.是定義域上的奇函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)分式和偶次根式定義域的基本要求可知A正確；令，結(jié)合定義域可知B錯(cuò)誤；利用反例可知C錯(cuò)誤；求得分段函數(shù)解析式后，根據(jù)奇函數(shù)定義可知D正確.【詳解】對于A，由得：，解得：或，定義域?yàn)?，A正確；對于B，由得：，解得：或，有和兩個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對于C，定義域?yàn)?，；，，，不滿足增函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；對于D，由題意得：；當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)，D正確.故選：AD.11.下列命題錯(cuò)誤的是（）A.命題“，都有”的否定是“，使得”B.函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè)C.用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達(dá)到0.1D.函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在區(qū)間上【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可判斷A；求出函數(shù)的零點(diǎn)結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可判斷B；根據(jù)二分法的定義即可判斷C；根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可判斷D.【詳解】解：對于A，命題“，都有”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤；對于B，或時(shí)，，因?yàn)樵谏隙际窃龊瘮?shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以函?shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，開區(qū)間的長度等于1，沒經(jīng)過一次操作長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則經(jīng)過次操作之后，區(qū)間的長度變?yōu)?，故有，則，所以，所以至少經(jīng)過4次二分后精確度達(dá)到0.1，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在區(qū)間上，故D正確.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是周期函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在處取得最大值【答案】BD【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)周期定義，判斷A，利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；利用對稱性的特征，舉反例，判斷C；代入驗(yàn)證D.【詳解】，A.的最小周期是，的最小正周期是，但，，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B.設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，同理可得，且，所以函數(shù)時(shí)奇函數(shù)，故B正確；C.，，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯(cuò)誤；D.時(shí)，，所以函數(shù)取得最大值，故D正確.故選：BD三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分；第16題第一空2分，第二空3分）13.計(jì)算：___________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】故答案為：014.已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)命題的否定與原命題真假性相反，即可得到，為真命題，則，從而求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，所以，解得；故答案為：15.已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)，滿足，則的最小值為_________.【答案】12【解析】【分析】先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再根得，最后根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，，，所以，為奇函?shù)，又在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，在出連續(xù)，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為12.故答案為：12【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.16.若函數(shù)（且）,圖象恒過定點(diǎn),則_____；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以直接求出點(diǎn)的坐標(biāo),這樣可以計(jì)算出的值；再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可以求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由函數(shù)（且）的解析式可知：當(dāng)時(shí),,因此有；因此,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故答案為2；【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題,考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,掌握對數(shù)的運(yùn)算特性是解題的關(guān)鍵.四．解答題（共6小題，共70分）17.計(jì)算下列各式.（1）（2）.【答案】（1）110（2）3【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行求解；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【小問1詳解】原式=.【小問2詳解】原式.18.設(shè)全集，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，命題：若______時(shí)，則，從①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件補(bǔ)充到上面命題中，使命題為真，說明理由；并求.【答案】；【解析】【分析】求出定義域集合，集合，取值使，然后利用集合的交補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，解不等式可得，所以，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即命題為假，故不取；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即命題為真，或，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即命題為真，或，所以，綜上所述，可選，【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式、命題的真假以及集合的交補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.19.已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根為.（1）求的值；（2）求的值；（3）求方程的兩個(gè)根及此時(shí)的值.【答案】（1）或；（2）；（3）當(dāng)方程的兩個(gè)根分別時(shí)，此時(shí)．當(dāng)方程的兩個(gè)根分別時(shí)，此時(shí)．【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可得，的關(guān)系．解出，的值，即可求解的值；（2）由即可得m的值；（3）由（1）可得方程的根和此時(shí)的值.【詳解】由的方程的兩個(gè)根為，．可得，，，．或那么或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2）由，可得．（3）當(dāng)方程的兩個(gè)根分別時(shí)，此時(shí)．當(dāng)方程的兩個(gè)根分別時(shí)，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，同角三角函數(shù)的關(guān)系式的計(jì)算．屬于基礎(chǔ)題．20.珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過加熱?擠壓?發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料.2020年疫情期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若本季度在原材料上多投入萬元，珍珠棉的銷售量可增加噸，每噸的銷售價(jià)格為萬元，另外生產(chǎn)噸珍珠棉還需要投人其他成本萬元.（1）寫出該公司本季度增加的利潤萬元與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)為多少萬元時(shí)，公司在本季度增加的利潤最大？最大為多少萬元？【答案】（1）y（2）當(dāng)萬元時(shí)，公司本季度增加的利潤最大，最大為8萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；（2）對函數(shù)進(jìn)行變形，利用基本不等式求解最值.【小問1詳解】;【小問2詳解】.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)萬元時(shí)，公司本季度增加的利潤最大，最大為8萬元.21.已知函數(shù)（，）.（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于不等式；（3）當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）（2）（3）最小值為；最大值為.【解析】【分析】（1）對底數(shù)進(jìn)行討論，即可求解定義域；（2）根據(jù)，指數(shù)、對數(shù)為遞增函數(shù)，即可脫去“”，解得的范圍；（3）利用對數(shù)的運(yùn)算化簡，可以單調(diào)性即可求解在區(qū)間上的最值；【小問1詳解】由，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋弧拘?詳解】當(dāng)時(shí)，是遞增函數(shù)，定義域?yàn)?；由即，可得，解得∴關(guān)于不等式的解集為.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，易知在區(qū)間上為遞增函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；最大值為.22.定義在上的函數(shù)滿足：①對任意，，都有；②在上是