導(dǎo)數(shù)的定義可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系高數(shù)教案

章節(jié)第二章第一節(jié)日期9月27日重點導(dǎo)數(shù)的定義，可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系（上午1、2節(jié)）難點判斷可導(dǎo)性第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在研究極值問題中提出。導(dǎo)數(shù)——導(dǎo)數(shù)——描述函數(shù)變化快慢微分——描述函數(shù)變化程度微分學(xué)都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具（從微觀上研究函數(shù)）。導(dǎo)數(shù)概念引例變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點運(yùn)動位置的函數(shù)為：則從時刻到的平均速度為：而在時刻的瞬時速度為：曲線的切線斜率曲線C：在M點處的切線——割線MN當(dāng)時的極限位置MT割線MN的斜率：切線MT的斜率：即：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點由上述瞬時速度和切線斜率二式可看到兩個問題的共性：所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。變化率問題類似問題還有：加速度：是速度增量與時間增量之比的極限變化率問題角速度：是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限線密度：是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限電流強(qiáng)度：是電量增量與時間增量之比的極限…………二．導(dǎo)數(shù)的定義1．定義：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若：存在，則稱函在點處可導(dǎo)，并稱此極限為在點的導(dǎo)數(shù)。記作：，即：則運(yùn)動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度：曲線C：在點M處的切線斜率：若極限不存在，就說函數(shù)在點不可導(dǎo)。

章節(jié)（續(xù)）日期重點難點若，也稱在點的導(dǎo)數(shù)為無窮大。若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導(dǎo)，稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo)。此時由導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)。記作：注意：求導(dǎo)數(shù)舉例求函數(shù)（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解：求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。解：說明：對一般冪函數(shù)（為常數(shù)）有：例如：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：令，則：即：，類似可證：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：（利用等價無窮?。┘矗簳侠?、例5自己看，記住結(jié)論：，證明函數(shù)在不可導(dǎo)。證：∵∴不存在，即在不可導(dǎo)。設(shè)存在，求極限。解：原式章節(jié)（續(xù)）日期重點難點MMy=f（x）Ox0xyT導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線y=f（x）在點的切線斜率為：其中是切線的傾角，見右圖。若，曲線過上升；若，曲線過下降；若，切線與x軸平行，x0稱為駐點；若，切線與x軸垂直。當(dāng)時，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在點處的：切線方程：法線方程：（）書上83頁例7自己看。例8．求曲線的通過點（0，-4）的切線方程。解：設(shè)切點為，則切線斜率：設(shè)切線方程為：切點在曲線上，有：切線過點（0，-4）：將代入可得：∴所求切線方程為：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1：在點x處可導(dǎo)在點x處連續(xù)但一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導(dǎo)。如：在處連續(xù)但不可導(dǎo)。在處有：所以在處不可導(dǎo)。五．單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義2：設(shè)函數(shù)在點的某個右（左）鄰域內(nèi)有定義，若極限：存在，則稱此極限值為在處的右（左）導(dǎo)數(shù)，記作：（）。例如：在處有：，定理2：函數(shù)在點可導(dǎo)的充分必要條件是與存在，且=。即：存在定理3：函數(shù)在點處右（左）導(dǎo)數(shù)存在在點必右（左）連續(xù)。若函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，則稱在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)。顯然：在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)

章節(jié)（續(xù)）日期重點難點內(nèi)容小結(jié)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)：增量比的極限導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線切線的斜率可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)已學(xué)求導(dǎo)公式：不連續(xù)，一定不可導(dǎo)判斷可導(dǎo)性直接用導(dǎo)數(shù)定義看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等要求必須掌握：導(dǎo)數(shù)的定義；可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系；判斷可導(dǎo)性。習(xí)題2—1（85頁）：5；6；7；9；13；14（2）；16；18。

章節(jié)第二章第二節(jié)日期9月28日重點求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則（下午1、2節(jié)）難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)基本思路：（構(gòu)造性定義）本節(jié)內(nèi)容求導(dǎo)法則證明中利用了兩個重要極限證明中利用了兩個重要極限其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式初等函數(shù)求導(dǎo)問題一．函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1：函數(shù)u=u（x）及v=v（x）都在點x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x可導(dǎo)，且：（1）；（2）；（3）可簡單表示為：、及。推論：1）（C為常數(shù)）2）3）

章節(jié)（續(xù)）日期重點難點書上88頁例1至例5略講，注意其中給出一此要記的導(dǎo)數(shù)公式：；；（C為常數(shù)）；。補(bǔ)充例：，求及。解：二．反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2：設(shè)為的反函數(shù)，在y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，則或。上述結(jié)論簡單說即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。例6：反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：設(shè)，則，所以則同理可求：；；章節(jié)（續(xù)）日期重點難點例7．指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)：，則∴特別當(dāng)時，有：三．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：定理3：在點x可導(dǎo)，在點可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)在點x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：yuvx或yuvx推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形。如：，，關(guān)鍵：搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。簡單講解書上92頁例9—例11。例12．，求。解：例：求下列導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）解：（1）（2）即：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點例13．設(shè)，求。解：思考：若存在，如何求的導(dǎo)數(shù)？此處要注意：與這兩個記號的含義是不同的。例：設(shè)，其中可導(dǎo)，求。解：書上93頁例14自己看。四．基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（共16個，要求熟記，書上94頁）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)例16：雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：類似可求得：例：設(shè)，求。解：反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點類似可求得：例17．（n為常數(shù)），求。解：補(bǔ)充例：，求。解：∵∴例：設(shè)，求。解：例：，求。解：注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題的關(guān)鍵：搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則（書上94頁）要求必須掌握：求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則習(xí)題2—2（96頁）：2（2）（8）（10）；3（2）（3）；4；6（6）（8）；7（3）（7）（10）；8（4）（5）（8）（10）；10；11（4）（8）；12（3）（8）（10）。

章節(jié)第二章第三節(jié)日期9月29日重點高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法（上午1—3節(jié)）難點高階導(dǎo)數(shù)的歸納法第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一．高階導(dǎo)數(shù)的概念引例：變速直線運(yùn)動，速度，即；加速度：，即；定義：若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)，則稱的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，記作：或，即：或類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，依次類推，n–1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù)，分別記作：或。例：設(shè)，求。解：……并由此可求出（為任意常數(shù)）的n階導(dǎo)數(shù)為：（見書上100頁例7）書上98頁例1，例2自己看。例3．證明：函數(shù)滿足關(guān)系式：。證：分別將代入方程，即有：。

章節(jié)（續(xù)）日期重點難點書99頁例4自己看。例5．求正弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解：……∴類似可得：例6．求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解：，……∴（規(guī)定：0！=1）同理可求：例：設(shè)，求使存在的最高階數(shù)n。解：將函數(shù)改寫為：∵∴∵∴但：，∴不存在。章節(jié)（續(xù)）日期重點難點二．高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則萊布尼茨公式：設(shè)函數(shù)、都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)，則：1．2．（C為常數(shù)）3．例8．，求。解：設(shè)：，，則：代入萊布尼茲公式，得：內(nèi)容小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法：逐階求導(dǎo)法利用歸納法間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用萊布尼茲公式要求必須掌握：高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法習(xí)題2—3（101頁）：1（9）（12）；3；4（2）；8（2）（3）；9（2）（3）。

章節(jié)第二章第四節(jié)日期重點隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法難點隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù)，則稱此函數(shù)為隱函數(shù)。由表示的函數(shù)，稱為顯函數(shù)。如：是隱函數(shù)，可確定顯函數(shù)也是隱函數(shù)，可確定y是x的函數(shù)，但不能顯化。隱函數(shù)求導(dǎo)方法：兩邊對x求導(dǎo)：（含導(dǎo)數(shù)的方程）例1．求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：∵∴例2．求由方程所確定的隱函數(shù)y在x=0處的導(dǎo)數(shù)。解：∵∴∵x=0時y=0∴例3．求橢圓在點處的切線方程。解：先求一階導(dǎo)數(shù)——斜率：∴則切線方程為：整理有：

章節(jié)（續(xù)）日期重點難點例4．求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解：∵∴例5．求的導(dǎo)數(shù)。解：此題雖為顯函數(shù)求導(dǎo)，但用以前講過的方法不好求，此時可利用兩邊取對數(shù)的方法將其化為隱式形式，再按隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，稱為對數(shù)求導(dǎo)法。兩邊取對數(shù)，化為隱式：則有：∴一般說來：1）對冪指函數(shù)均可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)：注意如將其展開寫為：則右邊第一式為按指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，第二式為按冪函數(shù)的求導(dǎo)公式。2）有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)也很方便。如：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點例6．求的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取對數(shù)：∴當(dāng)x<4時的討論見書上106頁。二．由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。參數(shù)方程的求導(dǎo)方法：在參數(shù)方程中，若，可導(dǎo)，且：，則時，有：即時，有：即章節(jié)（續(xù)）日期重點難點參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)：若參數(shù)方程中，二階可導(dǎo)，且，則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù)。利用新的參數(shù)方程：可得：例7．已知橢圓的參數(shù)方程為：，求其在相應(yīng)點處的切線方程。解：將代入?yún)?shù)方程，可得曲線斜率：∴橢圓在相應(yīng)點處的切線方程為：，整理后有：例：設(shè)，且，求。解：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點例8．拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為，求拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向。解：先求速度大小，速度的水平分量：，垂直分量：∴再求速度方向（即軌跡的切線方向）：設(shè)為切線傾角，則：在剛射出（即t=0）時，傾角為：達(dá)到最高點的時刻為：，高度：落地時刻為：，拋射最遠(yuǎn)距離：書上109頁例9自己看。下面給出一道隱函數(shù)形式的參數(shù)方程的題。例：設(shè)由方程，確定函數(shù)并求導(dǎo)。解：方程組兩邊對t求導(dǎo)：∴章節(jié)（續(xù)）日期重點難點三．相關(guān)變化率設(shè)x=x（t）及y=y（t）都是可導(dǎo)函數(shù)x與y之間有聯(lián)系與之間也有聯(lián)系，此聯(lián)系稱為相關(guān)變化率。相關(guān)變化率問題的解法：找出相關(guān)變量的關(guān)系式，對t求導(dǎo)得到相關(guān)變化率之間的關(guān)系式，再求出未知的相關(guān)變化率。例10．一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升，其速率為140m/min，當(dāng)氣球高度為500m時，觀察員視線的仰角增另率是多少？解：設(shè)氣球上升t分鐘后其高度為h，仰角為，則：兩邊對t求導(dǎo)：已知時，∴（弧度/min）內(nèi)容小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則——直接對方程兩邊求導(dǎo)對數(shù)求導(dǎo)法：適用于冪指函數(shù)及某些用連乘，連除表示的函數(shù)參數(shù)方程求導(dǎo)法，注意求高階導(dǎo)數(shù)時，從低到高均要用參數(shù)方程求導(dǎo)公式相關(guān)變化率問題——列出依賴于t的相關(guān)變量關(guān)系式，對t求導(dǎo)，找出相關(guān)變化率之間的關(guān)系式要求必須掌握：隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法習(xí)題2—4（110頁）：1（1）（4）；2；3（3）（4）；4（2）（4）；5（2）；6；7（2）；8（2）（4）；9（2）；10。章節(jié)第二章第五節(jié)日期10月8日重點（上午1—3節(jié)）難點（本次課可與上一節(jié)合并用四課時時間）函數(shù)的微分一．微分的概念引例：如右圖的一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響，其邊長由x0變到x0+△x，討論此薄片面積的變化。設(shè)薄片邊長為x，面積為A，則A與x存在著函數(shù)關(guān)系：A=x2。當(dāng)x自x0取得增量△x時，面積相應(yīng)的增量為：△x△x（△xx0x0x0△xx0△xA=x02△A=（x0△x△x（△xx0x0x0△xx0△xA=x02其中，2x0△x是關(guān)于△x的線性主部；另一部分（△x當(dāng)△x→0時是比△x高階的無窮小，所以在|△x|→0時，有：稱為函數(shù)在x0的微分。定義：若函數(shù)y=f（x）在點x0的增量可表示為△y=f（x0+△x）-f（x0）=A△x+o（△x）其中A是不依賴于△x的常數(shù)，則稱函數(shù)y=f（x）在點x0可微，而A△x稱為f（x）在點x0的微分，記作dy，即：dy=A△x。定理（函數(shù)可微的條件）：函數(shù)f（x）在點x0可微的充要條件f（x）在點x0可導(dǎo)，且，即：說明：；當(dāng)時，有：所以△x→0時△y與dy是等價無窮小，故當(dāng)|△x|很小時，有近似公式：△y≈dy例1（見書上114頁）。例2：求函數(shù)當(dāng)x=2，△x=0.02時的微分。解：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點△y二．微分的幾何意義——△y當(dāng)△x很小時，△y≈dy當(dāng)y=x時，△y=△x=dx通常把△x稱為自變量的微分，記作dx，則有：從而有：這就是說：函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”。由此可見，對于可微函數(shù)y=f（x）而言，當(dāng)△y是曲線y=f（x）上的點的縱坐標(biāo)的增量時，dy就是曲線的切線上點的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。當(dāng)|△x|很小時，|△y-dy|比|△x|小得多。因此在點M的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。三．基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式（115頁）函數(shù)和、差、積、商的微分法則設(shè)u（x），v（x）均可微，則（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）復(fù)合函數(shù)的微分法則分別可微，則復(fù)合函數(shù)的微分為：dudu微分形式不變性講解書上117頁例3——例5。章節(jié)（續(xù)）日期重點難點例：設(shè)，求dy。解：這是一個隱函數(shù)求微分問題，利用一階微分形式不變性，有：∴例6：在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。（1）（2）說明：上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容。注意：數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性，例如：四．微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)|△x|很小時，得近似等式：△y=f（x0+△x）-f（x0）≈△xf（x0+△x）≈f（x0）+△x在上式中令x=x0+△x，即：△x=x-x0則有：f（x）≈f（x0）+（x-x0）使用原則：1）f（x0），好算；2）x與x0靠近。特別當(dāng)x0=0，|△x|很小時，f（x）≈f（0）+x

章節(jié)（續(xù)）日期重點難點常用近似公式：（|△x|很小）（1）（2）（