2023-2024學年人教A版必修第二冊 10-1-1　有限樣本空間與隨機事件 學案

10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義數(shù)學抽象2.理解隨機事件與樣本點的關系數(shù)學建模體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同的小球標上號碼，分別為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入搖獎器中經(jīng)過充分攪拌后先后搖出兩個小球.問題觀察兩個小球的號碼，你知道這個試驗的結果有幾種情況嗎？

知識點一隨機試驗及樣本空間1.隨機試驗的概念和特點（1）隨機試驗：我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示；（2）隨機試驗的特點：①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果.隨機試驗在相同條件下重復進行時所得結果一樣嗎？提示：所得結果是隨機的，但所有可能結果是一樣的.2.樣本點和樣本空間定義字母表示樣本點隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點用ω表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}提醒對樣本點和樣本空間的再理解：①樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結果，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間；②只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間.知識點二三種事件的定義隨機事件我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件1.下列事件：①長度為3，4，5的三條線段可以構成一個直角三角形；②經(jīng)過有信號燈的路口，遇上紅燈；③下周六是晴天.其中是隨機事件的是（）A.①②B.②③ C.①③D.②解析：B①長度為3，4，5的三條線段可以構成一個直角三角形是必然事件；②經(jīng)過有信號燈的路口，可能遇上紅燈也可能不遇上紅燈，是隨機事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是隨機事件.故選B.2.從含有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必然事件是（）A.3件都是正品 B.至少有1件次品C.3件都是次品 D.至少有1件正品解析：D將抽到正品記為1，次品記為0，則樣本空間Ω＝{（1，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，因此至少有1件正品為必然事件.3.“袋子中有紅、黃、藍三個小球，從中取出兩個球，觀察顏色”這一試驗的樣本空間為.

解析：袋子中有紅、黃、藍三個小球，從中取出兩個球，觀察顏色，可能的組合有：（紅，黃），（紅，藍），（黃，藍），故該試驗的樣本空間為{（紅，黃），（紅，藍），（黃，藍）}.答案：{（紅，黃），（紅，藍），（黃，藍）}題型一事件類型的判斷【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：（1）三角形的兩邊之和大于第三邊；（2）沒有空氣和水，人類可以生存下去；（3）從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；（4）科學技術達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn).解（1）所有三角形的兩邊之和都大于第三邊，所以是必然事件.（2）空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件.（3）任意抽取，可能得到1，2，3，4號標簽中的任意一張，所以是隨機事件.（4）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現(xiàn)，所以是不可能事件.通性通法判斷一個事件是哪類事件的方法一看條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；二看結果是否發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.從1，2，3，…，10這10個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，那么事件“這三個數(shù)的和大于10”是（）A.必然事件 B.不可能事件C.隨機事件 D.以上選項均不正確解析：C因為從1，2，3，…，10這10個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“這三個數(shù)的和大于10”是隨機事件，故選C.題型二確定試驗的樣本點與樣本空間【例2】寫出下列試驗的樣本空間：（1）同時拋擲三枚質地均勻的骰子，記錄三枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和；（2）從含有兩件正品a1，a2和兩件次品b1，b2的四件產(chǎn)品中任取兩件，觀察取出產(chǎn)品的結果；（3）將一枚骰子先后拋擲兩次，試驗的樣本點用（x，y）表示，其中x表示第一次拋擲出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第二次拋擲出現(xiàn)的點數(shù).用集合表示事件“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”.解（1）該試驗的樣本空間Ω1＝{3，4，5，…，18}.（2）該試驗所有可能的結果如圖所示，因此，該試驗的樣本空間Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.（3）列出拋擲兩次骰子出現(xiàn)點數(shù)和對應的表由上表可知“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”可用集合表示為{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.通性通法寫樣本空間的關鍵是找樣本點，具體有三種方法（1）列舉法：適用于樣本點個數(shù)不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏；（2）樹狀圖法：適用于較復雜問題中的樣本點的探求，一般需要分步（兩步及兩步以上）完成的結果可以用樹狀圖進行列舉；（3）列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結果相對較多的樣本點個數(shù)的求解問題，通常把樣本歸納為“有序實數(shù)對”，也可用坐標法，列表法的優(yōu)點是準確、全面、不易遺漏.1.一個家庭生兩個小孩，所有的樣本點有（）A.（男，女），（男，男），（女，女）B.（男，女），（女，男）C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D.（男，男），（女，女）解析：C把第一個孩子的性別寫在前面，第二個孩子的性別寫在后面，則所有的樣本點是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故選C.2.甲、乙兩人做猜拳游戲（錘子、剪刀、布）.求該事件的樣本空間.解：樣本空間Ω＝{（錘子，錘子），（錘子，剪刀），（錘子，布），（剪刀，錘子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，錘子），（布，剪刀），（布，布）}.題型三隨機事件的含義【例3】柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標為奇數(shù)表示左腳，下標為偶數(shù)表示右腳.指出下列隨機事件的含義：（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.解（1）事件M的含義是“從3雙不同的鞋中隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”.（2）事件N的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”.（3）事件P的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，且不成雙”.通性通法解答此類題目，要首先理解題意，清楚試驗過程及樣本空間，以及事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規(guī)律，才能確定事件的含義.在試驗E：“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù)”中，指出下列隨機事件的含義：（1）事件A＝{（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3）}；（2）事件B＝{（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）}；（3）事件C＝{（1，3），（3，1），（4，2），（2，4），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）}.解：（1）事件A中所含的樣本點中的第二個數(shù)為3，根據(jù)樣本空間知第二個數(shù)為3的樣本點都在事件A中，故事件A的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點數(shù)為3.（2）事件B中所含的樣本點中兩個數(shù)的和均為6，且樣本空間中兩數(shù)和為6的樣本點都在事件B中，故事件B的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點數(shù)之和為6.（3）事件C中所含樣本點中兩個數(shù)的差的絕對值為2，且樣本空間中兩個數(shù)的差的絕對值為2的樣本點都在事件C中，故事件C的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，兩次擲出的點數(shù)之差的絕對值為2.1.以下事件中不是隨機事件的是（）A.在相同的條件下投擲一枚均勻的硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)反面B.明天下雨C.連續(xù)兩次拋擲同一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點D.平面四邊形的內(nèi)角和是360°解析：D因為平面四邊形的內(nèi)角和是360°是一個確定的事實，而其他三個都是隨機出現(xiàn)的，所以選項D不符合題意，故選D.2.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，從A，B中各任意取一個數(shù)，構成一個兩位數(shù)，則所有樣本點的個數(shù)為（）A.8 B.9C.12 D.11解析：D從A，B中各任意取一個數(shù)，可構成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11個樣本點.3.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，事件M＝{（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）}，則事件M的含義是.

答案：拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為84.籠子中有4只雞和3只兔，依次隨機抽取，每次只取一只，直到3只兔全部被取出.記錄剩余動物的腳的只數(shù)，則該試驗的樣本空間為.

解析：由題意知，最少取3次，最多取7次，那么剩余雞的只數(shù)最多為4，最少為0，所以剩余動物的腳的只數(shù)可能是8，6，4，2，0，故樣本空間為{0，2，4，6，8}.答案：{0，2，4