信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)-第4章

第4章連續(xù)系統(tǒng)周期信號實頻域分析第4章|主要內(nèi)容4.1傅氏級數(shù)4.2頻譜4.3傅里葉級數(shù)分析法3問題引入：信號具有時域和頻域特性。如何在頻域分析系統(tǒng)對周期信號的響應(yīng)呢？解決思路：尋找可以表征各種周期信號的通用信號→在頻域找出系統(tǒng)對通用信號的響應(yīng)→利用對通用信號的分析方法得出一般周期信號的頻域響應(yīng)。研究結(jié)果：傅氏級數(shù)；系統(tǒng)函數(shù)；諧波響應(yīng)求和。核心內(nèi)容：一個周期信號可以由無窮個正弦型信號之代數(shù)和描述。系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)模型的另一種表達(dá)形式。4在時域分析中，信號是時間的函數(shù)，我們關(guān)心的是信號大小、快慢和延遲隨時間的變化關(guān)系，時間是研究信號和系統(tǒng)的基本出發(fā)點(diǎn)，因此，系統(tǒng)分析自然也就圍繞著時間變量展開。但是我們還注意到一個事實，一些信號的大?。ǚ龋┖脱舆t（相位）還直接與另一個變量——頻率有關(guān)，比如正弦型信號、復(fù)指數(shù)信號等。或者說，一些信號的幅度和相位還是頻率的函數(shù)。能否圍繞著頻率變量對系統(tǒng)進(jìn)行分析研究呢？回到是肯定的，由此引出了一個與時域全然不同的分析方法——實頻域或頻域分析法對系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，從而為系統(tǒng)分析另辟了一條蹊徑。4.1傅氏級數(shù)54.1傅氏級數(shù)64.1傅氏級數(shù)任意一個周期為（角頻率為）的周期信號（1）在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)。（2）在一個周期內(nèi)只有有限個極大值或極小值。（3）在一個周期內(nèi)是絕對可積的，即。，若滿足下列狄里赫利條件：4.1.1傅里葉級數(shù)的三角形式（定義式）74.1傅氏級數(shù)4.1.1傅里葉級數(shù)的三角形式（定義式）可以展開為三角級數(shù)——傅里葉級數(shù)（傅氏級數(shù)）。即(4-1)式(4-1)說明任一周期信號可以用三角正交函數(shù)的線性組合表示。顯然，這是信號分解特性的體現(xiàn)。84.1傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)采用三角函數(shù)集的主要特點(diǎn)：（1）三角函數(shù)是基本函數(shù)；（2）三角函數(shù)同時具有時間和頻率兩個物理量。（3）三角函數(shù)容易產(chǎn)生、傳輸和處理。（4）三角函數(shù)通過線性時不變系統(tǒng)后仍為同頻三角函數(shù)，僅幅值和相位會有所變化。9傅里葉系數(shù)的求法：4.2傅氏級數(shù)(4-2)(4-3)(4-4)10

(4-5)可得傅里葉級數(shù)三角形式的另一種表示方法（標(biāo)準(zhǔn)式）：式(4-5)表明任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為直流和各次諧波分量之和。4.1傅氏級數(shù)

(4-6)114.1傅氏級數(shù)式(4-5)表明，任何滿足狄里赫利條件的周期信號都可分解為一個常數(shù)和無數(shù)個不同頻率常數(shù)項是在一個周期內(nèi)的平均值，被稱為基波或一次諧波，其角頻率的角頻率相同，是基波振幅，是基波初相角；第三項被稱為二次諧波，其頻率是基波頻率的二倍，是二次諧波振幅，依此類推，還有三次、四次、…、等高次諧波。被稱為次諧波，是次諧波振幅，是其初相角。不同相位的余弦信號分量之和。其中，第一項表示周期信號具有的直流分量；第二項與原周期信號是二次諧波初相角。124.1傅氏級數(shù)

式(4-5)可以認(rèn)為是本課程中傅氏級數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式。該式的重要意義在于：（1）一個周期信號可以分解為常數(shù)分量和無窮個不同頻率余弦信號的代數(shù)和?；蛘哒f，一個周期電信號可以分解為直流分量和無窮個諧波分量的代數(shù)和。（2）不同頻率余弦信號或各次諧波的初相就是這兩個特點(diǎn)在畫周期信號頻譜時要用到。134.1傅氏級數(shù)4.1.2函數(shù)對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會含有正弦項，只可能含有直流分量和余弦項。

(1)若是關(guān)于縱軸對稱的偶函數(shù)(4-10)144.1傅氏級數(shù)奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不含有直流分量和余弦項，只能包含正弦項。

(2)若是關(guān)于原點(diǎn)對稱的奇函數(shù)(4-13)154.1傅氏級數(shù)綜上所述，信號的奇偶特性決定了其傅氏級數(shù)的組成成分，即是否有直流分量、正弦分量和余弦分量。164.1傅氏級數(shù)【例題4-1】將如圖4-3所示的方波展開為傅里葉級數(shù)?！窘狻恳驗闉槠鎸ΨQ+奇諧對稱，所以，，無偶次諧波。則有174.1傅氏級數(shù)【例題4-2】將如圖4-4所示的對稱方波展開為傅里葉級數(shù)?！窘狻恳驗闉榕紝ΨQ，所以，184.1傅氏級數(shù)則有

圖4-4給出了對稱方波的傅里葉級數(shù)取有限項的波形情況。194.1傅氏級數(shù)204.1傅氏級數(shù)（1）傅里葉級數(shù)所取項數(shù)越多，相加后的波形越接近原信號。（2）高頻勾畫細(xì)節(jié)，低頻決定形狀。（3）當(dāng)信號中任一頻率分量發(fā)生變化時，輸出波形一般要發(fā)生失真。（4）濾波概念。傅里葉級數(shù)的波形特點(diǎn)：在“通信原理”課程中很重要。214.1傅氏級數(shù)22任何一個工程技術(shù)上的周期信號都可以表示成一連串三角函數(shù)（正弦型信號）的代數(shù)和。它的重要意義在于：人們不用去逐個為千千萬萬種周期信號尋找相應(yīng)的研究方法，而只需研究正弦型信號即可。傅里葉級數(shù)提供了一個研究周期信號的通用方法，可以把傅里葉級數(shù)形象地比喻為能“開”各種周期信號“鎖”的“萬能鑰匙”。傅里葉級數(shù)的重要意義：4.1傅氏級數(shù)234.1傅氏級數(shù)244.1傅氏級數(shù)4.1.3傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

（4-14）式（4-14）即為傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。因為三角函數(shù)和虛指數(shù)函數(shù)滿足歐拉公式，所以，式（4-1）可以變形為（4-15）254.1傅氏級數(shù)經(jīng)過比較可知，傅氏級數(shù)三角形式與指數(shù)形式系數(shù)的關(guān)系為（4-16）（4-17）（4-18）據(jù)此，可以給出三角形式與指數(shù)形式的關(guān)系式（4-19）264.1傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)指數(shù)形式和三角形式的直流分量兩者相等；而指數(shù)形式各諧波系數(shù)模值等于三角形式系數(shù)的一半；兩者各諧波分量的初相位相等；注意：三角形式是單邊譜，指數(shù)形式是雙邊譜。式（4-39）表明，雖然在傅里葉級數(shù)指數(shù)形式中，可由分布在頻率從負(fù)無窮大到的復(fù)指數(shù)信號構(gòu)成，但其中位于的項和位于的項只有相加后才能組成一個諧波分量，單獨(dú)的項或項并不是諧波正無窮大之間的一系列形如分量，僅僅是一種數(shù)學(xué)表示形式。這個概念可以利用下式說明，即274.1傅氏級數(shù)（4-20）因為來自和，即與2個正弦型函數(shù)有關(guān)，所對應(yīng)的正弦量應(yīng)該為所以，根據(jù)式（4-19）可以寫出284.1傅氏級數(shù)兩種不同形式的傅里葉級數(shù)均表明：任意波形的周期信號都可以看作由兩種基本連續(xù)時間信號（正弦型信號或復(fù)指數(shù)信號）所組成，因此，都屬于用時間函數(shù)表示的時域分析范疇。由于它們都是以為基本頻率的周期信號，因而各分量之間都存在著諧波的關(guān)系，不同形狀的周期信號，只是其各次諧波的頻率、幅度和初相位有所不同而已。294.1傅氏級數(shù)【例題4-3】求如圖4-3所示方波的傅里葉級數(shù)指數(shù)展開式?！窘狻?04.1傅氏級數(shù)則有可見，的展開式中只有基波和奇次諧波項。314.1傅氏級數(shù)（1）線性特性（2）時移特性（3）反轉(zhuǎn)特性（4）微分特性若則有：4.1.4傅氏級數(shù)的特性（4-21）（4-22）（4-23）（4-24）324.1傅氏級數(shù)【例題4-4】如圖4-6所示的周期信號的傅里葉系數(shù)為，試用其表示圖4-6、、所示各信號的傅里葉系數(shù)?！窘狻恳驗樗?，根據(jù)傅里葉級數(shù)的時移特性有由題意可知334.1傅氏級數(shù)則根據(jù)傅里葉級數(shù)的線性特性有由題意可知

因此344.1傅氏級數(shù)【例題4-5】求如圖4-7所示的周期三角波信號的傅里葉級數(shù)?！窘狻繉B續(xù)兩次求導(dǎo)，得到、分別如圖4-7、所示。設(shè)的傅里葉系數(shù)為，的傅里葉系數(shù)為，則，波形354.1傅氏級數(shù)根據(jù)傅里葉級數(shù)的微分特性，有則因此，周期三角波信號的傅里葉級數(shù)是364.1傅氏級數(shù)5.能量守恒一個周期信號在時域和頻域的能量守恒特性可以由帕塞瓦爾定理描述，即（4-25）

式（4-25）表明，一個周期信號的平均功率等于全部諧波分量（包括直流分量）平均功率之和。帕塞瓦爾定理在“通信原理”課程中多用于求解通信系統(tǒng)的信噪比。374.1傅氏級數(shù)對于實信號有，因此，（4-26）通常，把隨的變化特性稱為周期信號的功率譜。384.2信號的頻譜4.2.1正弦型信號的頻域表示假設(shè)現(xiàn)在有四個不同頻率、振幅和初相的余弦信號，它們的時域表達(dá)式分別為394.2信號的頻譜顯然，它們都是時間的函數(shù)。但是，如果把四個信號的振幅和初相看作因變量的話，也成函數(shù)關(guān)系。因此，可以把這種關(guān)系畫出來，見圖4-8。那它們和另一個變量——頻率可見，振幅與頻率構(gòu)成一個函數(shù)，簡稱幅頻函數(shù)，相位（初相）與頻率也構(gòu)成一個函數(shù)，簡稱相頻函數(shù)。也就是說，任意一個正弦型信號除了時域波形外，還可用幅頻波形與相頻波形在頻域中表示。簡言之，正弦型信號的頻域波形（頻譜）是兩個垂直線段。404.2信號的頻譜414.2信號的頻譜4.2.2頻譜的概念現(xiàn)在，假設(shè)把上述4個信號加起來，構(gòu)成信號，即有那么，在頻域，就是把上圖中的4個幅頻函數(shù)波形和4個相頻函數(shù)波形分別相加，即可構(gòu)成的幅頻函數(shù)和相頻函數(shù)，見圖4-9。424.2信號的頻譜

的幅頻函數(shù)和相頻函數(shù)呈譜線狀波形，類似我們熟悉的光譜波形，因此，被稱為幅頻譜和相頻譜，統(tǒng)稱為信號的頻譜。434.2信號的頻譜可見，傅里葉級數(shù)給了我們一個重要提示：一個周期信號的諧波幅度和相位可以表示為頻率的函數(shù)。這就為我們提供了一個思路：跳出傳統(tǒng)的時間域，從諧波的幅度和相位與頻率之間的關(guān)系上來研究周期信號。由于傅氏級數(shù)指數(shù)形式中的復(fù)數(shù)分量出現(xiàn)在頻率軸的各個諧波頻率處，且其復(fù)振幅值（式（4-29））只與各次諧波在頻率軸的位置（即和點(diǎn)）有關(guān)而與時間無關(guān)。所以，我們就把稱為周期信號的頻譜函數(shù)（spectrumfunction）。44即把稱為周期信號的頻譜函數(shù)。與頻率的關(guān)系稱為的幅頻特性也就是振幅譜；與頻率的關(guān)系稱為的相頻特性也就是相位譜。

幅值相角中的系數(shù)4.2信號的頻譜（4-27）45由于引入了，傅氏級數(shù)指數(shù)形式的式（4-14）就變?yōu)?/p>

（4-28）4.2信號的頻譜這樣，周期信號與其頻譜函數(shù)或就形成了一種由傅氏級數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系。

（4-29）464.2信號的頻譜雖然頻譜是以傅氏級數(shù)指數(shù)形式為基礎(chǔ)定義的，但也適用三角形式，頻譜可以定性地理解為：一個信號的頻譜是指信號幅度和相位隨頻率的變化關(guān)系。雙邊頻譜來源于單邊頻譜來源于474.2信號的頻譜第一步：將三角傅氏級數(shù)化為式（4-5）的標(biāo)準(zhǔn)式，第二步：畫一個頻域坐標(biāo)，縱軸為幅值，橫軸為以第三步：將長度的豎線段畫在原點(diǎn)處，將依次畫在第四步：再畫一個頻域坐標(biāo)，其縱軸為相位第五步：在處，以豎線段形式畫上對應(yīng)的，即可完成相頻譜。，則為間隔畫出刻度。處，即可完成幅頻譜。若1.三角形式頻譜的畫法：484.2信號的頻譜注意：（1）因為我們把余弦函數(shù)級數(shù)當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)式，即式（4-5），所以，若級數(shù)中出現(xiàn)正弦函數(shù)形式分量，則需要化成余弦形式，即，初相位為。（2）若諧波分量為，則應(yīng)化為，初相為。其中的正負(fù)選擇要保證。（3）若（2）中的，則可取，本書取。（4）若式（4-1）中，則可直接畫出、隨的變化圖，即頻譜圖。（5）若式（4-1）中，則將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)后，再畫出、隨的變化圖。494.2信號的頻譜第一步：根據(jù)，求出

，并化為形式。2.復(fù)指數(shù)形式頻譜的畫法：第二步：在振幅譜坐標(biāo)平面的頻率軸和處，分別畫出線段。第三步：在相位譜坐標(biāo)平面的頻率軸處，畫出線段；在處，畫出線段。504.2信號的頻譜綜上所述，有如下結(jié)論：（1）周期信號的頻譜可以以指數(shù)和三角函數(shù)兩種形式出現(xiàn)。（2）指數(shù)形式頻譜是雙邊譜，三角形式的是單邊譜。（3）雙邊振幅譜的諧波幅值是單邊振幅譜的一半，但兩者的直流分量相等。雙邊振幅譜是偶對稱。（4）雙邊相位譜的正頻率側(cè)波形與單邊相位譜是一樣的，其波形滿足奇對稱。（5）除非相位譜只有0和（6）單邊譜具有物理意義，體現(xiàn)了信號諧波幅度和相位隨頻率的變化關(guān)系。而雙邊譜因為存在

負(fù)頻率成分，所以，只是一種數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，沒有實際意義。（7）由于復(fù)指數(shù)形式便于分析和運(yùn)算，所以，比三角形式更常用。兩種取值，一般不能把振幅譜和相位譜畫在一起。51為了更形象地詮釋頻譜概念，我們把【例題4-2】的波形用圖4-10再描述一次。另外，可以用蘇軾的一句詩幫助讀者理解這張圖：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。4.2信號的頻譜524.2信號的頻譜534.2信號的頻譜544.2信號的頻譜554.2信號的頻譜4.2.2頻譜的特點(diǎn)【例題4-6】試畫出圖4-11所示的周期鋸齒脈沖信號的頻譜圖。【解】因是奇函數(shù)，所以564.2信號的頻譜注意：因為是正弦形式，所以相位要滯后90度。574.2信號的頻譜【例題4-7】求圖4-14所示50Hz交流電半波整流和全波整流波形的振幅譜前四個非零項，并畫出振幅譜?！窘狻恳驗閮蓚€波形均為偶對稱，所以沒有正弦函數(shù)分量。對于半波整流：,，則有對于全波整流：,，則有58（1）全波整流的平均值，即直流分量比半波整流大一倍。這也就是不少電器分大（強(qiáng)）、?。ㄈ酰n的原理，比如電吹風(fēng)的高檔和低檔，電熱毯的高檔和低檔。（2）全波整流的頻率分量比半波少，這對電源濾波很有利。4.2信號的頻譜594.2信號的頻譜【例題4-8】畫出周期信號的單邊振幅譜和相位譜。【解】顯然，只在1,5,8三個頻率點(diǎn)存在。正弦項要化成余弦項，即另外，因第3項為負(fù)號，所以，相位要變?yōu)橐虼?，單邊振幅頻譜和相位頻譜如圖4-15(a)和(b)所示。。604.2信號的頻譜614.2信號的頻譜【例題4-9】設(shè)周期矩形脈沖信號的脈沖寬度為，脈沖幅度為，周期為求該信號傅里葉級數(shù)的三角形式和指數(shù)形式?！窘狻扛鶕?jù)式（4-15），可求出復(fù)傅里葉系數(shù)。62

傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式：傅里葉級數(shù)的三角形式：4.2信號的頻譜63周期信號的頻譜具有以下特點(diǎn)：（1）離散性。譜線只在基波頻率的整數(shù)倍處出現(xiàn)，具有非周期的離散特性。（2）諧波性。各譜線以基波頻率為間隔等距分布，沒有基波頻率整數(shù)倍以外的頻率分量。（3）收斂性。各次諧波的振幅（譜線）總的變化趨勢是隨著諧波次數(shù)的增加而逐漸衰減。時域波形變化越慢，其頻譜的高頻分量衰減越快，高頻成分越少。反之，時域波形變化越快，頻譜高頻分量越多。4.2信號的頻譜644.2信號的頻譜為便于理解，可以把傅里葉級數(shù)對周期信號的分解與物理中三棱鏡對自然光的分解相對比：三棱鏡可以把自然光分解為不同波長的赤橙黃綠青藍(lán)紫七色光，而“傅里葉棱鏡”可以把周期信號分解為不同頻率的無窮個諧波信號。654.2信號的頻譜66

顯然，信號的頻譜給出了信號在時域中難以看出的物理特性，為信號的分析提供了新的概念和方法。因此，可以說傅氏級數(shù)（包括傅氏變換）架起了信號時域分析和頻域分析之間的“橋梁”，是信號分析的一種主要方法，在信號分析領(lǐng)域占有極其重要的地位。4.2信號的頻譜674.3.1系統(tǒng)函數(shù)找到了表征各種周期信號的“萬能鑰匙”——傅里葉級數(shù)，只是完成了系統(tǒng)分析的第一步，如何利用傅里葉級數(shù)，求得周期信號通過線性系統(tǒng)后的響應(yīng)才是我們的最終目標(biāo)。因此，還需要實現(xiàn)第二步，即研究系統(tǒng)對基本信號——正弦型信號的響應(yīng)。響應(yīng)相量與激勵相量之比稱為該系統(tǒng)的系統(tǒng)傳輸函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)可表示為：4.3傅氏級數(shù)分析法（4-30）（4-31）68雖然系統(tǒng)函數(shù)的定義是系統(tǒng)的輸出與輸入之比，但與輸出信號和輸入信號無關(guān)。一個系統(tǒng)一旦給定，激勵信號的改變而改變，其系統(tǒng)函數(shù)通過可以得到，即有：將式（4-30）寫為（4-33）（4-32）本身是反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的，也隨之而定，不會因所加4.3傅氏級數(shù)分析法69式（4-33）告訴我們：系統(tǒng)對一個單頻正弦型信號的響應(yīng)，可以通過系統(tǒng)函數(shù)與正弦激勵相量之積獲得。這就是我們第二步想要的結(jié)果。注意：對于傅氏級數(shù)而言，一個單頻正弦型信號就是一個諧波，因此，也可以說，系統(tǒng)對一個諧波的響應(yīng)，可以通過系統(tǒng)函數(shù)與諧波相量之積獲得。4.3傅氏級數(shù)分析法704.3傅氏級數(shù)分析法4.3.2傅里葉級數(shù)分析法第一步：將給定的周期信號用傅里葉級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式展開。由于頻譜的收斂性，所以，通常我們只需要取傅氏級數(shù)的有限項即可，比如?。?/p>

,，┅，最好將每個諧波寫