離散型隨機(jī)變量及其分布

【溫故知新】

隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．

隨機(jī)變量常用希臘字母X、Y、ξ、η等表示。1.隨機(jī)變量

2、離散型隨機(jī)變量

所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。

如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.

在隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子中，我們可以定義一個(gè)隨機(jī)變量X,X的值分別對(duì)應(yīng)試驗(yàn)所得的點(diǎn)數(shù).則X126543而且列出了X的每一個(gè)取值的概率．該表不僅列出了隨機(jī)變量X的所有取值．解：X的取值有1、2、3、4、5、6列成表的形式分布列X取每個(gè)值的概率分別是多少？【實(shí)例引入】X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率Xx1x2…xnPp1p2…pn為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱X的分布列.則稱表設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為定義:概率分布列（分布列）思考:根據(jù)隨機(jī)變量的意義與概率的性質(zhì)，你能得出分布列有什么性質(zhì)？注:1.離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：2.概率分布還經(jīng)常用圖象來(lái)表示.(這有點(diǎn)類似于函數(shù))【引出新知】也可用P(X=xi）＝pi，i=1,2,3…n表示X的分布列.2.概率分布還經(jīng)常用圖象來(lái)表示.O12345678p0.10.21、離散型隨機(jī)變量的分布列完全描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象。2、函數(shù)可以用解析式、表格或圖象表示，離散型隨機(jī)變量可以用分布列、等式或圖象來(lái)表示?？梢钥闯龅娜≈捣秶莧1,2,3,4,5,6},它取每一個(gè)值的概率都是。小試牛刀投擲均勻硬幣一次,隨機(jī)變量為（）A.擲硬幣的次數(shù)B.出現(xiàn)正面的次數(shù)C.出現(xiàn)正面或反面的次數(shù)D.出現(xiàn)正面與反面次數(shù)之和

【分析】在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,用來(lái)描述此隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量的形式多種多樣,但不論選其中的哪一種形式,它對(duì)應(yīng)的都是隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.同時(shí),隨機(jī)變量在選定標(biāo)準(zhǔn)之后,它是變化的.【解析】擲一枚硬幣,可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上.以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上次數(shù)來(lái)描述這一隨機(jī)試驗(yàn),那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量ξ,ξ的取值是0,1,故選B.而A項(xiàng)中擲硬幣的次數(shù)就是1,不是隨機(jī)變量;C項(xiàng)中標(biāo)準(zhǔn)模糊不清;D項(xiàng)中出現(xiàn)正面和反面次數(shù)的和必是1,對(duì)應(yīng)的是必然事件,試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果,也不是隨機(jī)變量.【評(píng)析】在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù),但這個(gè)數(shù)是預(yù)先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一個(gè)值,這便是“隨機(jī)”的本源.本題容易誤選C，認(rèn)為出現(xiàn)正面記為ξ=1，出現(xiàn)反面記為ξ=0，則隨機(jī)變量ξ是表示出現(xiàn)正面或反面的次數(shù).例1：拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為ξ，則ξ可能取的值有：2，3，4，……，12.ξ的概率分布為：ξ23456789101112ｐ【典例剖析】課堂練習(xí)：1、下列A、B、C、D四個(gè)表，其中能成為隨機(jī)變量的分布列的是（）A01P0.60.3B012P0.90250.0950.0025C012…nP…D212PB例2：已知隨機(jī)變量的分布列如下：－2－13210分別求出隨機(jī)變量⑴；⑵的分布列．解：且相應(yīng)取值的概率沒(méi)有變化∴的分布列為：－110⑴由可得的取值為、、0、、1、例2：已知隨機(jī)變量的分布列如下：－2－13210分別求出隨機(jī)變量⑴；⑵的分布列．解：∴的分布列為：⑵由可得的取值為0、1、4、90941課堂練習(xí)：3、設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：123…nPK2K4K…K求常數(shù)K。4、袋中有7個(gè)球，其中3個(gè)黑球，4個(gè)紅球，從袋中任取個(gè)3球，求取出的紅球數(shù)的分布列。同理，思考2.某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9,⑴如果命中了就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)的分布列;⑵如果命中2次就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)的分布列．解:⑴的所有取值為：1、2、3、4、5表示第一次就射中，它的概率為：表示第一次沒(méi)射中，第二次射中，∴表示前四次都沒(méi)射中，∴∴隨機(jī)變量的分布列為：43215思考2.某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9．⑵如果命中2次就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)的分布列．解：⑵的所有取值為：2、3、4、5表示前二次都射中，它的概率為：表示前二次恰有一次射中，第三次射中，∴表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部沒(méi)射中∴隨機(jī)變量的分布列為：同理5432作業(yè)：將一枚骰子擲2次,求下列隨機(jī)變量的概率分布.(1)兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)ξ;(2)兩次擲出的最小點(diǎn)數(shù)η;(3)第一次擲出的點(diǎn)數(shù)減去第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差ζ.解:(1)ξ=k包含兩種情況,兩次均為k點(diǎn),或一個(gè)k點(diǎn),另一個(gè)小于k點(diǎn),故P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,5,6.(3)ζ的取值范圍是-5,-4,…，4，5.ζ=-5,即第一次是1點(diǎn)，第二次是6點(diǎn)；……，從而可得ζ的分布列是：(2)η=k包含兩種情況,兩次均為k點(diǎn),或一個(gè)k點(diǎn),另一個(gè)大于k點(diǎn),故P(η=k)=,k=1,2,3,4,5,6.ζ-5-4-3-2-1012345p某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率為.（1）設(shè)ξ為他射擊6次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列；（2）設(shè)η為他第一次擊中目標(biāo)時(shí)所需要射擊的次數(shù)，求η的分布列；（3）若他連續(xù)射擊6次，設(shè)δ為他第一次擊中目標(biāo)前沒(méi)有擊中目標(biāo)的次數(shù)，求δ的分布列；（4）若他只有6顆子彈，若擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)ξ的分布列.【分析】這4個(gè)小題中的隨機(jī)變量的意義都很接近，因此準(zhǔn)確定義隨機(jī)變量的意義是解答的關(guān)鍵.【解析】（1）隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B(6,)，而ξ的取值為0,1,2,3,4,5,6,則

(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4,5,6).

故的分布列為：ξ0123456P

（2）設(shè)η=k表示他前k-1次未擊中目標(biāo)，而在第k次射擊時(shí)擊中目標(biāo)，則η的取值為全體正整數(shù)1,2,3,…

該人射擊過(guò)程可看作取球過(guò)程，擊中一次目標(biāo)看作取出一個(gè)綠球，而未擊中目標(biāo)看作取出一個(gè)紅球，所以η表示前k-1次取得紅球，而第k次取得綠球，這種取球顯然是有放回的取球，則

P(η=k)=(k=1,2,3,…).

故η的分布列為：ξ123…k…P……

（3）設(shè)δ=k表示前k次未擊中目標(biāo)，而第k+1次擊中目標(biāo)，δ的取值為0,1,2,3,4,5，當(dāng)δ=6時(shí)表示射擊6次均未擊中目標(biāo)，則

P(δ=k)=(k=0,1,2,3,4,5)，則P(δ=6)=.

故δ的分布列為：ξ0123456P

（4）設(shè)ξ=k表示前k-1次未擊中，而第k次擊中，k=1,2,3,4,5,∴P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5)；而ξ=6表示前5次未擊中，∴P(ξ=6)=.

故ξ的分布列為：ξ123456P課堂練習(xí)：4.設(shè)隨機(jī)變量只能取5、6、7、···、16這12個(gè)值，且取每一個(gè)值的概率均相等，則

,若則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．2、設(shè)隨機(jī)變量的分布列為則的值為

．8.2.4離散型隨機(jī)變量及其分布（2）

復(fù)習(xí)：離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi（i=1,2,…,n）的概率P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下：此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①

;②

.

pi≥0,i=1,2,…,n

根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列,有例1.

某一射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率.

分析:

“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件“ξ=7”,“ξ=8”,“ξ=9”,“ξ=10”

的和.解:P(ξ=7）＝0.09，P(ξ=8）＝0.28，P(ξ=9）＝0.29，P(ξ=10）＝0.22，所求的概率為P(ξ≥7）＝0.09+0.28+0.29+0.22=0.88【典型例題】【評(píng)析】從上面各小題可以看出求隨機(jī)變量的分布列，必須首先弄清ξ的含義及ξ的取值情況，并準(zhǔn)確定義“ξ=k”,問(wèn)題解答完全后應(yīng)注意檢驗(yàn)分布列是否滿足第二條性質(zhì).注意射擊問(wèn)題與返回抽樣問(wèn)題是同一類問(wèn)題.例2、隨機(jī)變量X的分布列為解:(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)有X-10123P0.16a/10a2a/50.3（1）求常數(shù)a;（2）求P(1<X<4)(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42解得：（舍）或例3、一個(gè)口袋里有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取出3只,以X表示取出的3個(gè)球中的最小號(hào)碼,試寫出X的分布列.解:隨機(jī)變量X的可取值為1,2,3.當(dāng)X=1時(shí),即取出的三只球中的最小號(hào)碼為1,則其它兩只球只能在編號(hào)為2,3,4,5的四只球中任取兩只,故有P(X=1)==3/5;同理可得P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10.因此,X的分布列如下表所示X123P3/53/101/10練習(xí)：將一枚骰子擲2次,求隨機(jī)變量?jī)纱螖S出的最大點(diǎn)數(shù)X的概率分布.P654321X注:在寫出X的分布列后，要及時(shí)檢查所有的概率之和是否為1．求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法步驟：1、找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值2、求出各取值的概率3、列成表格。例4一盒中放有大小相同的紅,綠,黃色三種小球，紅球數(shù)是綠球數(shù)的兩倍，黃球數(shù)是綠球數(shù)的一半，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，若取出紅球得1分,取出綠球得0分,取出黃球得-1分,試寫出從該盒內(nèi)隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列.P(ξ=1)=

=，P(ξ=-1)=

=

.

所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列為：ξ10-1P解：隨機(jī)變量X的可取值為1,0,-1.設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為ｎ，則綠球的個(gè)數(shù)為2ｎ,P(ξ=0)=

=

，紅球的個(gè)數(shù)為4ｎ,盒中球的個(gè)數(shù)為7ｎ,所以1、理解離散型隨機(jī)變量的分布列的意義，會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列；2、掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)基本性質(zhì)，并會(huì)用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；會(huì)求離散型隨機(jī)變量的概率分布列：(1)找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值(2)求出各取值的概率(3)列成表格。明確隨機(jī)變量的具體取值所對(duì)應(yīng)的概率事件從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽取到的可能性相同.在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)ξ的分布列.（1）每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；（2）每次取出的產(chǎn)品都立即放回此批產(chǎn)品中，然后再取出一件產(chǎn)品；（3）每次取出一件產(chǎn)品后總以一件合格品放回此批產(chǎn)品中.作業(yè)（1）ξ的取值為1,2,3,4.當(dāng)ξ=1時(shí)，即只取一次就取得合格品，故P（ξ=1）=.當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P（ξ=2）=×=.類似地，有P（ξ=3）=××=,P(ξ=4)=×××=.所以，ξ的分布列為：（2）ξ的取值為1,2,3,…,n,….當(dāng)=1時(shí)，即第一次就取到合格品，故（ξ=1）=.當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P（ξ=2）=×.當(dāng)ξ=3時(shí)，即第一、第二次均取到次品，而第三次取到合格品，ξ1234P故P(ξ=3)=××=×.類似地，當(dāng)ξ=n時(shí)，即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品，故P(ξ=n)=,n=1,2,3,…因此，ξ的分布列為：ξ123…n…P……（3）ξ的取值為1,2,3,4.當(dāng)ξ=1時(shí)，即第一次就取到合格品，故P(ξ=1)=.當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取時(shí)，這批產(chǎn)品有11個(gè)合格品，2個(gè)次品,故P(ξ=2)=×=;類似地，P(ξ=3)=××=,P(ξ=4)=×××=.ξ1234P因此，ξ的分布列為：作業(yè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),從袋中任取3個(gè)小球.按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分,每個(gè)小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字.求:(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;(2)隨機(jī)變量X的概率分布列;(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率.【分析】(1)是古典概型;(2)關(guān)鍵是確定X的所有可能取值;(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率等于X=3與X=4的概率之和.

【解析】(1)解法一:“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A，則P（A）=

解法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是對(duì)立事件，因?yàn)镻（B）=.

所以P(A)=1-P(B)=1-=.(2)由題意,X所有可能的