同角三角函數(shù)的基本關(guān)系+教學(xué)設(shè)計(jì) 年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊(cè)

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)—高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊(cè)一、教學(xué)內(nèi)容

教材章節(jié)：湘教版（2019）必修第一冊(cè)，第五章第二節(jié)第二小節(jié)

教學(xué)內(nèi)容：

1.三角函數(shù)的定義及相互關(guān)系

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，tan2α+1=sec2α，cot2α+1=csc2α

3.利用基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值

4.基本關(guān)系式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如角度轉(zhuǎn)換、三角函數(shù)的求解等

5.三角函數(shù)圖像的性質(zhì)與基本關(guān)系式的聯(lián)系二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：使學(xué)生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能利用這些關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值；

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)基本關(guān)系式的推導(dǎo)和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力；

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和合作意識(shí)。

以基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1為例，學(xué)生需要能夠理解這個(gè)關(guān)系式是如何推導(dǎo)出來(lái)的，以及如何利用這個(gè)關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值。在教學(xué)過(guò)程中，可以通過(guò)例題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解基本關(guān)系式的應(yīng)用，如：

例1：已知sinα=3/5，求cosα的值。

解：利用基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1，可以得到cos2α=1-sin2α。將sinα的值代入，可以求出cosα的值。

例2：已知sinα=3/5，cosα=4/5，求tanα的值。

解：利用基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1，可以得到tan2α=sin2α/cos2α。將sinα和cosα的值代入，可以求出tanα的值。三、學(xué)習(xí)者分析

1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

在學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的概念和基本性質(zhì)之后，學(xué)生已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)，掌握了正弦、余弦、正切等基本三角函數(shù)的定義和性質(zhì)。此外，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何利用直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系來(lái)求解三角函數(shù)的值，并了解了三角函數(shù)的一些基本關(guān)系式，如和角公式、積化和差公式等。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣可能與三角函數(shù)的應(yīng)用和實(shí)際問(wèn)題解決有關(guān)。他們可能對(duì)如何利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，如角度轉(zhuǎn)換、物理問(wèn)題的求解等，感到好奇和感興趣。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力可能因個(gè)體差異而有所不同，有的學(xué)生可能對(duì)抽象概念的理解和應(yīng)用能力較強(qiáng)，而有的學(xué)生可能更擅長(zhǎng)通過(guò)實(shí)際例子來(lái)理解和掌握知識(shí)。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格可能多樣化，有的可能喜歡通過(guò)直觀的圖像和實(shí)例來(lái)學(xué)習(xí)，有的可能更傾向于通過(guò)邏輯推理和證明來(lái)掌握知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)，可能遇到的困難和挑戰(zhàn)有：

-理解和記憶基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用方法；

-將基本關(guān)系式應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可能難以快速準(zhǔn)確地找到合適的公式；

-對(duì)基本關(guān)系式的理解和應(yīng)用可能存在一定的抽象性，需要通過(guò)大量的練習(xí)和實(shí)例來(lái)加深理解和掌握；

-在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可能難以將三角函數(shù)的基本關(guān)系式與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，需要通過(guò)教師的指導(dǎo)和示例來(lái)幫助理解和應(yīng)用。

為了幫助學(xué)生克服這些困難和挑戰(zhàn)，教師需要提供充足的練習(xí)和實(shí)例，幫助學(xué)生理解和掌握基本關(guān)系式的應(yīng)用方法。同時(shí)，教師需要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論和提問(wèn)，提供及時(shí)的反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解和應(yīng)用基本關(guān)系式。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備

1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，包括湘教版（2019）必修第一冊(cè)第五章第二節(jié)第二小節(jié)的內(nèi)容，以及相關(guān)的學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書和練習(xí)題。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如三角函數(shù)的圖像、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程等，以幫助學(xué)生更直觀地理解和掌握知識(shí)。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。準(zhǔn)備直角三角板、量角器、計(jì)算器等實(shí)驗(yàn)器材，以幫助學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證和理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等。將教室分為幾個(gè)小組討論區(qū)，每個(gè)小組配備一張桌子、幾把椅子，以及黑板和粉筆，以便學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行討論和交流。同時(shí)，設(shè)置一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，供學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

此外，教師還可以利用在線教學(xué)資源，如網(wǎng)絡(luò)課程、在線練習(xí)題庫(kù)等，為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和資源。同時(shí)，教師還可以利用社交媒體平臺(tái)，如微信、QQ等，與學(xué)生保持聯(lián)系，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提供必要的指導(dǎo)和幫助。五、教學(xué)過(guò)程

1.導(dǎo)入階段：

-教師展示一些生活中的三角函數(shù)應(yīng)用實(shí)例，如建筑物的設(shè)計(jì)、音樂(lè)的節(jié)奏等，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要性。

-教師提出一個(gè)問(wèn)題，如“如何在沒(méi)有量角器的情況下，計(jì)算一個(gè)角的正弦值？”激發(fā)學(xué)生的思考和好奇心，引導(dǎo)他們思考三角函數(shù)的基本關(guān)系式。

2.新課呈現(xiàn)：

-教師利用PPT或黑板，清晰、有條理地介紹同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，包括sin2α+cos2α=1，tan2α+1=sec2α，cot2α+1=csc2α。

-教師通過(guò)實(shí)例和圖表，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解這些基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用方法。

-教師利用動(dòng)畫和視頻，生動(dòng)地展示三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，幫助學(xué)生更好地理解和掌握基本關(guān)系式。

3.學(xué)生活動(dòng)：

-學(xué)生分成小組，討論并總結(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用方法。

-學(xué)生通過(guò)角色扮演，模擬生活中的三角函數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景，如建筑師設(shè)計(jì)建筑時(shí)的角度計(jì)算等，加深對(duì)基本關(guān)系式的理解和應(yīng)用。

-學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)上，使用直角三角板和量角器等實(shí)驗(yàn)器材，驗(yàn)證基本關(guān)系式的正確性。

4.鞏固練習(xí)：

-教師提供足夠的練習(xí)題，包括基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)和求值、實(shí)際問(wèn)題的解決等，幫助學(xué)生鞏固和加深對(duì)新知識(shí)的理解和記憶。

-教師設(shè)計(jì)一些拓展性的練習(xí)題，如利用基本關(guān)系式解決一些實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探索欲望和求知欲。

5.總結(jié)反饋：

-教師簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容和重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的重要性和應(yīng)用價(jià)值。

-教師提供及時(shí)的反饋，包括對(duì)學(xué)生表現(xiàn)的評(píng)價(jià)和建議，幫助學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)情況并進(jìn)行調(diào)整。

整個(gè)教學(xué)流程邏輯清晰、條理分明，各個(gè)環(huán)節(jié)之間銜接自然。教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和學(xué)習(xí)進(jìn)度進(jìn)行靈活調(diào)整，以確保教學(xué)效果的最大化。六、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.同角三角函數(shù)的定義及相互關(guān)系：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

a.sin2α+cos2α=1

b.tan2α+1=sec2α

c.cot2α+1=csc2α

3.利用基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值：

a.已知sinα和cosα，求tanα、secα、cscα

b.已知tanα和cosα，求sinα、secα、cscα

c.已知cotα和cosα，求sinα、secα、cscα

d.已知sinα和cotα，求cosα、secα、cscα

4.基本關(guān)系式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：

a.角度轉(zhuǎn)換：利用基本關(guān)系式將角度從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式，如將角度從弧度轉(zhuǎn)換為度數(shù)，反之亦然。

b.三角函數(shù)的求解：利用基本關(guān)系式求解三角函數(shù)的值，如求解sinα、cosα、tanα等。

5.三角函數(shù)圖像的性質(zhì)與基本關(guān)系式的聯(lián)系：

a.正弦函數(shù)（sinα）的圖像為周期性的波動(dòng)曲線，其最大值為1，最小值為-1。

b.余弦函數(shù)（cosα）的圖像為周期性的波動(dòng)曲線，其最大值為1，最小值為-1。

c.正切函數(shù)（tanα）的圖像為周期性的波動(dòng)曲線，其最大值為無(wú)窮大，最小值為-無(wú)窮大。

d.余切函數(shù)（cotα）的圖像為周期性的波動(dòng)曲線，其最大值為無(wú)窮大，最小值為-無(wú)窮大。

e.正割函數(shù)（secα）的圖像為周期性的波動(dòng)曲線，其最大值為無(wú)窮大，最小值為-無(wú)窮大。

f.余割函數(shù)（cscα）的圖像為周期性的波動(dòng)曲線，其最大值為無(wú)窮大，最小值為-無(wú)窮大。七、教學(xué)反思與改進(jìn)

今天，我們完成了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的教學(xué)，通過(guò)實(shí)例和圖表的展示，學(xué)生們對(duì)基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用方法有了初步的理解。但是在課堂中，我也發(fā)現(xiàn)了學(xué)生們?cè)诶斫夂蛻?yīng)用基本關(guān)系式時(shí)存在一些問(wèn)題。

首先，學(xué)生們對(duì)于基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程還不夠熟悉，他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往難以快速準(zhǔn)確地找到合適的公式。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中，通過(guò)更多的實(shí)例和練習(xí)題，幫助學(xué)生們加強(qiáng)對(duì)基本關(guān)系式的理解和記憶。

其次，學(xué)生們?cè)诶没娟P(guān)系式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往缺乏批判性思維和創(chuàng)新能力。為了培養(yǎng)學(xué)生的這些能力，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中，設(shè)計(jì)一些開放性的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生們通過(guò)自己的思考和探索，提出不同的解決方案。

另外，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)趯?shí)驗(yàn)操作中，對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的使用不夠熟練，影響了實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性和效率。為了提高學(xué)生們?cè)趯?shí)驗(yàn)操作中的熟練度，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中，增加一些實(shí)驗(yàn)操作的練習(xí)，幫助學(xué)生們熟悉實(shí)驗(yàn)器材的使用。八、板書設(shè)計(jì)

1.板書標(biāo)題：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

2.板書內(nèi)容：

-sin2α+cos2α=1

-tan2α+1=sec2α

-cot2α+1=csc2α

3.板書結(jié)構(gòu)：

-標(biāo)題：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

-內(nèi)容：

-sin2α+cos2α=1

-tan2α+1=sec2α

-cot2α+1=csc2α

4.板書藝術(shù)性和趣味性：

-標(biāo)題采用較大字號(hào)和醒目的字體，吸引學(xué)生的注意力

-內(nèi)容采用簡(jiǎn)潔明了的字體和格式，突出重點(diǎn)，方便學(xué)生閱讀和記憶

-在板書中加入一些趣味性的圖形和顏色，如使用三角函數(shù)的圖像和顏色來(lái)表示基本關(guān)系式，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性九、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)

課堂小結(jié)：

1.學(xué)生應(yīng)掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，包括sin2α+cos2α=1，tan2α+1=sec2α，cot2α+1=csc2α。

2.學(xué)生應(yīng)能夠利用基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，解決實(shí)際問(wèn)題。

3.學(xué)生應(yīng)了解基本關(guān)系式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如角度轉(zhuǎn)換、三角函數(shù)的求解等。

4.學(xué)生應(yīng)能夠理解三角函數(shù)圖像的性質(zhì)與基本關(guān)系式的聯(lián)系。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.請(qǐng)寫出以下角度的正弦值、余弦值和正切值：30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，210°，225°，240°，270°，300°，315°。

2.已知sinα=3/5，求cosα的值。

3.已知tanα=3/4，求cosα的值。

4.已知cotα=3/4，求sinα的值。

5.已知sinα=3/5，cosα=4/5，求tanα的值。

6.已知sinα=3/5，求secα的值。

7.已知cosα=4/5，求cscα的值。

8.已知sinα=3/5，求角度α的余弦值。

9.已知tanα=3/4，求角度α的正切值。

10.已知cotα=3/4，求角度α的余切值。

11.已知sinα=3/5，cosα=4/5，求角度α的正割值。

12.已知cosα