函數模型及其應用 高考數學一輪復習

第二單元基本初等函數第13課時函數模型及其應用第一部分大單元過關01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】理解幾類常見的函數模型，并能利用給定的函數模型或

建立擬合函數模型解決實際問題.【考情概述】函數模型的應用是新高考考查的重點內容之一，常以選

擇題或解答題的形式進行考查，通常源于實際問題，著重考查數學建模

思想，難度中等，屬于高頻考點.1.幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型

f

（

x

）＝

ax

＋

b

（

a

，

b

為常數，

a

≠0）二次函數模型

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

，

b

，

c

為常數，

a

≠0）與指數函數相關的模型

f

（

x

）＝

bax

＋

c

（

a

，

b

，

c

為常數，

a

＞0且

a

≠1，

b

≠0）與對數函數相關的模型

f

（

x

）＝

blogax

＋

c

（

a

，

b

，

c

為常數，

a

＞0

且

a

≠1，

b

≠0）知識梳理函數模型函數解析式與冪函數相關的模型

f

（

x

）＝

ax

α＋

b

（

a

，

b

，α為常數，

a

≠0）“對勾”函數模型

f

（

x

）＝

x

＋

（

a

為常數，

a

＞0）2.指數函數、對數函數、冪函數的性質比較

y

＝

ax

（

a

＞1）

y

＝

logax

（

a

＞1）

y

＝

x

α（α＞0）在區(qū)間（0，＋

∞）上的增減

性單調

?單調

?單調

?增長速度越來越

?越來越

?相對平穩(wěn)遞增遞增遞增快慢

y

＝

ax

（

a

＞1）

y

＝

logax

（

a

＞1）

y

＝

x

α（α＞0）圖象的變化隨

x

的增大逐漸

表現為與

?

?平行隨

x

的增大逐漸

表現為與

?

?平行隨α值的變化而

各有不同值的比較存在一個

x

0，當

x

＞

x

0時，有

logax

＜

x

α＜

ax

y

軸x

軸常用結論1.一般地，在描述現實問題的變化規(guī)律時，常用“指數爆炸”“直

線上升”“對數增長”等術語表示指數函數、一次函數、對數函數

的增長方式.2.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必

須驗證數學結果相對實際問題的合理性.3.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的

關鍵.回歸課本1.判斷：（1）

（RA一P102復習參考題3第14題改編）某件商品的進價為每件100

元，按進價上調10％后出售，后因庫存積壓降價，按9折出售，每件仍

能獲利.

（

?

）（2）

（RA一P136探究改編）函數

y

＝2

x

的函數值始終比

y

＝

x

2的函數

值大.

（

?

）

（4）

（RA一P136探究改編）函數

y

＝

ax

（

a

＞1）的增長速度最終會超

過

y

＝

kx

（

k

＞0）的增長速度.

（

√

）???√2.（RA一P155習題4.5第2題改編）在一次數學實驗中，某同學運用圖形

計算器采集到一組數據如下表：

x

－2－10123

y

0.240.5112.023.988.02在下列四個函數模型（

a

，

b

為待定系數）中，最能反映

x

，

y

的函數關

系的是（

B

）A.

y

＝

a

＋

bx

B.

y

＝

a

＋

bx

C.

y

＝

a

＋log

bx

D.

y

＝

a

＋

B3.（RA一P96習題3.4第3題改編）某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，給出了

以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10m3的，按每立方米

a

元收費；用

水超過10m3的，超出的部分加倍收費.某職工某月繳水費16

a

元，則該職

工這個月的實際用水量為（

A

）A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3A4.（多選）（RA一P155習題4.5第9題改編）如圖，某池塘里浮萍的面積

y

（單位：m2）與時間

t

（單位：月）的關系為

y

＝

at

，則下列說法正確

的是（

ABD

）A.浮萍面積每月的增長率為100％B.第5個月時，浮萍面積就會超過30m2C.浮萍每月增加的面積都相等D.若浮萍面積蔓延到2m2，3m2，6m2所經過的時間分別是

t

1，

t

2，

t

3，

則

t

1＋

t

2＝

t

3ABD5.（RA一P102復習參考題3第13題改編）如圖，△

OAB

是邊長為2的正

三角形.記△

OAB

位于直線

x

＝

t

（

t

＞0）左側的圖形的面積為

f

（

t

），

則函數

f

（

t

）的解析式為

.

f

（

t

）＝

考點一

利用函數圖象刻畫實際問題例1（1）

如圖所示為一魚缸的軸截面圖.已知該魚缸裝滿水時的水量

為

V

，缸高為

H

，其底部破了一個小洞，滿缸水從小洞中流出.若魚缸水

深為

h

時的水的體積為

v

，則函數

v

＝

f

（

h

）的大致圖象是（

B

）ABCDB

給出下列結論：①

在[

t

1，

t

2]這段時間內，甲企業(yè)的污水治理能力比乙

企業(yè)強；②

在

t

2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③

在

t

3時

刻，甲、乙兩個企業(yè)的污水排放都已達標；④

在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]這三段時間中，甲企業(yè)在[0，

t

1]這段時間內的污水治理能力最強.

其中，正確的是

（填序號）.①②③

總結提煉

判斷函數圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法（1）

構建函數模型法：當根據題意易建立函數模型時，先建立函數

模型，再結合模型選圖象.（2）

驗證法：當根據題意不易建立函數模型時，根據實際問題中兩

變量的變化特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不

符合實際的函數模型，選擇出符合實際情況的函數模型.[對點訓練]

1.某家電制造集團為盡快實現家電下鄉(xiāng)提出了四種運輸方案，據預測，

這四種方案均能在規(guī)定時間

T

內完成預期的運輸任務

Qo

，下列各種方案

的運輸總量

Q

與時間

t

的函數關系中，運輸效率（單位時間內的運輸

量）逐步提高的是（

B

）ABCDB

BA.戰(zhàn)國B.漢C.唐D.宋參考數據：log20.79≈－0.34.參考時間軸：

CA.30minB.40minC.60minD.90min總結提煉

求解已知函數模型解決實際問題的關注點（1）

認清所給函數模型，弄清哪些量為自變量，并設出待定系數.（2）

根據已知，利用待定系數法，確定模型中的待定系數.（3）

利用該函數模型，借助函數的性質等求解實際問題，并進行檢

驗.[對點訓練]

7.5

A.6B.5C.4D.3C（2）

某數學興趣小組進行社會調查，了解到某合作社為了實現100萬

元的利潤目標，準備制定激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過6

萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金

y

（單位：萬元）隨銷售利潤

x

（單位：萬元）的增加而增加，但獎金不超過3萬元，同時獎金不能超

過利潤的20％.同學們利用函數知識，設計了如下函數模型，其中符合

該合作社要求的是（參考數據：1.015100≈4.432）（

D

）A.

y

＝0.04

x

B.

y

＝1.015

x

－1C.

y

＝tan

D.

y

＝log11（3

x

－10）D

①

若欲將這杯茶水的溫度繼續(xù)降至35℃，則大約還需要多少分鐘（結

果精確到1min，參考數據：lg2≈0.30，lg3≈0.48）？

總結提煉

建立函數模型求解實際問題的步驟（1）

審題：弄清題意，分清條件和結論，根據數量關系，初步選擇

函數模型.（2）

建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語

言，利用數學知識，建立相應的函數模型.（3）

解模：求解函數模型，得出數學結論.（4）

還原：將數學問題還原為實際問題.

時間x/min012345水溫y/℃857975716865（1）

請選擇一個恰當的函數模型描述

y

與

x

之間的關系，并求出

k

，

a

的值（結果精確到0.01）；

對接高考1.（2022·北京卷）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用的高

效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術為實現綠色冬奧作出了貢獻.如

圖所示為在一定條件下，二氧化碳所處的狀態(tài)與

T

和lg

P

的關系，其中

T

表示溫度，單位是K；

P

表示壓強，單位是bar.下列結論正確的是

（

D

）A.當

T

＝220，

P

＝1026時，二