空間幾何體及其表面積與體積課件 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第48課時(shí)空間幾何體及其表面積與體積第七單元立體幾何01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征；會(huì)用

斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖；了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面

積和體積的計(jì)算公式.【考情概述】空間幾何體及其表面積與體積是新高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容

之一，常以選擇或填空題的形式進(jìn)行考查，難度中等，屬中頻考點(diǎn).

知識(shí)梳理1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形

含義由一個(gè)平面多邊形

沿某一方向平移形

成的空間幾何體叫

做棱柱當(dāng)棱柱的一個(gè)底面

收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，

得到的幾何體叫做

棱錐用一個(gè)

?

?的平面去

截棱錐，得到兩個(gè)

幾何體，一個(gè)仍然

是棱錐，另一個(gè)我

們稱之為棱臺(tái)平行于棱

錐底面名稱棱柱棱錐棱臺(tái)側(cè)棱平行且相等相交于

?，

但不一定相等延長線交于

?

?側(cè)面

形狀平行四邊形三角形梯形平行且相等一點(diǎn)一

點(diǎn)平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形

母線互相平行且相

等，

?于底

面相交于

?

?延長線交

于

?軸截

面全等的

?全等的

?

?全等的

?

?圓垂直一

點(diǎn)一點(diǎn)矩形等

腰三角形等

腰梯形圓名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球側(cè)面

展開

圖矩形扇形扇環(huán)矩形扇形3.直觀圖（斜二測畫法）（1）

原圖形中

x

軸、

y

軸、

z

軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角

為

，z'軸與x'軸和y'軸所在平面

?.（2）

原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍

?，

平行于

x

軸和

z

軸的線段在直觀圖中保持原長度

，平行于

y

軸的

線段在直觀圖中長度為

?.4.多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面

積之和，表面積是側(cè)面積與底面積之和.45°或135°

垂直平行于坐標(biāo)軸不變?cè)瓉淼囊话?.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展

開圖

側(cè)面積

公式

S

圓柱側(cè)＝

?

S

圓錐側(cè)＝

?

S

圓臺(tái)側(cè)＝

?

?2π

rl

π

rl

π（

r

1＋

r

2）

l

6.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積表面積體積柱體（棱柱和圓柱）

S

表面積＝

??

V

＝

?錐體（棱錐和圓錐）

S

表面積＝

?

V

＝

?臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）

S

表面積＝

?

?

V

＝

?

?球

S

＝

?

V

＝

?S

側(cè)＋2

S

底

Sh

S

側(cè)＋

S

底

S

側(cè)＋

S

上＋

S

下

4π

R

2

常用結(jié)論1.兩個(gè)重要概念（1）

正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的

直棱柱叫做正棱柱.（2）

正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的

中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫做正四面體.2.柱體、錐體、臺(tái)體體積之間的關(guān)系：3.特殊的四棱柱：上述四棱柱有以下集合關(guān)系：{正方體}?{正四棱柱}?{長方體}?{直平

行六面體}?{平行六面體}?{四棱柱}.

??√√2.（RA二P106習(xí)題8.1第8題改編）如圖，長方體

ABCD

－A'B'C'D'被截

去一小部分，其中

EH

∥B'C'∥

FG

，則剩下的幾何體是（

C

）A.棱臺(tái)B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱3.（RA二P119練習(xí)第1題改編）用一張長為8、寬為4的矩形硬紙卷成圓

柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是（

D

）A.2B.2πC.

或

D.

或

CD4.（多選）（RA二P99定義改編）下列四個(gè)命題中，假命題是

（

ABC

）A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的幾何體是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體D.底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱ABC5.（RA二P119練習(xí)第2題改編）若一個(gè)球的體積和表面積的數(shù)值相等，

則其半徑是

.

3

考點(diǎn)一

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖例1（1）

給出下列命題：①

在圓柱的上、下底面的圓周上各取一

點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②

直角三角形繞其任一邊所在直

線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③

棱臺(tái)的上、下底面可以不相

似，但側(cè)棱長一定相等.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

A

）A.0B.1C.2D.3A解：只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線.故①是假命題.當(dāng)繞斜邊

所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，形成的幾何體是兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體.故

②是假命題.棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱

延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.故③是假命題.綜上所述，真

命題的個(gè)數(shù)是0.（2）

給出下列說法：①

棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊

形；②

在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四

棱柱為直四棱柱；③

存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④

棱臺(tái)的

側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中，正確的是（

C

）A.②③B.①③④C.②③④D.①④C（3）

已知正三角形

ABC

的邊長為

a

，則△

ABC

的平面直觀圖△A'B'C'

的面積為（

D

）A.

a

2B.

a

2C.

a

2D.

a

2D（4）

如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑

為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)

P

出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后

回到點(diǎn)

P

，則小蟲爬行的最短路程為（

A

）A.12

B.16C.24D.24

A總結(jié)提煉

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析，關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概

念，善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)注意用好

軸截面中各元素的關(guān)系.3.斜二測畫法畫直觀圖（1）

“斜”指兩坐標(biāo)軸成45°或135°；“二測”指平行于

y

軸的線

段長度減半，平行于

x

軸的線段長度不變.（2）

按斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積

的關(guān)系為

S

直觀圖＝

S

原圖形.4.多面體表面展開圖可以有不同的形狀，一定要先觀察立體圖形的每

一個(gè)面的形狀.

A.3，

B.4，

C.4，

D.3，

C[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

（2）

如圖，四面體各個(gè)面都是邊長為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一

個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是該圓柱的上底面圓心，則圓柱的

表面積是

?.12

總結(jié)提煉

1.求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖

形平面化.2.求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，先求常見柱、錐、臺(tái)體的表面積，再

通過求和或作差求得所求幾何體的表面積.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2.已知圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，其高為3，則此圓錐的表面積

為

?.9π

CA.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m3

總結(jié)提煉

1.對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用相應(yīng)體積公式計(jì)算即可.2.注意數(shù)據(jù)的處理，加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練.考向2

割補(bǔ)法、等積法求體積例4（1）

如圖，在多面體

ABCDEF

中，四邊形

ABCD

是邊長為1的正

方形，且△

ADE

，△

BCF

均為正三角形，

EF

∥

AB

，

EF

＝2，則該多

面體的體積為

?.（2）

在棱長為2的正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分別為棱

BB

1，

AB

的中點(diǎn)，則三棱錐

A

1－

D

1

MN

的體積為

.

1

總結(jié)提煉

1.不規(guī)則幾何體（割補(bǔ)法）：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過

分割或補(bǔ)形，將此幾何體變成一個(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何

體，然后再計(jì)算.2.三棱錐（等積法）：利用三棱錐的“等積性”，可將任意一個(gè)面作

為三棱錐的底面，關(guān)鍵是這個(gè)底面對(duì)應(yīng)的高易求.3.（2023·日照三模）祖暅，南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家，他在實(shí)踐的基

礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平

面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得

的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.請(qǐng)同學(xué)們借

助圖①運(yùn)用祖暅原理解決如下問題：如圖②，有一個(gè)倒圓錐形容器，它

的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為2的球，再注入水，

使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容

器底部），則容器中水的體積為

?.12π

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]解：如圖①，圓柱、圓錐的底面半徑、高與半球的半徑相等.設(shè)半球的

截面圓（涂色部分）