陜西省西安市工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

陜西省西安市工業(yè)大學(xué)附屬中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）計算的值是（）A．72 B．102 C．507 D．5102．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a9＝4a52，a2＝1，則a1＝（）A．4 B．2 C．1 D．3．（5分）某校迎新晚會上有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個節(jié)目，為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目A，B不相鄰，節(jié)目D，F(xiàn)必須連在一起，則不同的節(jié)目編排方案種數(shù)為（）A．60 B．72 C．120 D．1444．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．5．（5分）設(shè)隨機變量X服從兩點分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，則D（X）＝（）A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.76．（5分）的展開式中，第四項和第五項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中有理項的項數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是（）A．420 B．180 C．64 D．258．（5分）已知實數(shù)a，b，c成公差非零的等差數(shù)列，集合A＝{（x，y）|ax+by+c＝0}，P（﹣3，2），N（2，3），M∈A，若∥（a，b），則|MN|的最大值是（）A．4 B．5 C． D．二、多選題：（本大題共3小題，每個小題6分，共18分.全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的得0分.）（多選）9．（6分）若P（A）＝，P（B）＝，P（B|A）＝，則下列說法正確的是（）A． B．事件A與B相互獨立 C． D．（多選）10．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線C：y2＝4x的焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，則（）A．|AB|的最小值為2 B．以線段AF為直徑的圓與y軸相切 C． D．（多選）11．（6分）若，則下列等式正確的有（）A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)3＝160 C．a(chǎn)0+a2+a4+a6＝365 D．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+6a6＝12三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在答題卡中的橫線上.）12．（5分）的展開式中x2y6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．13．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，點P在橢圓C上，若，則|PF1|?|PF2|＝．14．（5分）設(shè)函數(shù)（a，b∈R）在區(qū)間[1，3]上總存在零點，則a2+b2的最小值為．四、解答題：（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）中國傳統(tǒng)文化中，過春節(jié)吃餃子，餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好．現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”，乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個三鮮餡的“餃子”和4個青菜餡的“餃子”．問：（1）從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？（2）若依次從甲箱中取出兩盒“餃了”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；（3）若先從甲箱中隨機取出一盒“餃子”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率．16．（15分）已知函數(shù)．（1）求f（x）的最值；（2）求曲線y＝f（x）過點（0，2）的切線方程．17．（15分）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…，（510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖（如圖）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取的20件產(chǎn)品中任取3件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；（3）從該流水線上任取5件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的數(shù)學(xué)期望和方差．18．（17分）已知雙曲線C：經(jīng)過點，右焦點為F（c，0），且c2，a2，b2成等差數(shù)列．（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的右支交于P，Q兩點（P在Q的上方），PQ的中點為M，M在直線l：x＝2上的射影為N，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△POQ的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為k1，k2，證明：是定值．19．（17分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為區(qū)間D，若對于給定的非零實數(shù)m，存在x0，使得f（x0）＝f（x0+m），則稱函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上具有性質(zhì)P（m）．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x2在區(qū)間[﹣1，1]上是否具有性質(zhì)P（），并說明理由；（2）若函數(shù)f（x）＝sinx在區(qū)間（0，n）（n＞0）上具有性質(zhì)P（），求n的取值范圍；（3）已知函數(shù)y＝f（x）的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且f（0）＝f（2），求證：函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[0，2]上具有性質(zhì)P（）．參考答案與試題解析一、單選題：（本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）計算的值是（）A．72 B．102 C．507 D．510【解答】解：2+3＝2+3＝2×21+3×20＝102．故選：B．2．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a9＝4a52，a2＝1，則a1＝（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），由a3?a9＝4a，得a1q2?a1q8＝4（a1q4）2，則q2＝4，解得q＝2，又a2＝1，所以a1＝＝．故選：D．3．（5分）某校迎新晚會上有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個節(jié)目，為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目A，B不相鄰，節(jié)目D，F(xiàn)必須連在一起，則不同的節(jié)目編排方案種數(shù)為（）A．60 B．72 C．120 D．144【解答】解：先將兩個節(jié)目D，F(xiàn)捆綁成一個元素，與節(jié)目C，E進(jìn)行全排列，再將節(jié)相A，B插入四個空檔中，所以共有＝144種不同的結(jié)果．故選：D．4．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：觀察函數(shù)y＝f（x）的圖象知，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，故y＝f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，f（x）在（﹣∞，0）從左到右，先增再減最后增，故y＝f′（x）在（﹣∞，0）從左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，故選：A．5．（5分）設(shè)隨機變量X服從兩點分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，則D（X）＝（）A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.7【解答】解：因為隨機變量X服從兩點分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1，又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，所以解得P（X＝1）＝0.7，P（X＝0）＝0.3，所以E（X）＝1×0.7+0×0.3＝0.7，D（X）＝（0﹣0.7）2×0.3+（1﹣0.7）2×0.7＝0.21．故選：A．6．（5分）的展開式中，第四項和第五項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中有理項的項數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由于的展開式中，第四項和第五項的二項式系數(shù)相等，故，故n＝7．所以＝，當(dāng)r＝0，2，4，6時，展開式為有理項，故有理項的項數(shù)為4．故選：B．7．（5分）將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是（）A．420 B．180 C．64 D．25【解答】解：方法一：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，A，D不同色，D有3種，C有2種涂法，有5×4×3×2＝120種，A，D同色，D有4種涂法，C有3種涂法，有5×4×3＝60種，∴共有180種不同的涂色方案．方法二：分步，比如先排BCD，兩兩不同色，有5×4×3＝60種，再排A，只要與BC不同，有3種，故共180種故選：B．8．（5分）已知實數(shù)a，b，c成公差非零的等差數(shù)列，集合A＝{（x，y）|ax+by+c＝0}，P（﹣3，2），N（2，3），M∈A，若∥（a，b），則|MN|的最大值是（）A．4 B．5 C． D．【解答】解：a、b、c成公差非零的等差數(shù)列，則2b＝a+c，動直線l：ax+by+c＝0變形為a（2x+y）+c（y+2）＝0，令，解得，動直線l過定點Q（1，﹣2），直線l：ax+by+c＝0的一個法向量為＝（a，b），若∥（a，b），則MP⊥直線l，M點在以PQ為直徑的圓上，圓心為PQ中點C（﹣1，0），半徑r＝|PC|＝＝2，|NC|＝＝3，則|MN|的最大值為32＝5．故選：D．二、多選題：（本大題共3小題，每個小題6分，共18分.全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的得0分.）（多選）9．（6分）若P（A）＝，P（B）＝，P（B|A）＝，則下列說法正確的是（）A． B．事件A與B相互獨立 C． D．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，P（B|A）＝，變形可得P（AB）＝P（A）P（B|A）＝×＝，A正確；對于B，P（AB）≠P（A）P（B），則事件A、B不相互獨立，B錯誤；對于C，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝，C正確；對于D，P（B）＝，P（AB）＝P（A）P（B|A）＝×＝，∴P（A|B）＝＝＝，D正確．故選：ACD．（多選）10．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線C：y2＝4x的焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，則（）A．|AB|的最小值為2 B．以線段AF為直徑的圓與y軸相切 C． D．【解答】解：由題意可知：拋物線C：y2＝4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線為x＝﹣1，且直線l的斜率可以不存在，但不為0，設(shè)直線l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，消去x可得y2﹣4my﹣4＝0，則Δ＝16m2+16＞0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，可得，，對于選項A：因為|AB|＝4（m2+1）≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時，等號成立，所以|AB|的最小值為4，故A錯誤；對于選項B：因為線段AF的中點為，則M到y(tǒng)軸的距離，以線段AF為直徑的圓的半徑為，即圓心到y(tǒng)軸的距離等于該圓半徑，故y軸與該圓相切，故B正確；對于選項C：因為＝，所以，故C正確；對于選項D：因為＝x1x2+y1y2＝（my1+1）（my2+1）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1＝﹣4（m2+1）+4m2+1＝﹣3≠0，故D錯誤．故選：BC．（多選）11．（6分）若，則下列等式正確的有（）A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)3＝160 C．a(chǎn)0+a2+a4+a6＝365 D．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+6a6＝12【解答】解：對于A，令x＝﹣1，則，故A正確，對于B，，因此，故B錯誤，對于C，令x＝0，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1，令x＝﹣2，則，兩式相加可得，故C正確，對于D，對兩邊求導(dǎo)得，令x＝0得a1+2a2+3a3+?+6a6＝12，故D正確．故選：ACD．三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在答題卡中的橫線上.）12．（5分）的展開式中x2y6的系數(shù)為﹣28（用數(shù)字作答）．【解答】解：由已知可得，所以由二項式定理可得多項式的展開式中含x2y6的項為，的展開式中x2y6的系數(shù)為﹣28．故答案為：﹣28．13．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，點P在橢圓C上，若，則|PF1|?|PF2|＝2．【解答】解：已知點P在橢圓C上，且，可得，又由橢圓，得c2＝5﹣1＝4，|PF1|+|PF2|＝2a＝2，∴，而，可得|PF1|?|PF2|＝2．故答案為：2．14．（5分）設(shè)函數(shù)（a，b∈R）在區(qū)間[1，3]上總存在零點，則a2+b2的最小值為．【解答】解：設(shè)t為函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的零點，∵函數(shù)（a，b∈R）在區(qū)間[1，3]上總存在零點，∴+a（t﹣1）+b＝0，即（t﹣1）a+b+＝0，∴點P（a，b）是直線（t﹣1）x+y+＝0上的點，∴≥，化為：a2+b2≥，令g（t）＝，t∈[1，3]，則g′（x）＝＝，∵1≤t＜2時，g′（x）＜0；2＜t≤3時，g′（x）＞0．∴函數(shù)g（t）在[1，2）上單調(diào)遞減．在（2，3]上單調(diào)遞增．∴t＝2時，函數(shù)g（t）取得極小值即最小值，g（2）＝，∴a2+b2≥，．則a2+b2的最小值為．故答案為：．四、解答題：（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）中國傳統(tǒng)文化中，過春節(jié)吃餃子，餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好．現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”，乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個三鮮餡的“餃子”和4個青菜餡的“餃子”．問：（1）從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？（2）若依次從甲箱中取出兩盒“餃了”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；（3）若先從甲箱中隨機取出一盒“餃子”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率．【解答】解：（1）設(shè)事件A＝“取出餃子是肉餡”，，（2）設(shè)事件B＝“甲箱中取出的第一盒餃子是肉餡”，事件C＝“取出第二個盒餃子是三鮮餡”，（3）設(shè)事件D＝“從乙箱取出的“餃子”是肉餡”．設(shè)事件A1，A2，A3分別是甲箱中取出肉餡的“餃子”，三鮮餡的“餃子”和青菜餡的“餃子”，P（D）＝P（A1）P（D|A1）+P（A2）P（D|A2）+P（A3）P（D|A3）＝16．（15分）已知函數(shù)．（1）求f（x）的最值；（2）求曲線y＝f（x）過點（0，2）的切線方程．【解答】解：（1）由已知可得，f（x）的定義域為（0，+∞），且．當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，則f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．所以f（x）在x＝2處取得唯一極小值，也是最小值．所以f（x）的最小值為，無最大值．（2）設(shè)切點為A（x0，y0），則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y＝f（x）在A（x0，y0）處的斜率，則＝，所以，整理可得，．設(shè)g（x）＝x2+4lnx﹣1，則在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．又g（1）＝1+0﹣1＝0，所以g（x）存在唯一解x＝1．所以的解為x0＝1，切點A（1，0），此時斜率為k＝f′（1）＝﹣2，切線方程為y＝﹣2（x﹣1），整理可得切線方程為2x+y﹣2＝0．17．（15分）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…，（510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖（如圖）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取的20件產(chǎn)品中任取3件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；（3）從該流水線上任取5件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的數(shù)學(xué)期望和方差．【解答】解：（1）質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為20×0.3＝6（件）；（2）重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為6件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為14件，X的取值可能為0，1，2，3，X服從超幾何分布，，，故X的分布列為：X0123P（3）由質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為0.3，故可估計從該流水線上任取1件產(chǎn)品質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的概率為0.3，從流水線上任取5件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成5次獨立重復(fù)試驗，即Y～B（5，0.3），則E（Y）＝5×0.3＝1.5，D（Y）＝5×0.3×（1﹣0.3）＝1.05．18．（17分）已知雙曲線C：經(jīng)過點，右焦點為F（c，0），且c2，a2，b2成等差數(shù)列．（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的右支交于P，Q兩點（P在Q的上方），PQ的中點為M，M在直線l：x＝2上的射影為N，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△POQ的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為k1，k2，證明：是定值．【解答】解：（1）因為c2，a2，b2成等差數(shù)列，所以2a2＝c2+b2，又c2＝a2+b2，所以a2＝2b2．將點的坐標(biāo)代入C的方程得，解得b2＝3，所以a2＝6，所以C的方程為．（2）證明：依題意可設(shè)PQ：x＝my+3，由，得（m2﹣2）y2+6my+3＝0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），y1＞y2，則．，，則＝，而，所以＝，所以是定值．19．（17分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為區(qū)間D，若對于給定的非零實數(shù)m，存在x0，使得f（x0）＝f（x0+m），則稱函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上具有性質(zhì)P（m）．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x2在區(qū)間[﹣1，1]上是否具有性質(zhì)P（），并說明理由；（2）若函數(shù)f（x）＝sinx在區(qū)間（0，n）（n＞0）上具有性質(zhì)P