解密03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練（新高考專用）

解密05導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及計算從近三年高考情況來看，導(dǎo)數(shù)的概念及計算一直是高考中的熱點(diǎn)，對本知識的考查主要是導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等內(nèi)容，常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時也會作為解答題中的一問．解題時要掌握函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義、幾何意義以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般以基本初等函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識及應(yīng)用，題型有選擇題、填空題，也有解答題中的一問，難度一般較大，常以把關(guān)題的位置出現(xiàn)．解題時要熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值之間的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)工具性的作用，注重數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用．2021年全國新課標(biāo)乙112021年全國新課標(biāo)甲132021課標(biāo)全國Ⅰ72020課標(biāo)全國Ⅰ62020課標(biāo)全國Ⅲ102019課標(biāo)全國Ⅰ132019課標(biāo)全國Ⅱ202019課標(biāo)全國Ⅲ62018課標(biāo)全國Ⅰ52018課標(biāo)全國Ⅱ132018課標(biāo)全國Ⅲ14★★★★★導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2021課標(biāo)全國Ⅰ212021課標(biāo)全國Ⅱ222021年全國新課標(biāo)乙212021年全國新課標(biāo)甲222020課標(biāo)全國Ⅰ212020課標(biāo)全國Ⅱ212020課標(biāo)全國Ⅲ212019課標(biāo)全國Ⅰ202019課標(biāo)全國Ⅱ202019課標(biāo)全國Ⅲ202018課標(biāo)全國Ⅰ212018課標(biāo)全國Ⅱ212018課標(biāo)全國Ⅲ21★★★★★核心考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義☆技巧點(diǎn)撥☆導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，考查題型多為選擇題或填空題，有時也會作為解答題中的第一問，難度一般不大，屬中低檔題型，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，常見的類型及解法如下：（1）已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求y=f(x)過點(diǎn)P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程；（2）已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過方程k=f′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y=f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程．（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由k=f′(x0)求出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)，最后寫出切線方程．（5）①在點(diǎn)P處的切線即是以P為切點(diǎn)的切線，P一定在曲線上．②過點(diǎn)P的切線即切線過點(diǎn)P，P不一定是切點(diǎn)．因此在求過點(diǎn)P的切線方程時，應(yīng)首先檢驗點(diǎn)P是否在已知曲線上．例題1．若直線與曲線相切，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，，可得切線的斜率為，則，所以，又切點(diǎn)也在直線上，則，，，設(shè)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，可得的最大值為，即的最大值為.故選：D.例題2．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】，依題意可得，即，因為，所以.故選：D例題3．若，則的切線的傾斜角滿足（）A．一定為銳角 B．一定為鈍角C．可能為直角 D．可能為0°【答案】A【分析】，設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，而，所以時，，所以，切線斜率均為正數(shù)，傾斜角為銳角．故選：A．例題4．已知，若過一點(diǎn)可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，則切線斜率為，所以，切線方程為，即，所以，，可得，令，其中，由題意可知，方程有兩個不等的實根..①當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程至多只有一個根，不合乎題意；②當(dāng)時，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.由題意可得，可得.故選：A.例題5．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由得，當(dāng)時，，解得，所以，.故選：B例題6．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”．在下列函數(shù)中，在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：對于A：，則，恒成立，故A錯誤；對于B：，則，，所以當(dāng)時恒成立，故B錯誤；對于C：，則，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，故C錯誤；對于D：則，，所以當(dāng)時恒成立，故D正確；故選：D例題7．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，，當(dāng)時，，，原函數(shù)單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，此時，，所以，當(dāng)時，，此時，，所以，所以當(dāng)時，，又因為是奇函數(shù)，當(dāng)時，，求，分兩種情況求解，當(dāng)時，，只需，解得，當(dāng)時，，只需，解得所以的范圍是故選：A考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的在研究函數(shù)中應(yīng)用☆技巧點(diǎn)撥☆函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是高考中的一個重點(diǎn)內(nèi)容，題型多以解答題的形式呈現(xiàn)．常見的題型及其解法如．由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)(在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；（2）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；（3）若已知在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．4．利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時，一般先由零點(diǎn)的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解．例題1．函數(shù)，若滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，且，∴函數(shù)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)．于是，可以變?yōu)椋?，∴，而，可知實?shù)，故實數(shù)的取值范圍為．故選：C.例題2．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造，則，且，故在上單調(diào)遞減；又為上的奇函數(shù)，故可得，即，則.則不等式等價于，又因為是上的單調(diào)減函數(shù)，故解得.選：A.例題3．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】解：由題意有兩個不等實根，即有兩個不等實根，設(shè)，則，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，時，為極大值也是最大值，時，，且，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點(diǎn)，即有兩個不等實根．故選：B例題4．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，因為，，，所以最大，又因為，，所以，所以，故選：B.例題5．若直線與曲線相切，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，，可得切線的斜率為，則，所以，又切點(diǎn)也在直線上，則，，，設(shè)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，可得的最大值為，即的最大值為.故選：D.例題6．已知函數(shù)恒有零點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令得：，令，則，，即，，令，則，由恒成立知，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，時方程恒有根，即，故選：D考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用二熱點(diǎn)題型歸納【題型一】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【題型二】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【題型三】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題例題1已知函數(shù)的定義域為．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)【解析】（1），因為，所以的零點(diǎn)為0和1.令，得；令，得或.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，在上的極大值為，極小值為，因為，，所以.，由，得.當(dāng)或時，的零點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng)或時，的零點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)或時，的零點(diǎn)個數(shù)為2；當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為3.例題2已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，若方程在有且只有兩個解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題可得，函數(shù)的定義域為，所以.當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，則的增區(qū)間為.當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和.當(dāng)時，，則的增區(qū)間為.當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和.（2）.在上有兩個零點(diǎn)，即關(guān)于方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.令，，則.令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.因為，所以當(dāng)時，有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，即，所以單調(diào)遞增.因為，，，所以的取值范圍是.☆技巧點(diǎn)撥☆1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的思路判斷函數(shù)在某區(qū)間[a,b]((a,b))內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)時,主要思路為:一是由f(a)·f(b)<0及零點(diǎn)存在性定理,說明在此區(qū)間上至少有一個零點(diǎn);二是求導(dǎo),判斷函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,若函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,則說明至多只有一個零點(diǎn);若函數(shù)在區(qū)間[a,b]((a,b))上不單調(diào),則要求其最大值或最小值,借用圖象法等判斷零點(diǎn)個數(shù).2.利用函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(a=g(x))后,將問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題(優(yōu)選分離,次選分類)求解.(2)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.【題型二】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例題3已知函數(shù)且.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.【解析】（1），，即,解得或.，解得，∴,∴，令，得.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）要證成立，只需證成立.令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又由（1）可得在上，所以，所以，所以原不等式成立.例題4已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1）解：的定義域為，.①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有一個零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（i）若，則，故至多有一個零點(diǎn)，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個零點(diǎn)，分別在，內(nèi).綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調(diào)遞減，則，即，∴在上單調(diào)遞減，從面，∴得證，即得證.☆技巧點(diǎn)撥☆1.證明不等式的基本方法(1)利用單調(diào)性:若f(x)在[a,b]上是增函數(shù),則①?x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②?x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.(2)利用最值:若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),則?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)構(gòu)造法:如若證明f(x)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)<0.2.證明含雙變量不等式的常見思路(1)將雙變量中的一個看作變量,另一個看作常數(shù),構(gòu)造一個含參數(shù)的輔助函數(shù)證明不等式.(2)整體換元.對于齊次式往往可將雙變量整體換元,化為一元不等式.(3)若雙變量的函數(shù)不等式具有對稱性,并且可以將兩個變量分離開,分離之后的函數(shù)結(jié)構(gòu)具有相似性,從而構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明.【題型三】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題例題5已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,x)(x≠0).(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若f(x)<a在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的最小值.【解析】(1)f′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，令g(x)＝xcosx－sinx，x∈，則g′(x)＝－xsinx，顯然，當(dāng)x∈時，g′(x)＝－xsinx<0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且g(0)＝0.從而g(x)在區(qū)間上恒小于零，所以f′(x)在區(qū)間上恒小于零，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)不等式f(x)<a，x∈恒成立，即sinx－ax<0恒成立.令φ(x)＝sinx－ax，x∈，則φ′(x)＝cosx－a，且φ(0)＝0.當(dāng)a≥1時，在區(qū)間上φ′(x)<0，即函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減，所以φ(x)<φ(0)＝0，故sinx－ax<0恒成立.當(dāng)0<a<1時，φ′(x)＝cosx－a＝0在區(qū)間上存在唯一解x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，φ′(x)>0，故φ(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，且φ(0)＝0，從而φ(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.當(dāng)a≤0時，在區(qū)間上φ′(x)>0，即函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增，且φ(0)＝0，得sinx－ax>0恒成立，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.故實數(shù)a的最小值為1.例題6已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，定義域為，，當(dāng)時，令，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；函數(shù)的極小值為，函數(shù)的極大值為.（2）令，在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零.由得：，，，又，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，此時不成立，②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，；由可得：，，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【提分秘籍】1.分離參數(shù)法解含參不等式