第6講 函數(shù)的單調(diào)性與最值-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一講義（解析版）

第六講函數(shù)的第六講函數(shù)的單調(diào)性與最值 教材要點學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向1.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間數(shù)學(xué)抽象水平1水平21.理解函數(shù)的單調(diào)性的定義，會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，會求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.理解函數(shù)最值的概念，會求某些簡單函數(shù)的最值。3.了解函數(shù)的增減性及最值與定義區(qū)間有關(guān)，掌握一些簡單函數(shù)的單調(diào)性，會求它們在某一區(qū)間上的最值?！究疾閮?nèi)容】判斷函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間，討論含參函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值?！究疾轭}型】選擇題、填空題【分值情況】5-10分2.函數(shù)的最大值和最小值數(shù)學(xué)運算水平2水平23.函數(shù)單調(diào)性中的幾個重要結(jié)論數(shù)學(xué)推理水平1水平14.函數(shù)的單調(diào)性與最值直觀想象水平1水平2知識通關(guān)知識通關(guān)知識點1增函數(shù)與減函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域為I，對任意知識點2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．知識點3函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的，都有存在，使得結(jié)論稱M是函數(shù)的最大值稱M是函數(shù)的最小值幾何意義圖象上最高點的縱坐標(biāo)圖象上最低點的縱坐標(biāo)題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間規(guī)律方法（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法①①作出函數(shù)圖象；②把函數(shù)圖象向軸作正投影；③圖象上升對應(yīng)增區(qū)間，圖象下降對應(yīng)減區(qū)間（2）常見函數(shù)的單調(diào)性①一次函數(shù)①一次函數(shù)：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減。②反比例函數(shù)：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是。③二次函數(shù)：當(dāng)時，的單減區(qū)間是的單增區(qū)間是當(dāng)時，的單減區(qū)間是的單增區(qū)間是例1、（1）如圖所示的是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________、________，在區(qū)間________、________上是增函數(shù)．（2）畫出函數(shù)的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解析：（1）觀察圖象可知，的單調(diào)區(qū)間有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中在區(qū)間[－5，－2]，[1,3]上是增函數(shù)，在區(qū)間[－2,1]，[3,5]上是減函數(shù)．答案[－2,1][3,5][－5，－2][1,3](2)即函數(shù)的大致圖象如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1]，[0,1]，單調(diào)減區(qū)間為[－1,0]，[1，＋∞)．【變式訓(xùn)練1-1】如圖（1）、（2）分別為函數(shù)和的圖像，試分別寫出函數(shù)和的單調(diào)增區(qū)間。解析：由圖（1）可知，在內(nèi)，是單調(diào)遞增的，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；由圖（2）可知，在內(nèi)，是單調(diào)遞增的，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是。【變式訓(xùn)練1-2】（1）下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.（2）函數(shù)的增區(qū)間是（）A.B.C.D.（3）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是________解析：（1）根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可知：在上均為減函數(shù)；在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；在上為增函數(shù)，故選C（2）根據(jù)題意，由函數(shù)是二次函數(shù)，開口向上，且對稱軸為，可知在對稱軸的右側(cè)是單調(diào)遞增的，故增區(qū)間為，選D（3）的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到，如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案（1）C（2）D（3）(－∞，1)，(1，＋∞)題型二證明函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律方法利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟例2、設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。證明：設(shè)且，∵，∴又∵∴∴，即∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。【變式訓(xùn)練2-1】已知函數(shù)求證：在上是單調(diào)遞增函數(shù)解析：設(shè)則，∵∴∴在上是單調(diào)遞增函數(shù)?！咀兪接?xùn)練2-2】判斷函數(shù)的單調(diào)性。解析：任取，且，則當(dāng)時，∴原式>0，即∴，即在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，∴原式<0，即，∴即在上是增函數(shù)。同理可得，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)。綜上所述，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。題型三用單調(diào)性解不等式規(guī)律方法利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號“”脫掉，列出關(guān)于未知量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域．例3、已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，求實數(shù)的取值范圍．解析：由題知解得，即所求的取值范圍是.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的減函數(shù)，解關(guān)于的不等式：解析：由題意得解得.答案題型四用圖象法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值規(guī)律方法1.圖象法求最值的步驟2．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的兩個易錯點(1)求函數(shù)的最值時應(yīng)首先求函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進行．(1)求函數(shù)的最值時應(yīng)首先求函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進行．(2)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，易出現(xiàn)的失誤是不判斷函數(shù)的單調(diào)性而直接將兩端點值代入，認為是函數(shù)的最值．例4、(1)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；(2)函數(shù)的最大值為解析：（1）畫出函數(shù)的圖像（圖像略），根據(jù)函數(shù)圖像可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間的兩個端點處分別取得最大值與最小值，最大值為，最小值為；（2）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且有，無最大值；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則在處取得最大值，最大值為5.答案（1）3；（2）5【變式訓(xùn)練4】求函數(shù)在區(qū)間上的值域。解析：在區(qū)間上任取實數(shù)，且令，則∵，∴，∴，即題型五二次函數(shù)的最值規(guī)律方法含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的解法解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為的形式，再依的符號確定拋物線開口的方向，依對稱軸得出頂點的位置，再根據(jù)的定義區(qū)間結(jié)合大致圖像確定最大值或最小值。對于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：對于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：①區(qū)間固定，對稱軸變動（含參數(shù)），求最值；②對稱軸固定，區(qū)間變動（含參數(shù)），求最值；③區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數(shù)。通常都是根據(jù)區(qū)間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論．例5、已知函數(shù)的最小值為，試寫出的函數(shù)表達式。解析：①當(dāng)定義域處于對稱軸的左邊時，即此時在定義域上單調(diào)遞減，∴；②當(dāng)定義域處于對稱軸的右邊時，即時，此時在定義域上單調(diào)遞增，∴；③當(dāng)定義域橫跨對稱軸左右兩邊時，即時，此時在定義域上先減后增，故一定在對稱軸處取得最小值，∴綜上所述，【變式訓(xùn)練5】已知函數(shù)，(1)求在[0,1]上的最大值；(2)當(dāng)時，求在閉區(qū)間[t，t＋1]()上的最小值．解析：(1)由題意，可知圖像對稱軸為①當(dāng)對稱軸處于定義域的左邊時，即此時在定義域上單調(diào)遞增，所以②當(dāng)對稱軸處于定義域的右邊時，即此時在定義域上單調(diào)遞減，所以③當(dāng)對稱軸處于定義域之間且離左端點更近時，即此時在定義域上先減后增，所以④當(dāng)對稱軸處于定義域之間且離右端點更近時即此時在定義域上先減后增，所以綜上所述，(2)當(dāng)時，，其圖象的對稱軸為①當(dāng)定義域處于對稱軸的左邊時，即此時在定義域上單調(diào)遞減，所以②當(dāng)定義域處于對稱軸的右邊時，即時，此時在定義域上單調(diào)遞增，所以③當(dāng)定義域橫跨對稱軸左右兩邊時，即時此時在定義域上先減后增，所以綜上所述思維拓展思維拓展考向一函數(shù)的單調(diào)性的逆向應(yīng)用規(guī)律方法在函數(shù)的單調(diào)性的定義中包含三個方面的內(nèi)容，即只要滿足：①任意，②有在函數(shù)的單調(diào)性的定義中包含三個方面的內(nèi)容，即只要滿足：①任意，②有或，就能推出③是增（減）函數(shù)，由這三方面知二求一，即：（1）（2）（3）例6、已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.解析：由題意得解得，故選C答案C【變式訓(xùn)練6】若函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是？解析：由題意得解得答案【探究1】若函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．答案(－∞，0)【探究2】已知函數(shù)在區(qū)間(－∞，1]上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．解析：函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，要使其在區(qū)間(－∞，1]上是減函數(shù)，則，即.答案(－∞，－1]考向二抽象函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律方法①在所證區(qū)間上設(shè)出任意①在所證區(qū)間上設(shè)出任意②利用題設(shè)條件向已知區(qū)間上轉(zhuǎn)化③運用函數(shù)單調(diào)性的定義解決問題例7、設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對，恒有，，，且當(dāng)時，（1）求證：；（2）求證：當(dāng)時，恒有；（3）求證：在R上是減函數(shù)解析：（1）由題意，令，可得∵，∴（2）由題意知時，當(dāng)時，當(dāng)時，，∴∵，∴∴∵當(dāng)時，∴當(dāng)時，恒有（3）任取，且，則∴由（2）知又∴故故在R上是減函數(shù)【變式訓(xùn)練7】已知函數(shù)對于任意，都有，并且當(dāng)時，。（1）求證：是R上的增函數(shù)；若，解不等式解析：（1）設(shè)，且，則，∴∴∴∴是R上的增函數(shù)（2）∵對任意，有∴∴∴∵是R上的增函數(shù)，∴解得考向三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的討論規(guī)律方法（1）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的確定方式（同增異減）函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)（2）求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟①確定定義域；①確定定義域；②將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)，；③分別確定這兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④若這兩個基本初等函數(shù)同增或同減，則為增函數(shù)；若這兩個基本初等函數(shù)一增一減，則為減函數(shù)。例8、已知函數(shù)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：令，由可知：當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)，且。由可知：當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)。（1）當(dāng)時，即解得，故當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，為增函數(shù)。（2）當(dāng)時，即，解得，故當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)。綜上可知，的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為。【變式訓(xùn)練8-1】已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求的遞減區(qū)間。解析：∵的定義域為，∴即令，則當(dāng)時，是減函數(shù)，則是增函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)，則是減函數(shù)。故的遞減區(qū)間為。答案【變式訓(xùn)練8-2】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是。解析：函數(shù)的定義域為，而是關(guān)于的二次函數(shù)，其圖像為開口向上的拋物線，且對稱軸為直線，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，而在上是增函數(shù)，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。答案；考向四函數(shù)最值的實際應(yīng)用規(guī)律方法求解實際問題的四個步驟(1)讀題：分為讀懂和深刻理解兩個層次，把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系(目標(biāo)與條件的關(guān)系)．(1)讀題：分為讀懂和深刻理解兩個層次，把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系(目標(biāo)與條件的關(guān)系)．(2)建模：把問題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)解析式，把實際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題．(3)求解：選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解函數(shù)．(4)評價：對結(jié)果進行驗證或評估，對錯誤加以改正，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實，作出解釋或預(yù)測．特別提醒：求解實際問題的步驟也可認為分成“設(shè)元——列式——求解——作答”四個步驟．例9、某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：其中是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)解析：(1)設(shè)月產(chǎn)量為臺，則總成本為，從而(2)當(dāng)時，；∴當(dāng)時，，當(dāng)時，是減函數(shù)，.∴當(dāng)時，.即每月生產(chǎn)300臺儀器時利潤最大，最大利潤為25000元．【變式訓(xùn)練9】經(jīng)市場調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價格均是時間的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系，在前40天內(nèi)價格為，在后60天內(nèi)價格為，求這種商品的日銷售額的最大值。解析：由題意，設(shè)商品的日銷售額為，則當(dāng)時，故當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上所述，這種商品的日銷售額最大值為768元。綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練A組基礎(chǔ)演練一、選擇題1．如圖1-3-1是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是()圖1-3-1A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減D．函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上沒有單調(diào)性解析：若一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接．如0<5，但f(0)>f(5)，故選C.答案C2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝eq\f(1,x) D．y＝－|x|解析：A．y＝3－x＝－x＋3，是減函數(shù)，故A錯誤；B．∵y＝x2＋1，y為偶函數(shù)，圖象開口向上，關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x＞0時，y為增函數(shù)，故B正確；C．∵y＝eq\f(1,x)，當(dāng)x＞0時，y為減函數(shù)，故C錯誤；D．當(dāng)x＞0時，y＝－|x|＝－x，為減函數(shù)，故D錯誤．故選B.答案B3．下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是()A．y＝eq\f(1,x)＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x解析：選AB、C在[1,4]上均為增函數(shù)，A、D在[1,4]上均為減函數(shù)，代入端點值，即可求得最值，故選A.答案A4．函數(shù)則f(x)的最大值、最小值分別為()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不對解析：選A當(dāng)－1≤x<1時，6≤x＋7<8，當(dāng)1≤x≤2時，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故選A.答案A5．函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．C．D．解析：令：（），單調(diào)遞減區(qū)間是。答案D6．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，∴函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝2.∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.答案C7．某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A．90萬元B．60萬元C．120萬元D．120.25萬元解析：設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，公司獲利為L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－(x－eq\f(19,2))2＋30＋eq\f(192,4)，∴當(dāng)x＝9或10時，L最大為120萬元．答案C二、填空題8．函數(shù)f(x)＝2x2－3|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是________．解析：函數(shù)f(x)＝2x2－3|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－3xx≥0,2x2＋3xx<0，))圖象如圖所示，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為和答案和9．函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上的最小值為________．解析：作出圖象可知y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上是減函數(shù)，ymin＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)10．函數(shù)y＝eq\f(1－3m,x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________. 解析：∵函數(shù)y＝eq\f(1－3m,x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴1－3m＜0，解得m＞eq\f(1,3).答案11．設(shè)函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則f(－3)與f(－π)的大小關(guān)系是________．解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0得f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．答案f(－3)>f(－π)三、解答題12．證明：函數(shù)y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．證明：設(shè)x1>x2>－1，則y1－y2＝eq\f(x1,x1＋1)－eq\f(x2,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．答案見解析13．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)用定義證明函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值與最小值．解析：(1)證明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，∴f(x)max＝f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5)，f(x)min＝f(2)＝eq\f(2×2＋1,2＋1)＝eq\f(5,3)答案（1）略（2）14．有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P(萬元)和Q(萬元)，它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式：P＝eq\f(x,5)，Q＝eq\f(3,5)eq\r(x).今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最大利潤是多少？解析：設(shè)對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3－x)萬元，總利潤為y萬元，根據(jù)題意得y＝eq\f(1,5)x＋eq\f(3,5)eq\r(3－x)(0≤x≤3)．令eq\r(3－x)＝t，則x＝3－t2,0≤t≤eq\r(3).所以y＝eq\f(1,5)(3－t2)＋eq\f(3,5)t＝－eq\f(1,5)(t－eq\f(3,2))2＋eq\f(21,20)，t∈[0，eq\r(3)]．當(dāng)t＝eq\f(3,2)時，ymax＝eq\f(21,20)，此時x＝0.75,3－x＝2.25.由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，獲得的最大利潤為1.05萬元．答案為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，獲得的最大利潤為1.05萬元．B組提升突破B組提升突破一、選擇題1．若函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：∵函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1的圖象是開口方向朝上，以直線x＝eq\f(2a－1,－2)為對稱軸的拋物線，又∵函數(shù)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，故2≤eq\f(2a－1,－2)，解得a≤－eq\f(3,2)，故選B.答案B2．當(dāng)0≤x≤2時，a<－x2＋2x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：令f(x)＝－x2＋2x，則f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.答案C3．已知函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則f(1)的范圍是()A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析：由y＝f(x)的對稱軸是x＝eq\f(m,8)，可知f(x)在上遞增，由題設(shè)只需eq\f(m,8)≤－2，即m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.故選A.答案A4．若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．解析：，二次函數(shù)的對稱軸方程為,對于定義域為,值域為,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知.答案C5．若函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，則a的取值范圍為（）A．B．C．