考研數(shù)學二(解答題)模擬試卷154(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二（解答題）模擬試卷154(題后含答案及解析)題型有：1.1．設有來自三個地區(qū)各10名，15名，25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3價，7份，5份．隨機地取出一個地區(qū)的報名表，從中先后抽取兩份．(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．正確答案：(1)由全概率公式，得解析：隨機試驗分為兩個階段，先要抽取一個地區(qū)，再在所抽取的地區(qū)中先后抽取兩份報名表，第二階段的結果由第一階段試驗結果所決定，因此考慮使用全概率公式進行計算．可以設Bi表示“報名表是第i個地區(qū)考生的”i=1，2，3．P(E)=Ai表示“第j次抽到的報名表是男生表”j=1，2．重復使用全概率公式得到所求概率．知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計2．求正確答案：屬型．先用等價無窮小關系arctan4x～x(x→0)化簡分母后再用洛必達法則得涉及知識點：極限、連續(xù)與求極限的方法3．求xn，其中xn=正確答案：作恒等變形后再作放大與縮小：于是又故由夾逼定理知涉及知識點：極限、連續(xù)與求極限的方法4．設A，B是兩個事件，且求(1)(X，Y)的概率分布；(2)Z=X2+Y2的概率分布；(3)問X，Y是否相互獨立．正確答案：涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計5．設(X，Y)的概率密度為f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，求fX(x)．正確答案：．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計6．設線性方程組與方程x1+2x2+x3=a—1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。正確答案：把方程組(1)與方程(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(a—1)(a—2)=0。當a=1時，，此時方程組(3)的通解為k(—1，0，1)T(k為任意常數(shù))，此即為方程組(1)與(2)的公共解。當a=2時，，此時方程組(3)有唯一解(0，1，—1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。涉及知識點：線性方程組7．求一塊鉛直平板如圖3．1所示在某種液體(比重為γ)中所受的壓力．正確答案：液體中深度為h處所受的壓強為p=hγ，從深度為a到x之間平板所受的壓力記為P(x)，任取[x，x+△x]上小橫條，所受壓力為△P=P(x+△x)－P(x)≈xγ.c△x．令△x→0，得dP(x)=xγcdx．于是，總壓力為P=∫abxγcdx=(b2－a2)=(a+b)c(b－a)=γ.矩形中心的深度.矩形的面積．涉及知識點：一元函數(shù)積分概念、計算及應用8．設f(x)，g(x)為[a，b]上連續(xù)的增函數(shù)(0＜a＜b)，證明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．正確答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，因為f(x)，g(x)在[a，b]上為增函數(shù)，所以F(x，y)≥0，從而∫abdx∫abF(x，y)dy≥0，而∫abdx∫abF(x，y)dy=∫abdx∫ab[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy=(b一a)∫ab}f(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(y)dy—∫abg(x)dx∫abf(y)dy+(b一a)∫abf(y)g(y)dy=2(b一a)∫abf(x)g(x)dx一2∫abf(x)dx∫abg(x)dx，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．涉及知識點：高等數(shù)學9．設拋物線y=ax2+bx+c(a＜0)滿足：(1)過點(0，0)及(1，2)；(2)拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=一x2+2x所圍圖形的面積最小，求a，b，c的值．正確答案：由y=ax2+bx+c過點(0，0)及(1，2)得則y=ax2+(2-a)x．令ax2+(2一a)x=一x2+2x得x=0及所圍成的圖形面積為得a=一3，且當a＜一3時，S’(a)＜0；當a＞一3時，S’(a)＞0，故當a=一3時，所圍成的面積最小，此時a=一3，b=5，c=0．涉及知識點：高等數(shù)學10．設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導且f(a)≠f(b)．試證：存在η，ξ∈(a，b)，使得正確答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(a)=f’(η)(b一a)，又由柯西中值定理知涉及知識點：一元函數(shù)微分學11．設f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得正確答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故涉及知識點：一元函數(shù)微分學12．已知下列非齊次線性方程組(I)，(II)：(1)求解方程組(I)，用其導出組的基礎解系表示通解；(2)當方程組中的參數(shù)m，n，t為何值時，方程組(I)與(Ⅱ)同解?正確答案：(1)(－2，－4，－5，0)T＋k(1，1，2，1)T；(2)m＝2，n＝4，t＝6。涉及知識點：線性方程組13．求函數(shù)f(x)=(2-t)e-tdt的最大值與最小值．正確答案：因為f(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)=0，得f(x)的唯一駐點為x=當x∈(0，)時，f’(x)>0，當x∈(，+∞)時，f’(x)及x=-為函數(shù)f(x)的最大值點，最大值為f()=f(-)=1+因為f(+∞)=f(-∞)=∫0+∞(2-t)etdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．涉及知識點：高等數(shù)學部分14．設A為4階矩陣，滿足條件AAT＝2E，｜A｜＜0，其中E是4階單位矩陣，求方陣A的伴隨矩陣A*的一個特征值．正確答案：．涉及知識點：矩陣的特征值與特征向量設A為n階實對稱可逆矩陣，f(x1，x2，…，xn)=15．記X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式；正確答案：f(X)=(x1，x2，…，xn)因為r(A)=n，所以｜A｜≠0，于是=A-1，顯然A*，A-1都是實對稱矩陣．涉及知識點：線性代數(shù)部分16．二次型g(X)=XTAX是否與f(x1，x2，…，xn)合同?正確答案：因為A可逆，所以A的n個特征值都不是零，而A與A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)與g(x)=XTAX規(guī)范合同．涉及知識點：線性代數(shù)部分17．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學部分18．計算定積分∫-aa(χ－a)．正確答案：涉及知識點：一元函數(shù)積分學19．計算D2n=正確答案：方法一方法二D2n=a2D2n-2-b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(a2-b2)n．涉及知識點：行列式20．設A，B，C，D都是n階矩陣，r(CA＋DB)＝n．(1)證明：r＝n；(2)設ξ1，ξ2，…，ξr，與η1，η2，…，ηs分別為方程組AX