專題05 等腰三角形（五大類型）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)專題05等腰三角形（五大類型）【題型1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求有關(guān)的邊長(zhǎng)】【題型2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求角度】【題型3判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)】【題型4根據(jù)等腰三角形的存在性找點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【題型5等腰三角形的判定與性質(zhì)】【題型1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求有關(guān)的邊長(zhǎng)】1．（2023?花溪區(qū)模擬）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝3，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】D【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝3，∴CD＝3．故選：D．2．（2023?紅塔區(qū)模擬）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，一邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．12 D．4或12【答案】A【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，等腰三角形的底邊長(zhǎng)＝20﹣4×2＝20﹣8＝12，∵4+4＜12，∴不能組成三角形，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4時(shí)，等腰三角形的腰長(zhǎng)＝×（20﹣4）＝8，綜上所述：此等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，故選：A．3．（2023?開(kāi)福區(qū)校級(jí)二模）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝10，AD＝6，則BC的長(zhǎng)為（）?A．10 B．16 C．18 D．20【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴BC＝2BD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝＝8，∴BC＝2BD＝16，故選：B．4．（2023?陜西模擬）如圖，在△ABC中，AB＝CB＝13，BD⊥AC于點(diǎn)D且BD＝12，AE⊥BC于點(diǎn)E，連接DE，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵AB＝CB＝13，BD⊥AC于點(diǎn)D且BD＝12，∴AD＝CD＝＝＝5，∵AE⊥BC，∴DE＝AC＝CD＝5，故選：C．5．（2023春?萊蕪區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，點(diǎn)D在AC上，DC＝3cm，將線段DC沿著CB方向平移5.5cm得到線段EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在AB，BC邊上，則△EBF的周長(zhǎng)為（）A．9.5cm B．10cm C．10.5cm D．11.5cm【答案】C【解答】解：∵將線段DC沿著CB的方向平移5.5cm得到線段EF，∴EF＝DC＝3cm，F(xiàn)C＝5.5cm，∠C＝∠BFE，∵AB＝AC，BC＝10cm，∴∠B＝∠C，BF＝4.5cm，∴∠B＝∠BFE，∴BE＝EF＝3cm，∴△EBF的周長(zhǎng)為：3+3+4.5＝10.5（cm），故選：C．6．（2022秋?大連期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，一邊為8cm，則腰長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【答案】D【解答】解：∵等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，∴當(dāng)8cm是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊＝20﹣8﹣8＝4cm；∴當(dāng)8cm是底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)＝＝6cm，∴腰長(zhǎng)為8cm或6cm，故選：D．7．（2022秋?五常市期末）若a、b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A．9 B．12 C．9或12 D．15或6【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，，解得，（1）若2是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：2、2、5，2+2＜5，不能組成三角形；（2）若2是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：2、5、5，能組成三角形，周長(zhǎng)為2+5+5＝12．故選：B．8．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，則AE等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝12，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝12，BD＝CE，∵BD＝4，∴CE＝BD＝4，∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．故選：C．9．（2022秋?龍華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上的中點(diǎn)，若∠BAD＝30°，BD＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，D是邊BC上的中點(diǎn)，∠BAD＝30°，BD＝2，∴∠BAC＝60°，BC＝4，∴△ABC為等邊三角形，∴△ABC的周長(zhǎng)為4×3＝12，故選：D．10．（2023?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC＝4，△BDC的周長(zhǎng)為10，則AE的長(zhǎng)為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：∵BC＝4，且△BDC的周長(zhǎng)為10，∴BD+CD＝10﹣4＝6，∵AD＝BD，∴AD+DC＝6，∴AC＝6，∵AB＝AC，∴AB＝6，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝AB＝3，故選：B．11．（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝3cm，則BF＝（）cm．A．4.8 B．6 C．5 D．6.4【答案】B【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB?DE＝AB?DE＝3AB，∵S△ABC＝AC?BF，∴AC?BF＝3AB，∵AC＝AB，∴BF＝3，∴BF＝6．故選：B．【題型2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求角度】12．（2023?余杭區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，則∠C＝（）?A．50° B．40° C．20° D．25°【答案】D【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠ADB＝25°．故選：D．13．（2023?思明區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB∥CD，DE＝EC，∠B＝35°，則∠BED＝（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，∴∠C＝∠B＝35°，又∵DE＝CE，∴∠EDC＝∠C＝35°，∴∠BED＝2∠C＝70°．故選：A．14．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D．若∠A＝36°，則∠BDC＝（）A．36° B．54° C．72° D．108°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故選：C．15．（2023春?舞鋼市期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BD＝CD，則∠BAC的度數(shù)是（）A．90° B．80° C．70° D．60°【答案】A【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD＝BD＝CD，∴，，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+45°＝90°，故A正確．故選：A．16．（2023春?紫金縣期中）若等腰三角形的底角為48°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為（）A．66° B．84° C．48° D．68°【答案】B【解答】解：∵等腰三角形的底角為48°，∴等腰三角形的頂角＝180°﹣48°﹣48°＝84°．故選：B．17．（2023春?于洪區(qū)月考）若等腰三角形的一個(gè)角為40°，則該等腰三角形的頂角為（）A．40° B．70° C．100° D．40°或100°【答案】D【解答】解：若40°的角是頂角，則底角為：，∴此時(shí)另外兩個(gè)角的度數(shù)是70°，70°；若40°的角是底角，則另一底角為40°，∴頂角為：180°﹣40°﹣40°＝100°，∴此時(shí)另外兩個(gè)角的度數(shù)是100°，40°．∴該等腰三角形的頂角為40°或100°．故選：D．18．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，那么∠ADC的度數(shù)為（）A．120° B．30° C．60° D．80°【答案】D【解答】解：根據(jù)題意，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，又AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴DA＝DB∴∠BAD＝∠B＝40°，在△BAD中，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，∴∠ADC＝80°．故選：D．19．（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】C【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故選：C．20．（2022秋?嵊州市期末）如圖，在等腰三角形ABC中，頂角∠A＝36°，點(diǎn)D是腰AB上一點(diǎn)，作DE⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠BED的度數(shù)為（）A．16° B．18° C．20° D．24°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，故選：B．21．（2023春?蕉城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ADB＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，由題意得：BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝75°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°，故選：B．22．（2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．85° D．84°【答案】D【解答】解：∵BD＝AD＝AC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠4＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，∵∠BAC＝108°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠2+2∠2＝72°，∴∠2＝24°，∴∠1＝24°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣24°＝84°，故選：D．【題型3判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)】23．（2023春?茂名期中）如圖，BM是△ABC的角平分線，AB＝AC，∠A＝36°，則圖中有（）等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)法確定【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴，∵BM是△ABC的角平分線，∴∠ABM＝∠CBM＝36°，∴∠A＝∠ABM，∴△ABM是等腰三角形，∵∠CBM＝36°，∠C＝72°，∴∠BMC＝72°，∴△BMC是等腰三角形，∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3個(gè)等腰三角形．故答案為：C．24．（2022秋?張北縣月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是邊BC上的高，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵AD是邊BC上的高線，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠CBE＝∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，則∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE為等腰三角形，故選：C．25．（2022秋?千山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD為等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD為等腰三角形，∴則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．26．（2022秋?灌南縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的兩點(diǎn)，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個(gè)，故選：C．27．（2021秋?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，點(diǎn)D在AC的垂直平分線DF上，AE平分∠BAD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵點(diǎn)D在AC的垂直平分線DF上，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形；∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝36°，∴∠BAE＝∠B，∴AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形；∵∠AED＝∠BAE+∠B＝72°，∠ADE＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BAD＝∠ADE＝72°，∴BA＝BD，∴△ABD是等腰三角形；∵∠CAE＝∠AED＝72°，∴CA＝CE，∴△CAE是等腰三角形，綜上所述，等腰三角形有△ABC，△ADC，△AEB，△ADE，△ABD，△CAE共6個(gè)，故選：D．28．（2021秋?邢臺(tái)月考）如圖，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．無(wú)法確定【答案】C【解答】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°∠A﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABE＝36°，∴EA＝EB，∴△ABE是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等腰三角形，又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝36°，∴∠DBE＝∠DEB＝36°，∴DB＝DE，∴△DBE是等腰三角形，又∵∠EBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形，故選：C．【題型4根據(jù)等腰三角形的存在性找點(diǎn)的個(gè)數(shù)】29．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知點(diǎn)M、點(diǎn)N是兩個(gè)格點(diǎn)，如果點(diǎn)P也是圖中的格點(diǎn)，且使得△MNP為等腰三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【解答】解：當(dāng)MN是等腰△MNP的底邊時(shí)，符合條件的點(diǎn)有P1、P2、P3、P4，共4個(gè)；當(dāng)MN是等腰△MNP的腰時(shí)，符合條件的點(diǎn)有P5、P6、P7、P8，共4個(gè)，∴點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是8個(gè)．故選：C．30．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：以AB為腰的等腰三角形有兩個(gè)，以AB為底的等腰三角形有一個(gè)，如圖：所以符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C．31．（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：當(dāng)AB為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：C．32．（2022?興寧區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點(diǎn)上找一點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形，則點(diǎn)P有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【解答】解：如圖：在格點(diǎn)上找一點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形，則點(diǎn)P有8個(gè)，故選：C．33．（2022秋?安次區(qū)期末）在如圖所示的3×3方格中，以AB為邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有4個(gè)．【答案】4．【解答】解：如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)C1、C2、C3、C4，即為第三個(gè)頂點(diǎn)的位置；故以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出4個(gè)．故答案為：4【題型5等腰三角形的判定】34．（2023?永嘉縣三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等腰三角形．【答案】（1）108°；（2）見(jiàn)解析．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；（2）證明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．35．（2023春?大埔縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求證：△ADC是等腰三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；∵∠DAB＝45°，∠B＝30°∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．36．（2022秋?洛川縣期末）如圖，已知∠ACE是ABC的一個(gè)外角，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求證：△ABC為等腰三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵DC平分∠ACE，∴∠ECD＝∠ACD，∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠B，∠ACD＝∠A，∴∠A＝∠B，∴BC＝AC．故△ABC是等腰三角形．【題型6等腰三角形的判定與性質(zhì)】37．（2023?蓮都區(qū)一模）如圖，△ABC中，CD是角平分線，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝CE；（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析過(guò)程；（2）32°．【解答】（1）證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE＝CE．（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，∴∠ACB＝∠AED＝64°，∵CD平分∠ACB，∴．答：∠DCB的度數(shù)是32°．38．（2023?甌海區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．（1）求證：BC＝CE．（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）36°．【解答】（1）證明：∵BE平分∠DEC，∴∠DEB＝∠BEC，∠EBC＝∠BEC，∴DE∥BC．∴∠DEB＝∠EBC，∴∠BEC＝∠EBC，∴BC＝CE；（2）解：∵BC＝CE，CE＝AB，∴BC＝AB，∴∠C＝∠A，設(shè)∠C＝∠A＝x，∵EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝x，∴∠EBC＝∠BEC＝∠A+∠ABE＝2x，∴2x+2x+x＝180°，∴∠C＝x＝36°．39．（2023春?菏澤月考）已知：如圖△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過(guò)D作直線平行于BC，交AB，AC于E，F(xiàn)．（1）求證：△DFC是等腰三角形；（2）求△AEF的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）14cm．【解答】（1）證明：∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠DCB，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵AC＝6cm，AB＝8cm，∴△AEF的周長(zhǎng)為：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+6＝14（cm）．40．（2023春?高陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC．過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：△ACD為等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）50°．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD為等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°．41．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期末）（1）如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．①求證：OE＝BE；②若△ABC的周長(zhǎng)是25，BC＝9，試求出△AEF的周長(zhǎng)；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，試探求∠BAC與∠PAC的數(shù)量關(guān)系式．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周長(zhǎng)＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延長(zhǎng)BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠FAP＝∠PAC，∴∠FAC＝2∠PAC，∵∠FAC+∠BAC＝180°，∴2∠PAC+∠BAC＝180°．42．（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．（1）求證：△BCD是等腰三角形；（2）若△BCD的周長(zhǎng)是13，BC＝5，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）AC＝