壓軸題04立體幾何壓軸題10題型 （學(xué)生版）

壓軸題04立體幾何壓軸題十大題型匯總命題預(yù)測本專題考查類型主要涉及點立體幾何的內(nèi)容，主要涉及了立體幾何中的動點問題，外接球內(nèi)切球問題，以及不規(guī)則圖形的夾角問題，新定義問題等。預(yù)計2024年后命題會繼續(xù)在以上幾個方面進行。高頻考法題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題題型02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題題型03立體幾何動點最值問題題型04不規(guī)則圖形中的面面夾角問題題型05不規(guī)則圖形中的線面夾角問題題型06幾何中的旋轉(zhuǎn)問題題型07立體幾何中的折疊問題題型08不規(guī)則圖形表面積、體積問題題型09立體幾何新定義問題題型10立體幾何新考點01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.1.（多選）（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點A,B,C,D在同一個平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則（

）A．異面直線AE與DF所成角大小為πB．二面角A?EB?C的平面角的余弦值為1C．此八面體一定存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為8

2.（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=4,AA．9π B．16π C．25π3.（2024·河北石家莊·二模）已知正方體的棱長為22，連接正方體各個面的中心得到一個八面體，以正方體的中心O為球心作一個半徑為233A．26π B．463π 4.（多選）（2022·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的π倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為2B．側(cè)面積為24C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36πD．底面積為45.（21-22高三上·湖北襄陽·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，球O1同時與以A為公共頂點的三個面相切，球O2同時與以C1為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點F.若以F為焦點，AB1為準線的拋物線經(jīng)過O1，02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題6.（2024·浙江臺州·二模）房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進行不同角度的切割，以契合實際需要.已知長方體的規(guī)格為24cm×11cm×5cm，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到12A．8 B．10 C．12 D．167.（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，A10,0,0,B0,10,0A．C103 B．C93 C．8.（2024·重慶·模擬預(yù)測）從長方體的8個頂點中任選4個，則這4個點能構(gòu)成三棱錐的頂點的概率為（

）A．2736 B．2935 C．679.（多選）（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（

）A．可以圍成20個不同的正方形B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個不同的三角形D．可以圍成16個不同的等邊三角形10.（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測）如圖ABCDEF?A'B'C'D

03立體幾何動點最值問題空間幾何體中線段和差最值以及幾何體中的軌跡問題，以及線線角和線面角的求解，綜合性較強，難度較大，解答時要發(fā)揮空間想象，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間距離，確定動點的軌跡形狀；結(jié)合等體積法求得點到平面的距離，結(jié)合線面角的定義求解.11.（多選）（2024·浙江臺州·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，P為平面ABCD內(nèi)一動點，且直線A．點P的軌跡為拋物線B．正方體ABCD?A1B1C．直線CP與平面CDD1D．點M為直線D1B上一動點，則MP+ME12.（多選）（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．若M在線段AB上，則D1M+MCB．平面ACD1C．若C1M與AB所成的角為π4D．對于給定的點M，過M有且僅有3條直線與直線D1A,13.（多選）（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，棱AB的中點為M，過點M作正方體的截面A．當(dāng)MN最大時，MN與BC所成的角為πB．三棱錐A1?BNC．若DN=2，則點N的軌跡長度為D．若N∈平面A1BCD114.（多選）（2024·福建廈門·一模）如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等邊三角形，且AB=23，EF=x(x>0)A．EF//平面ABCDB．二面角A?EF?B隨著x的減小而減小C．當(dāng)BC=2時，五面體ABCDEF的體積V(x)最大值為27D．當(dāng)BC=32時，存在x使得半徑為315.（多選）（2024·廣西南寧·一模）在邊長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，動點A．當(dāng)x=14,z=0,y∈0,1B．當(dāng)x=y=1,z=12時，異面直線BM與CC．當(dāng)x+y+z=1，且AM=253時，則D．當(dāng)x+y=1,z=0時，AM與平面AB104不規(guī)則圖形中的面面夾角問題利用向量法解決立體幾何中的空間角問題，關(guān)鍵在于依托圖形建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量用坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運算求空間角，其中建系的關(guān)鍵在于找到兩兩垂直的三條直線．16.（2024·浙江臺州·二模）如圖，已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB∥CD，(1)求證：BQ∥平面AD(2)若四棱錐Q?ABB1A1的體積為32317.（2024·浙江杭州·二模）如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°,BC=2PQ=4AB=4,M為BC的中點，PQ∥(1)證明：∠ABQ=90°；(2)若多面體ABCDPQ的體積為152，求平面PCD與平面QAB18.（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知四棱錐P?ABCD的棱AB,BC的長為2，其余各條棱長均為1．(1)求四棱錐P?ABCD的體積；(2)求二面角A?PC?B的大?。?9.（2024·安徽·二模）將正方形ABCD繞直線AB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使得CD到EF(1)求證：平面ACF⊥平面BDE；(2)點M為DF上一點，若二面角C?AM?E的余弦值為13，求∠MAD20.（2024·山西·二模）如圖，四棱錐P?ABCD中，二面角P?CD?A的大小為90°，∠DCP=∠DPC<π4，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°

(1)求證：平面EBD⊥平面PCD；(2)若直線PD與底面ABCD所成的角為60°，求二面角B?ED?C05不規(guī)則圖形中的線面夾角問題21.（2024·浙江寧波·二模）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，以AB為軸將菱形ABCD翻折到菱形ABC1D1，使得平面ABC1D(1)求證：CE∥平面ADD(2)求直線CE與平面BDD22.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD為等邊三角形，點M，N分別為AB，PC的中點．(1)證明：直線MN//平面PAD；(2)當(dāng)二面角P?AD?C為120°時，求直線MN與平面PCD所成的角的正弦值．23.（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）在三棱錐D?ABC中，AC=3,DC=22(1)證明：平面ADC⊥平面ABC；(2)點E為棱DC上，若BC與平面EAB所成角的正弦值為3311，求DE24.（2022·江西贛州·二模）已知四棱錐P—ABCD中，△ABD?△BCD?△BDP都是正三角形AB=2(1)求證：平面ACP⊥平面BDP；(2)求直線BP與平面ADP所成角的正弦值.25.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，AB,CD,EF兩兩垂直，點E為AB的中點，點F在線段CD上，且滿足DF=4CF,AB=EF=2，CD=5．(1)求證：平面ABC⊥平面ABD．(2)求直線BD與平面ACD所成角的正弦值．06幾何中的旋轉(zhuǎn)問題26.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知長方體ABCD?A'B'C'D'中，AB=BC=2，AA'=2，O為正方形ABCD的中心點，將長方體ABCD?A'B'C'D'繞直線A．43?310 B．33?41027.（多選）（2024·河北唐山·一模）在透明的密閉正三棱柱容器ABC?A1B1C

A．水面形狀的變化：三角形?梯形?矩形B．當(dāng)C1AC．當(dāng)B∈α?xí)r，水面與地面的距離為8D．當(dāng)側(cè)面ACC28.（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具.魔方擁有競速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個三階魔方，由27個棱長為1的正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了45°，則該魔方的表面積增加了29.（2024·福建·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ACB的平分線交AB于點D，AD=2DB.平面α過直線AB，且與△ABC所在的平面垂直.(1)求直線CD與平面α所成角的大小；(2)設(shè)點E∈α，且∠ECD=30°，記E的軌跡為曲線Γ.（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；（ii）不與直線AB重合的直線l過點D且交Γ于P，Q兩點，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點T，使得無論l繞點D如何轉(zhuǎn)動，總有∠PTC=∠QTC？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由.30.（多選）（2024·浙江·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1，的棱長為1，點P是正方形A1B1C1D1上的一個動點，初始位置位于點A1處，每次移動都會到達另外三個頂點.向相鄰兩頂點移動的概率均為A．移動兩次后，“PC=3B．對任意n∈N?，移動n次后，“PA//平面BDC．對任意n∈N?，移動n次后，“PC⊥平面BDD．對任意n∈N?，移動n次后，四面體P?BDC1體積V的數(shù)學(xué)期望EV07立體幾何中的折疊問題31.（2020·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，D為線段BC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將△ABD沿線段AD折起至△AB'DA．不存在點D，使得CB．點B'在平面ABCC．B'A與平面ABCD．線段CB'32.（多選）（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為4，點E在線段AB上，BE=1．沿DE將△ADE折起，使點A翻折至平面BCDE外的點P，則（

）A．存在點P，使得PE⊥DC B．存在點P，使得直線BC//平面PDEC．不存在點P，使得PC⊥DE D．不存在點P，使得四棱錐P?BCDE的體積為833.（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）如圖①，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△EAB與△FAD是兩個全等的直角三角形，且FA=4,FC與AD交于點G，將Rt△EAB與Rt△FAD分別沿AB,AD翻折，使E,F重合于點P，連接PC，得到四棱錐(1)證明：BD⊥PC；(2)若M為棱PC的中點，求直線BM與平面PCG所成角的正弦值.34.（多選）（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，過AC中點M的直線l與線段AB交于點N．將△AMN沿直線l翻折至△A'MN，且點A'在平面BCMN內(nèi)的射影H在線段BC上，連接AH交l于點O

A．∠B．∠C．點O的軌跡的長度為πD．直線A'O與平面BCMN35.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖1，已知在正方形ABCD中，AB=2，M，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC，AD的中點，現(xiàn)將矩形ABEF沿EF翻折至矩形A'B'EF的位置，使平面(1)證明：平面A'EM⊥平面(2)設(shè)Q是線段A'E上一點，且二面角A'?FM?Q的余弦值為08不規(guī)則圖形表面積、體積問題解決不規(guī)則圖形的表面積體積問題，注意使用割補法，通過分割與補形的方法，轉(zhuǎn)化成常規(guī)的幾何體進行求解。36.（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知長方體ABCD?A1B1C1D

A．724V B．717V C．37.（2022·遼寧錦州·一模）2022年北京冬奧會的成功舉辦使北京成為奧運史上第一座“雙奧之城”.其中2008年北京奧運會的標(biāo)志性場館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”.“冰立方”在冬奧會期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項目.“水立方”的設(shè)計靈感來自威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進，開爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形），已知該多面體共有24個頂點，且棱長為2，則該多面體的表面積是（

）A．243+1 B．243+6 C．38.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：CA2//(2)若M是線段BB1的中點，求三棱錐39.（2024·江蘇常州·一模）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，點(1)當(dāng)點M是棱CC1的中點時，求證：直線AM⊥平面(2)當(dāng)平面AB1M將正四棱柱ABCD?A140.（多選）（2024·安徽蕪湖·二模）如圖，多面體PS?ABCD由正四棱錐P?ABCD和正四面體S?PBC組合而成，其中PS=1，則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（

）A．該幾何體的體積為24 C．二面角A?PB?C的余弦值為?1309立體幾何新定義問題立體幾何新定義問題，解題關(guān)鍵是理解新定義，能夠構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，解決相應(yīng)問題．41.（多選）（23-24高三上·河北·期末）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設(shè)Oa表示以O(shè)為圓心，且過B，C的圓，同理，圓Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧長分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，若a=b=c，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面△ABC圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面O?ABC.設(shè)∠BOC=α，∠AOC=βA．若平面△ABC是面積為34RB．若a2+C．若a=b=c=π3R，則球面D．若平面△ABC為直角三角形，且∠ACB=π242.（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點為F，直線l與平面α交點為A，直線AF與圓錐S交點為O，圓錐S的母線OS與球T的切點為M，OM=a，MS(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ關(guān)系式；(2)求證：曲線C是拋物線．43.（2022·遼寧沈陽·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐H?ABC，J?CDE，K?EFA，再分別以AC，CE，EA為軸將△ACH，△CEJ，△EAK分別向上翻轉(zhuǎn)180°，使H，J，K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于2π減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是π3，所以正四面體在各頂點的曲率為(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)BH=x（i）用x表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S(x)；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.44.（2024·山東濟南·一模）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，任何一個平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其中A,B,C,D∈R，A2+B2+C2≠0，且(1)設(shè)集合M=x,y,zz=0，記P∩M中所有點構(gòu)成的圖形的面積為S1，Q∩M中所有點構(gòu)成的圖形的面積為S2，求(2)記集合Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為V1，P∩Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為V2，求V1(3)記集合T中所有點構(gòu)成的幾何體為W.①求W的體積V3②求W的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).45.（2024·云南·模擬預(yù)測）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+(1)①若A0,2,1,B?1,3,2②證明：OA×(2)記△AOB的面積為S△AOB，證明：S(3)問：(OA×OB)2的幾何意義表示以10立體幾何新考點46.（2024·河北滄州·一模）如圖，在正三棱錐A?BCD中，BC=CD=BD=4，點P滿足AP=λAC，λ∈(0,1)，過點P作平面α分別與棱AB，BD，CD交于Q，S，T三點，且AD//(1)證明：?λ∈(0,1)，四邊形PQST總是矩形；(2)若AC=4，求四棱錐C?PQST體積的最大值.47.（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖1，在矩形AB1C1D中，B，C分別為AB1，C1D(1)當(dāng)二面角A?B1C(2)設(shè)點A關(guān)于平面C1BD的對稱點為P，當(dāng)該多面體ABCDB48.（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求證：三棱錐A1(2)若三棱柱ABC?A1B1C1的體積為49.（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）正錐體具有良好的對稱性．(1)在正三棱錐P?ABC中，證明：PA⊥BC；(2)已知正棱錐P?A①當(dāng)k=2n+1，n∈Z+時，存在m∈1,2,?,k?1②當(dāng)k=2n+2，n∈Z+時，不存在m∈1,2,?,k?1注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．50.（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設(shè)棱長為n，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，定義隨機變量X的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取