壓軸題04立體幾何壓軸題10題型 （學(xué)生版）

壓軸題04立體幾何壓軸題十大題型匯總命題預(yù)測(cè)本專(zhuān)題考查類(lèi)型主要涉及點(diǎn)立體幾何的內(nèi)容，主要涉及了立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，外接球內(nèi)切球問(wèn)題，以及不規(guī)則圖形的夾角問(wèn)題，新定義問(wèn)題等。預(yù)計(jì)2024年后命題會(huì)繼續(xù)在以上幾個(gè)方面進(jìn)行。高頻考法題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問(wèn)題題型02立體幾何中的計(jì)數(shù)原理排列組合問(wèn)題題型03立體幾何動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題題型04不規(guī)則圖形中的面面夾角問(wèn)題題型05不規(guī)則圖形中的線(xiàn)面夾角問(wèn)題題型06幾何中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型07立體幾何中的折疊問(wèn)題題型08不規(guī)則圖形表面積、體積問(wèn)題題型09立體幾何新定義問(wèn)題題型10立體幾何新考點(diǎn)01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問(wèn)題解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.1.（多選）（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，八面體的每個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則（

）A．異面直線(xiàn)AE與DF所成角大小為πB．二面角A?EB?C的平面角的余弦值為1C．此八面體一定存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為8

2.（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=4,AA．9π B．16π C．25π3.（2024·河北石家莊·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為22，連接正方體各個(gè)面的中心得到一個(gè)八面體，以正方體的中心O為球心作一個(gè)半徑為233A．26π B．463π 4.（多選）（2022·山東聊城·二模）用與母線(xiàn)不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，則稱(chēng)夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個(gè)截面稱(chēng)為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱(chēng)為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸與短半軸長(zhǎng)之積的π倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線(xiàn)成45°角的兩個(gè)平行平面去截該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為2B．側(cè)面積為24C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36πD．底面積為45.（21-22高三上·湖北襄陽(yáng)·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，球O1同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球O2同時(shí)與以C1為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)F.若以F為焦點(diǎn)，AB1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O1，02立體幾何中的計(jì)數(shù)原理排列組合問(wèn)題6.（2024·浙江臺(tái)州·二模）房屋建造時(shí)經(jīng)常需要把長(zhǎng)方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需要.已知長(zhǎng)方體的規(guī)格為24cm×11cm×5cm，現(xiàn)從長(zhǎng)方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到12A．8 B．10 C．12 D．167.（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，A10,0,0,B0,10,0A．C103 B．C93 C．8.（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）從長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的頂點(diǎn)的概率為（

）A．2736 B．2935 C．679.（多選）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（

）A．可以圍成20個(gè)不同的正方形B．可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個(gè)不同的三角形D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形10.（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）如圖ABCDEF?A'B'C'D

03立體幾何動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題空間幾何體中線(xiàn)段和差最值以及幾何體中的軌跡問(wèn)題，以及線(xiàn)線(xiàn)角和線(xiàn)面角的求解，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間距離，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀；結(jié)合等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合線(xiàn)面角的定義求解.11.（多選）（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)A．點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)B．正方體ABCD?A1B1C．直線(xiàn)CP與平面CDD1D．點(diǎn)M為直線(xiàn)D1B上一動(dòng)點(diǎn)，則MP+ME12.（多選）（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1CA．若M在線(xiàn)段AB上，則D1M+MCB．平面ACD1C．若C1M與AB所成的角為π4D．對(duì)于給定的點(diǎn)M，過(guò)M有且僅有3條直線(xiàn)與直線(xiàn)D1A,13.（多選）（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，棱AB的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作正方體的截面A．當(dāng)MN最大時(shí)，MN與BC所成的角為πB．三棱錐A1?BNC．若DN=2，則點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為D．若N∈平面A1BCD114.（多選）（2024·福建廈門(mén)·一模）如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等邊三角形，且AB=23，EF=x(x>0)A．EF//平面ABCDB．二面角A?EF?B隨著x的減小而減小C．當(dāng)BC=2時(shí)，五面體ABCDEF的體積V(x)最大值為27D．當(dāng)BC=32時(shí)，存在x使得半徑為315.（多選）（2024·廣西南寧·一模）在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)A．當(dāng)x=14,z=0,y∈0,1B．當(dāng)x=y=1,z=12時(shí)，異面直線(xiàn)BM與CC．當(dāng)x+y+z=1，且AM=253時(shí)，則D．當(dāng)x+y=1,z=0時(shí)，AM與平面AB104不規(guī)則圖形中的面面夾角問(wèn)題利用向量法解決立體幾何中的空間角問(wèn)題，關(guān)鍵在于依托圖形建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求空間角，其中建系的關(guān)鍵在于找到兩兩垂直的三條直線(xiàn)．16.（2024·浙江臺(tái)州·二模）如圖，已知四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB∥CD，(1)求證：BQ∥平面AD(2)若四棱錐Q?ABB1A1的體積為32317.（2024·浙江杭州·二模）如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°,BC=2PQ=4AB=4,M為BC的中點(diǎn)，PQ∥(1)證明：∠ABQ=90°；(2)若多面體ABCDPQ的體積為152，求平面PCD與平面QAB18.（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P?ABCD的棱AB,BC的長(zhǎng)為2，其余各條棱長(zhǎng)均為1．(1)求四棱錐P?ABCD的體積；(2)求二面角A?PC?B的大?。?9.（2024·安徽·二模）將正方形ABCD繞直線(xiàn)AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得CD到EF(1)求證：平面ACF⊥平面BDE；(2)點(diǎn)M為DF上一點(diǎn)，若二面角C?AM?E的余弦值為13，求∠MAD20.（2024·山西·二模）如圖，四棱錐P?ABCD中，二面角P?CD?A的大小為90°，∠DCP=∠DPC<π4，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°

(1)求證：平面EBD⊥平面PCD；(2)若直線(xiàn)PD與底面ABCD所成的角為60°，求二面角B?ED?C05不規(guī)則圖形中的線(xiàn)面夾角問(wèn)題21.（2024·浙江寧波·二模）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，以AB為軸將菱形ABCD翻折到菱形ABC1D1，使得平面ABC1D(1)求證：CE∥平面ADD(2)求直線(xiàn)CE與平面BDD22.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：直線(xiàn)MN//平面PAD；(2)當(dāng)二面角P?AD?C為120°時(shí)，求直線(xiàn)MN與平面PCD所成的角的正弦值．23.（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐D?ABC中，AC=3,DC=22(1)證明：平面ADC⊥平面ABC；(2)點(diǎn)E為棱DC上，若BC與平面EAB所成角的正弦值為3311，求DE24.（2022·江西贛州·二模）已知四棱錐P—ABCD中，△ABD?△BCD?△BDP都是正三角形AB=2(1)求證：平面ACP⊥平面BDP；(2)求直線(xiàn)BP與平面ADP所成角的正弦值.25.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB,CD,EF兩兩垂直，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段CD上，且滿(mǎn)足DF=4CF,AB=EF=2，CD=5．(1)求證：平面ABC⊥平面ABD．(2)求直線(xiàn)BD與平面ACD所成角的正弦值．06幾何中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題26.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D'中，AB=BC=2，AA'=2，O為正方形ABCD的中心點(diǎn)，將長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D'繞直線(xiàn)A．43?310 B．33?41027.（多選）（2024·河北唐山·一模）在透明的密閉正三棱柱容器ABC?A1B1C

A．水面形狀的變化：三角形?梯形?矩形B．當(dāng)C1AC．當(dāng)B∈α?xí)r，水面與地面的距離為8D．當(dāng)側(cè)面ACC28.（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競(jìng)速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個(gè)三階魔方，由27個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°，則該魔方的表面積增加了29.（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ACB的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，AD=2DB.平面α過(guò)直線(xiàn)AB，且與△ABC所在的平面垂直.(1)求直線(xiàn)CD與平面α所成角的大?。?2)設(shè)點(diǎn)E∈α，且∠ECD=30°，記E的軌跡為曲線(xiàn)Γ.（i）判斷Γ是什么曲線(xiàn)，并說(shuō)明理由；（ii）不與直線(xiàn)AB重合的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D且交Γ于P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在平面α內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得無(wú)論l繞點(diǎn)D如何轉(zhuǎn)動(dòng)，總有∠PTC=∠QTC？若存在，指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說(shuō)明理由.30.（多選）（2024·浙江·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1，的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是正方形A1B1C1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)A1處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為A．移動(dòng)兩次后，“PC=3B．對(duì)任意n∈N?，移動(dòng)n次后，“PA//平面BDC．對(duì)任意n∈N?，移動(dòng)n次后，“PC⊥平面BDD．對(duì)任意n∈N?，移動(dòng)n次后，四面體P?BDC1體積V的數(shù)學(xué)期望EV07立體幾何中的折疊問(wèn)題31.（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，D為線(xiàn)段BC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△ABD沿線(xiàn)段AD折起至△AB'DA．不存在點(diǎn)D，使得CB．點(diǎn)B'在平面ABCC．B'A與平面ABCD．線(xiàn)段CB'32.（多選）（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，BE=1．沿DE將△ADE折起，使點(diǎn)A翻折至平面BCDE外的點(diǎn)P，則（

）A．存在點(diǎn)P，使得PE⊥DC B．存在點(diǎn)P，使得直線(xiàn)BC//平面PDEC．不存在點(diǎn)P，使得PC⊥DE D．不存在點(diǎn)P，使得四棱錐P?BCDE的體積為833.（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△EAB與△FAD是兩個(gè)全等的直角三角形，且FA=4,FC與AD交于點(diǎn)G，將Rt△EAB與Rt△FAD分別沿AB,AD翻折，使E,F重合于點(diǎn)P，連接PC，得到四棱錐(1)證明：BD⊥PC；(2)若M為棱PC的中點(diǎn)，求直線(xiàn)BM與平面PCG所成角的正弦值.34.（多選）（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，過(guò)AC中點(diǎn)M的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)N．將△AMN沿直線(xiàn)l翻折至△A'MN，且點(diǎn)A'在平面BCMN內(nèi)的射影H在線(xiàn)段BC上，連接AH交l于點(diǎn)O

A．∠B．∠C．點(diǎn)O的軌跡的長(zhǎng)度為πD．直線(xiàn)A'O與平面BCMN35.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知在正方形ABCD中，AB=2，M，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)將矩形ABEF沿EF翻折至矩形A'B'EF的位置，使平面(1)證明：平面A'EM⊥平面(2)設(shè)Q是線(xiàn)段A'E上一點(diǎn)，且二面角A'?FM?Q的余弦值為08不規(guī)則圖形表面積、體積問(wèn)題解決不規(guī)則圖形的表面積體積問(wèn)題，注意使用割補(bǔ)法，通過(guò)分割與補(bǔ)形的方法，轉(zhuǎn)化成常規(guī)的幾何體進(jìn)行求解。36.（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

A．724V B．717V C．37.（2022·遼寧錦州·一模）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”.其中2008年北京奧運(yùn)會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”.“冰立方”在冬奧會(huì)期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項(xiàng)目.“水立方”的設(shè)計(jì)靈感來(lái)自威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對(duì)開(kāi)爾文胞體的改進(jìn)，開(kāi)爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形），已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)為2，則該多面體的表面積是（

）A．243+1 B．243+6 C．38.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：CA2//(2)若M是線(xiàn)段BB1的中點(diǎn)，求三棱錐39.（2024·江蘇常州·一模）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)M是棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線(xiàn)AM⊥平面(2)當(dāng)平面AB1M將正四棱柱ABCD?A140.（多選）（2024·安徽蕪湖·二模）如圖，多面體PS?ABCD由正四棱錐P?ABCD和正四面體S?PBC組合而成，其中PS=1，則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（

）A．該幾何體的體積為24 C．二面角A?PB?C的余弦值為?1309立體幾何新定義問(wèn)題立體幾何新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是理解新定義，能夠構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，解決相應(yīng)問(wèn)題．41.（多選）（23-24高三上·河北·期末）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長(zhǎng)記為a，設(shè)Oa表示以O(shè)為圓心，且過(guò)B，C的圓，同理，圓Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧長(zhǎng)分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，若a=b=c，則稱(chēng)其為曲面等邊三角形，線(xiàn)段OA，OB，OC與曲面△ABC圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面O?ABC.設(shè)∠BOC=α，∠AOC=βA．若平面△ABC是面積為34RB．若a2+C．若a=b=c=π3R，則球面D．若平面△ABC為直角三角形，且∠ACB=π242.（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱(chēng)圓錐S）與不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線(xiàn)為C，圓錐S的軸線(xiàn)l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線(xiàn)所成角θ的一半，為探究曲線(xiàn)C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與平面α交點(diǎn)為A，直線(xiàn)AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線(xiàn)OS與球T的切點(diǎn)為M，OM=a，MS(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ關(guān)系式；(2)求證：曲線(xiàn)C是拋物線(xiàn)．43.（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐H?ABC，J?CDE，K?EFA，再分別以AC，CE，EA為軸將△ACH，△CEJ，△EAK分別向上翻轉(zhuǎn)180°，使H，J，K三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于2π減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是π3，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè)BH=x（i）用x表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S(x)；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值.44.（2024·山東濟(jì)南·一模）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其中A,B,C,D∈R，A2+B2+C2≠0，且(1)設(shè)集合M=x,y,zz=0，記P∩M中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S1，Q∩M中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S2，求(2)記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為V1，P∩Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為V2，求V1(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.①求W的體積V3②求W的相鄰（有公共棱）兩個(gè)面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).45.（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+(1)①若A0,2,1,B?1,3,2②證明：OA×(2)記△AOB的面積為S△AOB，證明：S(3)問(wèn)：(OA×OB)2的幾何意義表示以10立體幾何新考點(diǎn)46.（2024·河北滄州·一模）如圖，在正三棱錐A?BCD中，BC=CD=BD=4，點(diǎn)P滿(mǎn)足AP=λAC，λ∈(0,1)，過(guò)點(diǎn)P作平面α分別與棱AB，BD，CD交于Q，S，T三點(diǎn)，且AD//(1)證明：?λ∈(0,1)，四邊形PQST總是矩形；(2)若AC=4，求四棱錐C?PQST體積的最大值.47.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在矩形AB1C1D中，B，C分別為AB1，C1D(1)當(dāng)二面角A?B1C(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于平面C1BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，當(dāng)該多面體ABCDB48.（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求證：三棱錐A1(2)若三棱柱ABC?A1B1C1的體積為49.（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）正錐體具有良好的對(duì)稱(chēng)性．(1)在正三棱錐P?ABC中，證明：PA⊥BC；(2)已知正棱錐P?A①當(dāng)k=2n+1，n∈Z+時(shí)，存在m∈1,2,?,k?1②當(dāng)k=2n+2，n∈Z+時(shí)，不存在m∈1,2,?,k?1注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．50.（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為n，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，定義隨機(jī)變量X的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取