浙江省寧波市九校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022學(xué)年第二學(xué)期寧波市九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知隨機(jī)變量，，它們的分布密度曲線如下圖所示，則下列說法中正確的是()A.， B.，C.， D.，4.已知平面向量，滿足，則在上的投影向量為()A. B. C. D.5.若，，則()A. B. C. D.6.在中，點(diǎn)O滿足，過點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，且，，則的最小值為()A. B. C.3 D.47.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)任意的，，均有成立，則不等式的解集為()A. B.C. D.8.三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角是指由有公共端點(diǎn)且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角余弦定理告訴我們，若，，，平面與平面所成夾角為，則.現(xiàn)已知三棱錐，，，，，，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式成立的是()A. B.C. D.10.以下四個(gè)正方體中，滿足平面CDE的有()A B.C. D.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列說法正確的是()A. B.C.， D.，12.一個(gè)不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回，當(dāng)三種顏色的小球均被摸出過時(shí)就停止摸球.設(shè)“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍(lán)球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則()A. B.C， D.，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)a，b滿足且，則m＝______.14.現(xiàn)有一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，若隨機(jī)拋擲它兩次均正面朝上的概率為，則隨機(jī)拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為______；若隨機(jī)拋擲它10次得到正面朝上的次數(shù)為，則______.(第一空2分，第二空3分)15.已知函數(shù)，若有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的范圍是______.16.已知平面向量，，滿足，，則的最小值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______，請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入上方橫線中作為已知條件，并解答本題(如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分)：①；②，(1)求A；(2)若D為邊BC上一點(diǎn)，且，試判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，并說明理由.18.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上沒有最小值.(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)已知函數(shù)(且)，對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.航班正點(diǎn)率是指航空旅客運(yùn)輸部門在執(zhí)行運(yùn)輸計(jì)劃時(shí)，航班實(shí)際出發(fā)時(shí)間與計(jì)劃出發(fā)時(shí)間較為一致的航班數(shù)量與全部航班數(shù)量的比率.人們常用航班正點(diǎn)率來衡量一個(gè)航空公司的運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量.現(xiàn)隨機(jī)抽取10家航空公司，對(duì)其近一年的航班正點(diǎn)率和顧客投訴次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：航空公司編號(hào)12345678910航班正點(diǎn)率/%82777776747371709169顧客投訴次數(shù)/次2158796874937212218125整理數(shù)據(jù)得：，，，，，(1)(i)證明：樣本相關(guān)系數(shù)；(ii)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(結(jié)果保留2位小數(shù))，并由此推斷顧客投訴次數(shù)與航班正點(diǎn)率之間的線性相關(guān)程度(若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度很強(qiáng)；若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度一般；若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度很弱).(2)用一元線性回歸模型對(duì)上表中的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到顧客投訴次數(shù)關(guān)于航班正點(diǎn)率的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.現(xiàn)有一家航空公司擬通過加強(qiáng)內(nèi)部管理來減少由于公司自身原因引起的航班延誤次數(shù)，并希望一年內(nèi)收到的顧客投訴不超過73次，試估計(jì)該公司的航班正點(diǎn)率應(yīng)達(dá)到多少？參考公式：樣本相關(guān)系數(shù).20.2023年4月23日是第28個(gè)“世界讀書日”.為了倡導(dǎo)學(xué)生享受閱讀帶來的樂趣、尊重和保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán)，立德中學(xué)舉辦了一次閱讀知識(shí)競(jìng)賽.初賽中每支隊(duì)伍均要參加兩輪比賽，只有兩輪比賽均通過的隊(duì)伍才能晉級(jí).現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)參賽，初賽中甲隊(duì)通過第一輪和第二輪的概率均為，乙隊(duì)通過第一輪和第二輪的概率分別為，，且各隊(duì)各輪比賽互不影響.(1)記甲、乙兩隊(duì)中晉級(jí)的隊(duì)伍數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)經(jīng)過激烈的比拼，甲、乙兩隊(duì)成功進(jìn)入決賽爭(zhēng)奪冠軍.決賽共有兩道搶答題.第一題中，某支隊(duì)伍若搶到并答對(duì)則加10分，若搶到但答錯(cuò)則對(duì)方加10分.第二題中，某支隊(duì)伍若搶到并答對(duì)則加20分，若搶到但答錯(cuò)則對(duì)方加20分.最終得分高的隊(duì)伍獲勝.假設(shè)兩支隊(duì)伍在每一題中搶到答題權(quán)的概率均為，且每一題答對(duì)的概率分別與初賽中通過對(duì)應(yīng)輪次的概率相等.各隊(duì)各題作答互不影響.已知甲隊(duì)獲得了冠軍，計(jì)算第二題是由甲隊(duì)搶到答題權(quán)的概率.21.如圖，四面體中，平面平面，，，，(1)若，證明：平面；(2)設(shè)過直線且與直線BC平行的平面為，當(dāng)與平面所成的角最大時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.22.已知，.定義，設(shè)，．(1)若，(i)畫出函數(shù)的圖象；(ii)直接寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)定義區(qū)間的長度.若，，則.設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為D.是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2022學(xué)年第二學(xué)期寧波市九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)z，即可求解.【詳解】由，得，所以，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.故選：A.2.設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系下畫出兩集合對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象，交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為交集元素個(gè)數(shù)【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.對(duì)于函數(shù)，，則且端點(diǎn)處取最大值.兩函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下大致如下，則兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：B3.已知隨機(jī)變量，，它們的分布密度曲線如下圖所示，則下列說法中正確的是()A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由圖結(jié)合正態(tài)分布曲線特點(diǎn)可得答案.【詳解】由圖可得隨機(jī)變量的均值比隨機(jī)變量的均值小，則.又由圖得，隨機(jī)變量的分布比隨機(jī)變量的分布更加分散，則.故選：B4.已知平面向量，滿足，則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律求投影向量即可.【詳解】由知：，可得，所以在上的投影向量為.故選：A5.若，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合角度范圍可得，再根據(jù)二倍角公式可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以＝故選：D6.在中，點(diǎn)O滿足，過點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，且，，則的最小值為()A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用共線定理的推論可得，然后妙用“1”可得.【詳解】由題可知，，因?yàn)?，，所以，，又，所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：A7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)任意的，，均有成立，則不等式的解集為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，判斷也是是定義在上的奇函數(shù)，可得在上遞增，分類討論列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，，均有成立，不妨設(shè)，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以也是是定義在上的奇函數(shù)，所以在上遞增，不等式化為，因?yàn)?，則，或；時(shí)，，不合題意；綜上不等式的解集為，故選：D.8.三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角是指由有公共端點(diǎn)且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角余弦定理告訴我們，若，，，平面與平面所成夾角為，則.現(xiàn)已知三棱錐，，，，，，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，作，平面，則，先表示出，接著用條件表示成，要使三棱錐的體積最大，則最大，利用基本不等式得出時(shí)，其體積最大，然后補(bǔ)全三棱錐成棱柱，根據(jù)棱柱外接球半徑即可求解.【詳解】由題知，，，，平面與平面所成夾角為，作，平面，則，由題意得，，，，，，所以，要使三棱錐的體積最大，則最大，在中，由余弦定理得，，整理得，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，，，因，解得，所以，，即，，，所以補(bǔ)全三棱錐成棱柱，如下圖，則四邊形是菱形，點(diǎn)為其外接球的球心，即中點(diǎn)，所以，，，所以外接球半徑為，即三棱錐外接球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】三棱錐外接球表面積問題，從以下幾個(gè)角度分析：(1)面面角的定義以及辨析；(2)求解最值時(shí)，基本不等式的利用；(3)幾何體割補(bǔ)法的應(yīng)用；(4)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式成立的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式對(duì)各選項(xiàng)逐一計(jì)算判斷作答.【詳解】根據(jù)階乘的概念可知，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.以下四個(gè)正方體中，滿足平面CDE的有()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與平面內(nèi)的直線不垂直可判斷AC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷BD.【詳解】對(duì)A，，，與所成角為，故與平面CDE不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，在正方體中，平面，平面，所以，又，，平面CDE，所以平面CDE，故B正確；對(duì)C，連接，如圖，在正方體中，由正方體面上的對(duì)角線相等可知，為正三角形，所以，又，與所成的角為，所以與平面CDE不垂直，故C不正確；對(duì)D，連接，如圖，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，再由平面，所以平面CDE，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列說法正確的是()A. B.C.， D.，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可得關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，據(jù)此可推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，判斷A，再由函數(shù)的周期求出判斷B，由周期性及對(duì)稱性可判斷C，由以上分析利用求解可判斷D.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，可得，故關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以，又由可得，所以，即，所以，兩式相減可得，即，所以，故A錯(cuò)誤；由周期，，又，所以，即，故B正確；由周期，，，由可得，，，故C正確；由上述分析可知，又因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)函數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.12.一個(gè)不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回，當(dāng)三種顏色的小球均被摸出過時(shí)就停止摸球.設(shè)“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍(lán)球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則()A. B.C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)AC，求出包含的事件數(shù)為，從而得到，并計(jì)算出；選項(xiàng)B，計(jì)算出，，利用條件概率公式計(jì)算出答案，選項(xiàng)D，得出，，和，，利用條件概率公式得到答案.【詳解】對(duì)于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有種可能，若恰好摸球n次就停止摸球，則恰好第n次三種顏色都被摸到，即前次摸到2種顏色，第n次摸到第三種顏色，共種情況，則，，，AC正確；對(duì)于B，事件表示第一次摸到紅球，摸到第4次，摸球結(jié)束，若第2次或第3次摸到的球?yàn)榧t球，此時(shí)有種情況，不妨設(shè)第2次摸到的球?yàn)榧t球，則第3次和第4次摸到的球?yàn)樗{(lán)球或黃球，有2種可能，故有種情況，若第2次和第3次都沒有摸到紅球，則第2次和第3次摸到的球顏色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球顏色不同，故有種情況，故，其中摸4次球可能的情況有種，故，其中，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，表示“第次摸到藍(lán)球，第次摸到黃球，第次摸到紅球，停止摸球”，則前次摸到的球是藍(lán)球或黃球，故有種可能，故，，表示“在前次摸球中，第次摸到藍(lán)球，第次摸到黃球”，故有種可能，故，，則，，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】常見的條件概率處理方法，其一是用樣本點(diǎn)數(shù)的比值處理，需要弄情況事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，其二是用概率的比值處理，也可以縮小樣本空間，從而確定概率，解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于分析情況基本事件.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)a，b滿足且，則m＝______.【答案】100【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化公式，表示出，再結(jié)合換底公式表示出，最后結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解【詳解】由可得，又，即，所以，即故答案為：14.現(xiàn)有一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，若隨機(jī)拋擲它兩次均正面朝上的概率為，則隨機(jī)拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為______；若隨機(jī)拋擲它10次得到正面朝上的次數(shù)為，則______.(第一空2分，第二空3分)【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求出拋擲一枚硬幣正面朝上概率，再由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求出正面、反面朝上各一次的概率為，由二項(xiàng)分布的期望公式求期望.【詳解】設(shè)這枚硬幣正面朝上的概率為，反面朝上的概率為，則兩次正面朝上的概率為，解得，所以隨機(jī)拋擲兩次得到正面，反面朝上各一次的概率為.由題易知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布~，則.故答案為：；.15.已知函數(shù)，若有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題可得方程與方程各有兩個(gè)根，對(duì)于前者轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，后者由判別式結(jié)合韋達(dá)定理可得a范圍，綜合后可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，據(jù)此可得大致圖象如下，又方程的解的個(gè)數(shù)相當(dāng)于函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程最多2個(gè)根，有4個(gè)零點(diǎn)，則方程與方程各有兩個(gè)根.設(shè)方程兩根為，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】16.已知平面向量，，滿足，，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】求出向量的模及夾角，記，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，利用數(shù)形結(jié)合求最值.【詳解】由，即，所以，記，因?yàn)?，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，在以為圓心，2為半徑的圓上，其中，所以，作A關(guān)于直線l(所在直線)的對(duì)稱圓，的對(duì)稱點(diǎn)記為，知，則，如圖，由圖可知，當(dāng)共線時(shí)，存在最小值，因?yàn)?，所以最小值?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量的的幾何表示，原問題轉(zhuǎn)化為求最小值，數(shù)形結(jié)合，利用共線線段最短得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______，請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入上方的橫線中作為已知條件，并解答本題(如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分)：①；②，(1)求A；(2)若D為邊BC上一點(diǎn)，且，試判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，并說明理由.【答案】(1)(2)直角三角形，理由見解析【解析】【分析】(1)選①：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由正弦定理邊化角，然后由二倍角公式化簡(jiǎn)可得；選②：根據(jù)面積公式和余弦定理列方程可解；(2)根據(jù)已知先得，然后平方，聯(lián)立余弦定理求解可得，，然后可判斷三角形形狀.【小問1詳解】若選①：，，，，，，，所以，解得.若選②：，，，，因?yàn)?，?【小問2詳解】，且，即，，，即①，又由余弦定理得②，聯(lián)立①②可得，，從而，故是直角三角形.18.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上沒有最小值.(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)已知函數(shù)(且)，對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再由對(duì)稱軸及在上沒有最小值求出解析式，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間即可；(2)根據(jù)存在性及任意性問題轉(zhuǎn)化為，分別利用三角函數(shù)及對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)求最值，解不等式即可.【小問1詳解】.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.，解得當(dāng)時(shí)，.在上沒有最小值.，解得又，所以，所以.令，解得.所以的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】任意，均存在，使得.....又(且)單調(diào)性相同，在定義域上是增函數(shù)..或或.19.航班正點(diǎn)率是指航空旅客運(yùn)輸部門在執(zhí)行運(yùn)輸計(jì)劃時(shí)，航班實(shí)際出發(fā)時(shí)間與計(jì)劃出發(fā)時(shí)間較為一致的航班數(shù)量與全部航班數(shù)量的比率.人們常用航班正點(diǎn)率來衡量一個(gè)航空公司的運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量.現(xiàn)隨機(jī)抽取10家航空公司，對(duì)其近一年的航班正點(diǎn)率和顧客投訴次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：航空公司編號(hào)12345678910航班正點(diǎn)率/%82777776747371709169顧客投訴次數(shù)/次2158796874937212218125整理數(shù)據(jù)得：，，，，，.(1)(i)證明：樣本相關(guān)系數(shù)；(ii)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(結(jié)果保留2位小數(shù))，并由此推斷顧客投訴次數(shù)與航班正點(diǎn)率之間的線性相關(guān)程度(若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度很強(qiáng)；若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度一般；若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度很弱).(2)用一元線性回歸模型對(duì)上表中的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到顧客投訴次數(shù)關(guān)于航班正點(diǎn)率的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.現(xiàn)有一家航空公司擬通過加強(qiáng)內(nèi)部管理來減少由于公司自身原因引起的航班延誤次數(shù)，并希望一年內(nèi)收到的顧客投訴不超過73次，試估計(jì)該公司的航班正點(diǎn)率應(yīng)達(dá)到多少？參考公式：樣本相關(guān)系數(shù).【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)；顧客投訴次數(shù)與航班正點(diǎn)率之間的線性相關(guān)程度很強(qiáng)(2)76%.【解析】【分析】(1)(i)將展開，結(jié)合平均數(shù)意義化簡(jiǎn)可得，然后分別用替代，用分別替代可證；(ii)根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,然后可作出判斷；(2)利用樣本中心點(diǎn)求，然后根據(jù)回歸方程解不等式可得.【小問1詳解】(i)證明：，在上式中分別用替代，得，同理，也有，故樣本相關(guān)系數(shù).(ii)可知，.，，，，故顧客投訴次數(shù)與航班正點(diǎn)率之間的線性相關(guān)程度很強(qiáng).【小問2詳解】令，得.即該公司的航班正點(diǎn)率應(yīng)達(dá)到76%.20.2023年4月23日是第28個(gè)“世界讀書日”.為了倡導(dǎo)學(xué)生享受閱讀帶來的樂趣、尊重和保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán)，立德中學(xué)舉辦了一次閱讀知識(shí)競(jìng)賽.初賽中每支隊(duì)伍均要參加兩輪比賽，只有兩輪比賽均通過的隊(duì)伍才能晉級(jí).現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)參賽，初賽中甲隊(duì)通過第一輪和第二輪的概率均為，乙隊(duì)通過第一輪和第二輪的概率分別為，，且各隊(duì)各輪比賽互不影響.(1)記甲、乙兩隊(duì)中晉級(jí)的隊(duì)伍數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)經(jīng)過激烈的比拼，甲、乙兩隊(duì)成功進(jìn)入決賽爭(zhēng)奪冠軍.決賽共有兩道搶答題.第一題中，某支隊(duì)伍若搶到并答對(duì)則加10分，若搶到但答錯(cuò)則對(duì)方加10分.第二題中，某支隊(duì)伍若搶到并答對(duì)則加20分，若搶到但答錯(cuò)則對(duì)方加20分.最終得分高的隊(duì)伍獲勝.假設(shè)兩支隊(duì)伍在每一題中搶到答題權(quán)的概率均為，且每一題答對(duì)的概率分別與初賽中通過對(duì)應(yīng)輪次的概率相等.各隊(duì)各題作答互不影響.已知甲隊(duì)獲得了冠軍，計(jì)算第二題是由甲隊(duì)搶到答題權(quán)的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】【分析】(1)設(shè)“甲隊(duì)晉級(jí)”為事件，“乙隊(duì)晉級(jí)”為事件，求得，，得到的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；(2)記事件“甲隊(duì)獲得冠軍”，“該題由甲隊(duì)搶到答題權(quán)”，結(jié)合條件概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)“甲隊(duì)晉級(jí)”為事件，“乙隊(duì)晉級(jí)”為事件，可得，，則隨機(jī)變量的可能取值為，可得；..所以隨機(jī)變量的分布列為012則期望.【小問2詳解】由題意，第二題得分的那隊(duì)獲得勝利，記事件“甲隊(duì)獲得冠