經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)3.4-函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

19五月20241第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

與曲線的凹凸性

第三章三、小結(jié)與思考練習(xí)二、函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法（MonotonicityofFunction&ConcavityandConvexityofCurve）19五月20242一、函數(shù)單調(diào)性的判定法19五月202431.利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性19五月20244解：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間為19五月20245基本步驟：（1）確定定義區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)；（3）找出駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)；（4）以駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)為分界點(diǎn)，把定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，并討論在這些小區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間。1.利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性19五月202462.利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式證明：令則19五月202473.利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明方程根的唯一性提示：令19五月20248二、函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)（InflectionPoint）1、曲線凹凸的定義顯然，曲線AB與BC都是單調(diào)增加的，但它們單調(diào)增加的變化方式卻有所不同。這說(shuō)明：僅靠單調(diào)性來(lái)描述曲線的性態(tài)是不夠的。為此，我們有必要研究一下曲線的彎曲方向問題。19五月20249圖形上任意弧段都位于所張弦的下方于是上式變?yōu)閤19五月202410直接利用定義來(lái)判別曲線的凹凸性是比較困難的，下面利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判別曲線的凹凸性．19五月2024112、曲線凹凸性的判定（證明略）19五月2024123、拐點(diǎn)的定義19五月202413解：凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)19五月2024144、利用凹凸性來(lái)證明一些不等式本題思路：19五月2024151.函數(shù)單調(diào)性的判別法（定理1）內(nèi)容小結(jié)（1）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性（2）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明一些不等式（3）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明方程根的唯一性2.函數(shù)凹凸性的定義3.函數(shù)凹凸性的判別定理（定理2）（1）拐點(diǎn)的定義（會(huì)求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間）（2）會(huì)利用凹凸性來(lái)證明一些不等式19五月202416思考練習(xí)答案：不能斷定.例如，19五月202417但當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意可以任意大，故在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，