時(shí)間序列分析中的截?cái)嘁苿?dòng)平均法的應(yīng)用

時(shí)間序列分析中的截?cái)嘁苿?dòng)平均法的應(yīng)用時(shí)間序列分析中的截?cái)嘁苿?dòng)平均法應(yīng)用1.引言時(shí)間序列分析是處理和分析時(shí)間數(shù)據(jù)的一種重要方法，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、氣象學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域。截?cái)嘁苿?dòng)平均法（TruncatedMovingAverage,TMA）是時(shí)間序列分析中的一種平滑方法，通過(guò)在時(shí)間序列的末尾保留一定期數(shù)的觀察值，以去除隨機(jī)波動(dòng)，揭示時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)性。本文將詳細(xì)介紹截?cái)嘁苿?dòng)平均法的原理和應(yīng)用。2.截?cái)嘁苿?dòng)平均法原理截?cái)嘁苿?dòng)平均法的基本思想是在時(shí)間序列的末尾保留一定期數(shù)的觀察值，以消除短期隨機(jī)波動(dòng)對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響。具體操作如下：（1）選擇一個(gè)合適的窗口長(zhǎng)度（n），表示在時(shí)間序列的末尾保留n期觀察值。（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值。（3）將時(shí)間序列的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，分析時(shí)間序列的波動(dòng)特征。3.截?cái)嘁苿?dòng)平均法的計(jì)算假設(shè)有一個(gè)時(shí)間序列{X_t}，截?cái)嘁苿?dòng)平均法的計(jì)算步驟如下：（1）確定窗口長(zhǎng)度n，一般取2、3、4等較小的整數(shù)。（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，即截?cái)嘁苿?dòng)平均值，公式如下：[{X}_t=_{i=t-n+1}^{t}X_i]（3）將時(shí)間序列的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，分析時(shí)間序列的波動(dòng)特征。4.截?cái)嘁苿?dòng)平均法的應(yīng)用截?cái)嘁苿?dòng)平均法在實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的應(yīng)用前景，以下列舉幾個(gè)典型場(chǎng)景：（1）經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)：在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，截?cái)嘁苿?dòng)平均法可用于預(yù)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)變量、股價(jià)、銷售額等的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。通過(guò)選取合適的窗口長(zhǎng)度，可以有效去除短期波動(dòng)，揭示長(zhǎng)期趨勢(shì)，為經(jīng)濟(jì)決策提供依據(jù)。（2）氣象分析：在氣象學(xué)領(lǐng)域，截?cái)嘁苿?dòng)平均法可用于分析氣溫、降水、風(fēng)力等時(shí)間序列數(shù)據(jù)。通過(guò)保留一定期數(shù)的觀察值，可以去除隨機(jī)天氣事件的影響，更好地了解氣象規(guī)律。（3）生物醫(yī)學(xué)：在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，截?cái)嘁苿?dòng)平均法可用于分析生物標(biāo)志物、心電圖等時(shí)間序列數(shù)據(jù)。通過(guò)去除短期波動(dòng)，可以更準(zhǔn)確地診斷疾病和監(jiān)測(cè)治療效果。5.實(shí)例分析以我國(guó)某城市月均氣溫為例，應(yīng)用截?cái)嘁苿?dòng)平均法進(jìn)行分析。首先，收集該城市過(guò)去幾年每個(gè)月的氣溫?cái)?shù)據(jù)，構(gòu)建時(shí)間序列。然后，選擇合適的窗口長(zhǎng)度，計(jì)算截?cái)嘁苿?dòng)平均值，并將其與實(shí)際觀測(cè)值進(jìn)行比較。通過(guò)分析氣溫的波動(dòng)特征，可以了解該城市氣溫變化的規(guī)律。6.總結(jié)截?cái)嘁苿?dòng)平均法是一種簡(jiǎn)單有效的時(shí)間序列分析方法，通過(guò)保留一定期數(shù)的觀察值，可以去除短期隨機(jī)波動(dòng)，揭示時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)性。在實(shí)際應(yīng)用中，截?cái)嘁苿?dòng)平均法具有廣泛的應(yīng)用前景，可以為經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、氣象分析、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域提供有力支持。然而，截?cái)嘁苿?dòng)平均法也存在一定的局限性，如窗口長(zhǎng)度的選取具有一定的主觀性，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整。在未來(lái)的研究中，可以進(jìn)一步探討如何優(yōu)化窗口長(zhǎng)度的選取，提高截?cái)嘁苿?dòng)平均法的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。##例題1：經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)——預(yù)測(cè)某城市下一季度房?jī)r(jià)走勢(shì)某城市過(guò)去幾個(gè)季度房?jī)r(jià)時(shí)間序列為{X_t}，數(shù)據(jù)如下：季度1：10000元/平方米季度2：10500元/平方米季度3：11000元/平方米季度4：11500元/平方米季度5：12000元/平方米選擇合適的窗口長(zhǎng)度n，預(yù)測(cè)下一個(gè)季度房?jī)r(jià)。（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=2或n=3；（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值；（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果預(yù)測(cè)下一個(gè)季度房?jī)r(jià)。例題2：氣象分析——預(yù)測(cè)某地區(qū)下一周氣溫走勢(shì)某地區(qū)過(guò)去一周每天氣溫時(shí)間序列為{X_t}，數(shù)據(jù)如下：日期1：最高氣溫25℃，最低氣溫15℃日期2：最高氣溫28℃，最低氣溫17℃日期3：最高氣溫30℃，最低氣溫18℃日期4：最高氣溫32℃，最低氣溫19℃日期5：最高氣溫34℃，最低氣溫20℃日期6：最高氣溫35℃，最低氣溫21℃日期7：最高氣溫36℃，最低氣溫22℃選擇合適的窗口長(zhǎng)度n，預(yù)測(cè)下一周最高氣溫走勢(shì)。（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=3或n=4；（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值；（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果預(yù)測(cè)下一周最高氣溫走勢(shì)。例題3：生物醫(yī)學(xué)——分析某患者心電圖數(shù)據(jù)某患者最近一次心電圖數(shù)據(jù)如下：R波：0.6mVS波：0.4mVQ波：0.2mVT波：0.5mV選擇合適的窗口長(zhǎng)度n，分析患者心電圖數(shù)據(jù)。（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=2或n=3；（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)各波段的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值；（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析患者心電圖的波動(dòng)特征。例題4：金融分析——預(yù)測(cè)某股票未來(lái)一周走勢(shì)某股票過(guò)去一周每天收盤價(jià)時(shí)間序列為{X_t}，數(shù)據(jù)如下：日期1：收盤價(jià)100元日期2：收盤價(jià)102元日期3：收盤價(jià)105元日期4：收盤價(jià)108元日期5：收盤價(jià)110元日期6：收盤價(jià)112元日期7：收盤價(jià)114元選擇合適的窗口長(zhǎng)度n，預(yù)測(cè)下一周股票走勢(shì)。（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=3或n=4；（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值；（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果預(yù)測(cè)下一周股票走勢(shì)。例題5：能源分析——預(yù)測(cè)某地區(qū)下一季度電力需求走勢(shì)某地區(qū)過(guò)去幾個(gè)季度電力需求時(shí)間序列為{X_t}，數(shù)據(jù)如下：季度1：需求量1000萬(wàn)千瓦時(shí)季度2：需求量1100萬(wàn)千瓦時(shí)季度3：需求量1200萬(wàn)千瓦時(shí)季度4：需求量1300萬(wàn)千瓦時(shí)季度5：需求量1400萬(wàn)千瓦時(shí)選擇合適的窗口長(zhǎng)度n，預(yù)測(cè)下一個(gè)季度電力需求。（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=2或n=3；（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值；（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果預(yù)測(cè)下一個(gè)季度電力需求。例題6：教育分析——預(yù)測(cè)某學(xué)校下一學(xué)期選課人數(shù)走勢(shì)某學(xué)校過(guò)去幾個(gè)學(xué)期每個(gè)選修課程的選課人數(shù)時(shí)間序列為{X_t}，數(shù)據(jù)如下：學(xué)期1：選課人數(shù)100人學(xué)期2：選課人數(shù)110人學(xué)期3：選課人數(shù)120人學(xué)期4：選課人數(shù)130人學(xué)期5：選課人數(shù)140人選擇合適的窗口長(zhǎng)度n，預(yù)測(cè)下一個(gè)學(xué)期選課人數(shù)。（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=2或n=3；（2）計(jì)算窗口長(zhǎng)度內(nèi)的平均值，作為截?cái)嘁苿?dòng)平均的預(yù)測(cè)值；（3）根據(jù)計(jì)算由于時(shí)間序列分析是一門應(yīng)用廣泛的學(xué)科，涉及到的習(xí)題和練習(xí)內(nèi)容非常多，也很難一一列舉全面。在這里，我將挑選一些具有代表性的經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行解析，并給出正確的解答。這些習(xí)題主要來(lái)自經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、氣象分析、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用。例題1：經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)——銷售量時(shí)間序列分析某公司過(guò)去五年每年的銷售量時(shí)間序列為{X_t}，數(shù)據(jù)如下（單位：千臺(tái)）：年份1：500年份2：520年份3：550年份4：600年份5：620（1）計(jì)算這五年銷售量的截?cái)嘁苿?dòng)平均值，選擇合適的窗口長(zhǎng)度n；（2）根據(jù)截?cái)嘁苿?dòng)平均值預(yù)測(cè)下一年的銷售量。解答（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=3，計(jì)算截?cái)嘁苿?dòng)平均值：計(jì)算第4年的截?cái)嘁苿?dòng)平均值：[{X}_4=(550+600+620)=586.67]計(jì)算第5年的截?cái)嘁苿?dòng)平均值：[{X}_5=(600+620+截?cái)嘁苿?dòng)平均值_{第4年})][{X}_5=(600+620+586.67)=608.89]（2）根據(jù)截?cái)嘁苿?dòng)平均值預(yù)測(cè)下一年的銷售量：由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)一般具有季節(jié)性，因此可以考慮使用過(guò)去幾年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在這里，我們使用過(guò)去五年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即窗口長(zhǎng)度n=3。根據(jù)計(jì)算得到的截?cái)嘁苿?dòng)平均值，預(yù)測(cè)下一年的銷售量為608.89千臺(tái)。例題2：氣象分析——?dú)鉁貢r(shí)間序列分析某地區(qū)過(guò)去五年每月的平均氣溫時(shí)間序列為{X_t}（單位：攝氏度），數(shù)據(jù)如下：月份1：6.5月份2：8.2月份3：10.0月份4：12.7月份5：15.3月份6：17.8月份7：19.2月份8：20.5月份9：21.8月份10：20.9月份11：19.2月份12：17.5（1）計(jì)算這五年每月平均氣溫的截?cái)嘁苿?dòng)平均值，選擇合適的窗口長(zhǎng)度n；（2）根據(jù)截?cái)嘁苿?dòng)平均值預(yù)測(cè)下一個(gè)月平均氣溫。解答（1）選擇窗口長(zhǎng)度n=3，計(jì)算截?cái)嘁苿?dòng)平均值：計(jì)算第12個(gè)月的截?cái)嘁苿?dòng)平均值：[{X}_{12}=(19.2+17.5+截?cái)嘁苿?dòng)平均值_{第11個(gè)月})][{X}_{12}=(19.2+17.5+19.2)=18.83]（2）根據(jù)截?cái)嘁苿?dòng)平均值預(yù)測(cè)下一個(gè)月平均氣溫：由于氣溫?cái)?shù)據(jù)具有季節(jié)性，因此可以考慮使用過(guò)去幾年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在這里，我們使用過(guò)去五年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即窗口長(zhǎng)度n=3。根據(jù)計(jì)算得到的截?cái)嘁苿?dòng)平均值，預(yù)測(cè)下一個(gè)月平均氣