浙江省溫州市溫州中學高三第一次模擬考試數(shù)學試題

浙江省溫州中學2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學學科一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算，得到復數(shù)的代數(shù)形式，由此求得復數(shù)的虛部.【詳解】因為，所以虛部為1.故選：D．2.某校高一年級18個班參加藝術節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.93 B.93.5 C.94 D.94.5【答案】B【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均值，即.故選：B.3.已知直線與圓有公共點，則b的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圓心到直線距離小于等于半徑，得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得，圓心到直線距離，解得，故的取值范圍是.故選：A4.三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先作圖構造外接球的球心，再根據(jù)幾何關系求外接球的半徑，最后代入三棱錐外接球的表面積公式.【詳解】如圖，點為外接圓的圓心，過點作平面的垂線，點為的中點，過點作線段的垂線，所作兩條垂線交于點，則點為三棱錐外接球的球心，因為平面，且為等邊三角形，，所以四邊形為矩形，，，所以，即三棱錐外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為.故選：B5.已知等比數(shù)列的首項，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結合等差數(shù)列的前項和公式、充分性和必要性的定義進行判斷即可.【詳解】由題意，，，當時，對于不一定恒成立，例如；當為遞減數(shù)列時，且對于恒成立，又因為，所以得，因此“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”必要不充分條件，故選：C.6.已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的單調性求出單調遞增區(qū)間，可得，解不等式即可得出答案.【詳解】由題意得，函數(shù)的增區(qū)間為，且，解得.由題意可知：.于是，解得.又，于是.故選：A.7.在直角梯形，，，，，，分別為，的中點，點在以A為圓心，為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合題意建立直角坐標系，得到各點的坐標，再由得到，，從而得到，由此可求得的取值范圍.【詳解】結合題意建立直角坐標，如圖所示：.則，，，，，，則，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故，即.故選：A.8.已知，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，構建函數(shù)，利用導數(shù)分析可知在上單調遞增，進而結合對數(shù)函數(shù)單調性分析判斷.【詳解】因為，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令，則，可知在上單調遞增，因為，則，可知恒成立，則，即，可得，則在上單調遞增，可得，可得，即，又因為在上單調遞增，所以.故選：D.【點睛】關鍵點睛：對題中式子整理觀察形式，構建函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性.二、多選題：本大題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.下列選項中，與“”互為充要條件的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】求解各不等式判斷即可.【詳解】對A，則，即，，解得，故A錯誤；對B，則，故，解得，故B正確；對C，則，解得，故C正確；對D，，則，解得，故D錯誤.故選：BC10.設A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（）A.A，B相互獨立 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用獨立事件、對立事件、互斥事件的定義與概率公式可判定A、B，利用條件概率的定義與公式可判定C、D.【詳解】由題意可知，事件互斥，且，所以，即，故A正確；則，故B正確；由條件概率公式可知：，故C錯誤；，即，故D正確.故選：ABD11.在三棱錐中，，，是棱的中點，是棱上一點，，平面，則（）A.平面 B.平面平面C.點到底面的距離為2 D.二面角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷B；取的中點，過點作交于點，利用線面垂直的判定定理可得平面，求出可判斷C；以為正交基底建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，由線面角的向量求法可判斷D．【詳解】對于A，因為平面，平面，所以．因為，且直線平面，所以．因為平面，平面，所以平面，A正確；對于B，平面，平面，所以平面平面，B正確；對于C，取的中點，連接，過點作交于點，因為，所以．因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，，C錯誤；對于D，如圖，以為正交基底建立空間直角坐標系，因為是的中點，，所以，因為，所以，即，所以，設平面一個法向量，則，即，令，得，所以平面的一個法向量，設平面的一個法向量，則，即，令，得，所以平面的一個法向量，所以，設二面角為，所以，所以二面角的正弦值為，故D正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：二面角的通常求法，1、由定義作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.設為拋物線的焦點，直線與的準線，交于點．已知與相切，切點為，直線與的一個交點為，則（）A.點在上 B.C.以為直徑的圓與相離 D.直線與相切【答案】BCD【解析】【分析】A選項，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根的判別式得到點在上；B選項，作出輔助線，結合拋物線定義得到相等關系，再由大邊對大角作出判斷；C選項，證明出以為直徑的圓與軸相切，得到C正確；D選項，設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點坐標，從而求出直線方程，聯(lián)立拋物線，根據(jù)根的判別式得到答案.【詳解】對于A，聯(lián)立直線與的方程，消去得，因為與相切，所以，即，所以點在上，A錯誤．對于B，過點作垂直于的準線，垂足為，由拋物線定義知，因為，所以，所以在中，，由大邊對大角得，B正確．對于C，，由A選項與相切，切點為，可得，其中，則的中點坐標為，且，故半徑為，由于半徑等于以為直徑的圓的圓心橫坐標，故以為直徑的圓與軸相切，所以與相離，C正確；對于D，設直線方程為，與聯(lián)立得，所以，解得，則，因為，所以直線方程為，聯(lián)立直線與曲線的方程得，因為，所以直線與相切，D正確．故選：BCD．【點睛】拋物線的相關結論，中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切.三、填空題：本大題共4小題13.已知，（a為實數(shù)）．若q的一個充分不必要條件是p，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用小范圍是大范圍的充分不必要條件轉換成集合的包含關系求解.【詳解】因為q的一個充分不必要條件是p，所以是的一個真子集，則，即實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14.已知正項數(shù)列滿足，則_______.【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結果.【詳解】由可得，由累乘可得.故答案為：15.直三棱柱的底面是直角三角形，，，，．若平面將該直三棱柱截成兩部分，將兩部分幾何體組成一個平行六面體，且該平行六面體內接于球，則此外接球表面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】可能是的中垂面，的中垂面，的中垂面.截下的部分與剩余的部分組合成為長方體,用公式求出外接球直徑進而求解.【詳解】平行六面體內接于球，則平行六面體為直四棱柱，如圖有如下三種可能.截下的部分與剩余的部分組合成為長方體，則或或，所以．故答案為：16.對任意，函數(shù)恒成立，則a的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】變形為，構造，求導得到單調性進而恒成立，故，分當和兩種情況，結合單調性和最值，得到，得到答案.【詳解】由題意得，因為，所以，即，令，則恒成立，因為，令得，，單調遞增，令得，，單調遞減，且當時，恒成立，當時，恒成立，因為，所以恒成立，故，當時，，此時滿足恒成立，當，即時，由于在上單調遞增，由得，令，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故，即，所以，a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，通常使用同構來進行求解，本題難點是兩邊同時乘以，變形得到，從而構造進行求解.四、解答題：木大題共6小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，內角的對邊分別為，，，且，，.（1）求角及邊的值；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，求出，由正弦定理得到；（2）由二倍角公式求出，由差角公式求出答案.【小問1詳解】因為，由余弦定理得，因為，所以，因為，，所以，由正弦定理得，即，解得；【小問2詳解】由（1）得，，18.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項和為，求使得成立的的最小值．【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）根據(jù)關系及遞推式可得，結合等比數(shù)列定義寫出通項公式，即可得結果；（2）應用裂項相消法求，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質求得，即可得結果.【小問1詳解】當時，，所以，則，而，所以，故是首項、公比都為2的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由，所以，要使，即，由且，則.所以使得成立的的最小值為10.19.如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過作平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線定理結線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質可得∥，由等腰三角形的性質可得⊥，從而可得⊥，再由已知可得⊥平面，則⊥，然后利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）作⊥于，連，則由已知條件可證得平面，從而可得就是二面角的平面角，過作⊥于，則可得∥，設，然后利用平行線分線段成比例定理結合已知條件可求得，在中可求出的長，從而可求得，進而可直角三角形中可求得結果.【詳解】（1）證明：因為、分別是、的中點，所以是的中位線，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為平面，平面平面，所以∥．因為、分別是、的中點，所以，因為，所以，因為是的中點，所以⊥，所以⊥．因為⊥，⊥，，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為因此⊥面．（2）作⊥于，連．因為，因為⊥平面，因為平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以⊥，所以就是二面角的平面角．過作⊥于，則∥，則是的中點，則．設，由得，，解得，則，在中，，則．所以在中，，故二面角為．20.甲、乙、丙為完全相同的三個不透明盒子，盒內均裝有除顏色外完全相同的球.甲盒裝有4個白球，8個黑球，乙盒裝有1個白球，5個黑球，丙盒裝有3個白球，3個黑球.（1）隨機抽取一個盒子，再從該盒子中隨機摸出1個球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球屬于乙箱子的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出事件，運用全概率公式求解即可.（2）利用條件概率公式求解即可.【小問1詳解】記取到甲盒子為事件，取到乙盒子為事件，取到丙盒子為事件，取到黑球為事件B：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.【小問2詳解】由條件概率公式得，故此球屬于乙箱子的概率是21.設橢圓，是上一個動點，點，長的最小值為．（1）求的值：（2）設過點且斜率不為0的直線交于兩點，分別為的左、右頂點，直線和直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設出點坐標，并求出長，再結合二次函數(shù)探求最小值即得解.（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設出點的坐標，利用斜率坐標公式，結合韋達定理計算即得.【小問1詳解】依題意，橢圓的焦點在軸上，設焦距為，設，則，而，則，而，則，即，因此，由，得當時，，即，化簡得，又，解得，所以．【小問2詳解】由（1）知，橢圓的方程為，點，設，則，即，斜率不為0的直線過點，設方程為，則，由消去并整理得，顯然，則，即有，因此，所以為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22已知.（1）若過點作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案