高中數(shù)學(xué)人教B版課件第八章章末整合

章末整合專題一專題二專題三專題一

向量的數(shù)量積及應(yīng)用

例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a與b不共線.(1)若a與b的夾角為60°,求(2a-b)·(a+b);(2)若向量ka+b與ka-b互相垂直,求k的值.解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a||b|cos<a,b>-|b|2=2×1+1×4×cos

60°-42=-12.(2)由題意可得(ka+b)·(ka-b)=0,即k2a2-b2=0,∵a2=1,b2=16,∴k2-16=0,故k=±4.方法技巧

求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角θ,θ∈[0,π];(2)分別求|a|和|b|;(3)求數(shù)量積,即a·b=|a||b|cos

θ,要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接,而不能用“×”連接,也不能省去.專題一專題二專題三專題一專題二專題三例2(1)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量,若向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,求k的取值范圍.(2)已知非零向量a,b滿足a+3b與7a-5b互相垂直,a-4b與7a-2b互相垂直,求a與b的夾角.解(1)∵e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,當(dāng)k=1時,e1+ke2=ke1+e2,它們的夾角為0,不符合題意,舍去.綜上,k的取值范圍為{k|k>0,且k≠1}.專題一專題二專題三專題一專題二專題三例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.(1)若b⊥c,求k的值;(2)求a與b夾角的余弦值.專題一專題二專題三專題一專題二專題三變式訓(xùn)練2已知非零向量a,b滿足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),則<a,b>為

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解析∵b⊥(a+2b),∴b·(a+2b)=a·b+2b2=|a||b|cos<a,b>+2|b|2=0,即4|b|2cos<a,b>+2|b|2=0,專題一專題二專題三專題二

三角恒等變換中的“四變”策略

1.變角——角的變換例4已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=2,則sin4α的值為

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專題一專題二專題三方法技巧

若“條件角”與所求的“目標(biāo)角”不同,則可以用“條件角”表示出“目標(biāo)角”,然后根據(jù)它們之間的關(guān)系,選用相關(guān)的三角恒等變換公式求解.當(dāng)題目中涉及三種不同的角:α+β,α-β,4α?xí)r,選擇哪一種角為目標(biāo)最合適?通過觀察可以發(fā)現(xiàn)(α+β)+(α-β)=2α,4α=2×2α,這樣,2α是必然的選擇,然后,恰當(dāng)?shù)剡x擇三角公式進行恒等變形,目的就容易達(dá)到了.專題一專題二專題三答案4方法技巧

對于含有多種三角函數(shù)的問題,要從題目中所給的各函數(shù)間的關(guān)系入手,尋求統(tǒng)一函數(shù)名稱的變換途徑.正確選用三角變換公式,通過變換盡量減少三角函數(shù)的種類,從而提高解題效率.注意到函數(shù)表達(dá)式的分子與分母是關(guān)于sin

x與cos

x的二次齊次式,所以,分子與分母同時除以cos2x,便可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan

x的函數(shù)進行求解.專題一專題二專題三方法技巧

由于已知條件中給出了sin

α的值,而所求三角函數(shù)式中所涉及的角都是與α有關(guān)的角,因此可利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等求解.專題一專題二專題三方法技巧

根據(jù)需要,常常將“1”進行轉(zhuǎn)化,如1=sin2x+cos2x=(sin

x±cos

x)2?2sin

xcos

x等.專題一專題二專題三專題三

三角恒等變換與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合

例8已知a=(,-1),b=(sinx,cosx),x∈R,f(x)=a·b,求函數(shù)f(x)的周期、值域、單調(diào)遞增區(qū)間.專題一專題二專題三方法技巧

輔助角公式及其運用(2)形式選擇:化為正弦還是余弦,要看具體條件而定,一般要求變形后角α的系數(shù)為正,這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

三角恒等變換與三角函數(shù)圖像性質(zhì)的綜合問題的解題策略運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asin

ωx+bc