信號(hào)與系統(tǒng)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析II

信號(hào)與線性系統(tǒng)——第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)代替無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)。顯然，有限項(xiàng)數(shù)是一種近似的方法，所選項(xiàng)數(shù)愈多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)愈逼近原函數(shù)，其方均誤差愈小。傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T，角頻率

=2

/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)可見(jiàn)，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。式中，A0=a0上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中A0/2為直流分量；A1cos(

t+

1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；A2cos(2

t+

2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n

t+

n)稱為n次諧波?？梢?jiàn)An是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為例子：以下為對(duì)稱方波，注意不同的項(xiàng)數(shù)，有限級(jí)數(shù)對(duì)原函數(shù)的逼近情況，并計(jì)算由此引起的方均誤差。只取基波分量一項(xiàng)解：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量從上面例子看出：(1)n愈大，則愈逼近原信號(hào)f(t)。(2)當(dāng)信號(hào)f(t)是脈沖信號(hào)時(shí)，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當(dāng)信號(hào)中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，輸出波形一般要發(fā)生失真。當(dāng)選取傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)N很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開(kāi)始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)bn=0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)an=0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)

由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0

三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/2例如：周期三角波信號(hào)是一偶函數(shù)其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：例如：周期鋸齒波信號(hào)是一奇函數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)式中，T=2π/Ω為指數(shù)函數(shù)公共周期(即任意周期信號(hào)的周期），m、n為整數(shù)。任意函數(shù)f(t)可在區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為

上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，

–n=–

n，則上式寫為令A(yù)0=A0ej

0ej0

t

，

0=0所以令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。F0=A0/2為直流分量。4.3周期信號(hào)的頻譜一、信號(hào)頻譜的概念

從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和

n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和

n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn

。關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。

關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。可畫出頻譜圖；

幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線單邊頻譜圖指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜--復(fù)數(shù)頻譜Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。幅度譜與相位譜合并

總結(jié)（1）周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（3）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率(1)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式三角形式指數(shù)形式(2)兩種頻譜圖的關(guān)系單邊頻譜雙邊頻譜其中●●●(3)三個(gè)性質(zhì)(4)引入負(fù)頻率注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性例：周期信號(hào)f(t)=試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號(hào)的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點(diǎn)為所以，m為整數(shù)。特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，

變小，此時(shí)

（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：

1/

=（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。(b)

一定，T增大，間隔

減小，頻譜變密。幅度減小。

如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。周期信號(hào)的功率——Parseval等式直流和n次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率之和。

n≥0時(shí)，|Fn|=An/2。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為4.4非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換

非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔

趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)?？紤]到：T→∞，Ω→無(wú)窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，傅里葉變換式傅里葉反變換式F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)也可簡(jiǎn)記為F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)說(shuō)明

(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分

單個(gè)矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換圖4.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度為τ，高度為1，通常用符號(hào)gτ(t)來(lái)表示。試求其頻譜函數(shù)。解：門函數(shù)gτ(t)可表示為圖4.4-1門函數(shù)及其頻譜(a)門函數(shù)；(b)門函數(shù)的頻譜；(c)幅度譜；(d)相位譜

其傅里葉變換為：一、單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換解：代入傅里葉變換定義公式中單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：時(shí)域波形頻域頻譜二、雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：頻域頻譜時(shí)域波形相位等0(3)沖激函數(shù)

時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)的變換可由定義直接得到由式可知，時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)頻譜的所有頻率分量均勻分布（為常數(shù)1），這樣的頻譜也稱白色譜。沖激函數(shù)δ(t)、頻譜函數(shù)如圖所示。圖4.4-6沖激函數(shù)及其頻譜解：可見(jiàn)，沖激函數(shù)δ(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說(shuō)，δ(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。顯然，信號(hào)δ(t)實(shí)際上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。(4).門函數(shù)(矩形脈沖)(5).沖激函數(shù)

(t)、′(t)(6).常數(shù)有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，

(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。可構(gòu)造一函數(shù)序列{fn(t)}逼近f

(t)

，即而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j

)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j

)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。構(gòu)造f

(t)=e-

t

，

>0←→

所以又因此，1←→2()

另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式，得(7).符號(hào)函數(shù)(8).階躍函數(shù)

(t)歸納記憶：1.F變換對(duì)2.常用函數(shù)F變換對(duì)：δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)4.5傅里葉變換的性質(zhì)一、線性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-2.奇偶特性

f(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，其奇，偶對(duì)稱性對(duì)傅里葉變換影響。F(jω)的模與幅角、實(shí)部與虛部表示形式為其中因此可以看到R(ω)、|F(ω)|是ω的偶函數(shù)；X(ω)、φ(ω)是ω的奇函數(shù)。特別地f(t)為實(shí)偶函數(shù)，我們有即其頻譜函數(shù)只有實(shí)部，是ω的偶函數(shù)。

由式可知若f(t)是t的實(shí)奇函數(shù)，則F(ω)必為ω的虛奇函數(shù)。

特別地f(t)為實(shí)奇函數(shù)，我們有證：則

將變量ω用x代換，積分結(jié)果不變舉例：例：←→F(jω)=?解:若α=1,∴4.尺度變換若f(t)←→F(jω)，則當(dāng)a>0時(shí)，令at=x,則，代入上式當(dāng)a<0時(shí),令at=x,則dt=-1/adx，代入上式(再令x=t且積分上、下限互換)綜合a>0、a<0兩種情況，尺度變換特性表示為

特別地當(dāng)a=-1時(shí)，得到f(t)的折疊函數(shù)f(-t)，其頻譜亦為原頻譜的折疊，即

f(-t)←→

F(-jω)

尺度特性說(shuō)明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮，頻域中就擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展，在頻域中就一定壓縮；即信號(hào)的脈寬與頻寬成反比。一般時(shí)寬有限的信號(hào)，其頻寬無(wú)限，反之亦然。由于信號(hào)在時(shí)域壓縮（擴(kuò)展）時(shí)，其能量成比例的減少（增加），因此其頻譜幅度要相應(yīng)乘以系數(shù)1/|a|。也可以理解為信號(hào)波形壓縮（擴(kuò)展）a倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加快（慢）a倍，所以信號(hào)所包含的頻率分量增加（減少）a倍，頻譜展寬（壓縮）a倍。又因能量守恒原理，各頻率分量的大小減?。ㄔ黾樱゛倍。下圖表示了矩形脈沖及頻譜的展縮情況。圖矩形脈沖及頻譜的展縮

信號(hào)在時(shí)域中延時(shí)t-t0（沿時(shí)間軸右移），等效于在頻域中相位產(chǎn)生偏差（-wt0),其幅度譜不變。圖矩形脈沖信號(hào)圖

例：求如圖所示信號(hào)f1(t)的頻譜函數(shù)F1(ω)，并作頻譜圖。

解f1(t)與門函數(shù)的關(guān)系為由上節(jié)門函數(shù)的變換

f1(t)的振幅、相位頻譜函數(shù)|F1(ω)|、φ1(ω)如圖所示。

再由線性與時(shí)移性，得到圖該矩形脈沖的振幅、相位頻譜證：頻移特性表明信號(hào)在時(shí)域中與復(fù)因子相乘，則在頻域中將使整個(gè)頻譜搬移ω0。實(shí)用中，通常不會(huì)把一時(shí)間的實(shí)函數(shù)去乘以復(fù)指數(shù)函數(shù)，而與正弦函數(shù)來(lái)相乘。但正弦函數(shù)總可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)之和。6.頻移性

若f(t)←→F(jω),則：這樣，若有f(t)←→F(ω)，則實(shí)際調(diào)制解調(diào)的載波(本振)信號(hào)是正、余弦信號(hào)，借助歐拉公式正、余弦信號(hào)可以分別表示為(交換積分次序)

(利用時(shí)延性)7.時(shí)域卷積定理若f1(t)←→

F1(jω)，f2(t)←→

F2(jω)，則

f1(t)*f2(t)←→

F1(jω)F2(jω)證:

證

頻域卷積定理

若f1(t)←→

F1(jω)，f2(t)←→

F2(jω)，

8、時(shí)域的微分和積分Iff(t)←→F(jω)thenf(t)=1/t2←→?舉例1（微分性）Ans:Determinef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)九、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because

(

)

(

)and(1/j

)

(

)isnotdefined.Forexample2Ans:4.6能量譜和功率譜一.能量譜

電壓(電流)信號(hào)f(t)加于一歐姆電阻上所耗散的能量。

上式是帕塞瓦爾定理在非周期信號(hào)的能量等式，也叫雷利定理。

一般來(lái)說(shuō)，非周期信號(hào)不是功率信號(hào)，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個(gè)能量信號(hào)。非周期信號(hào)的總能量E為

非周期信號(hào)的帕塞瓦爾定理表明，對(duì)非周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)能量與頻域中求得的信號(hào)能量相等。由于是的偶函數(shù)，因而

非周期信號(hào)是由無(wú)限多個(gè)振幅為無(wú)窮小的頻率分量組成的，各頻率分量的能量也為無(wú)窮小量。為了表明信號(hào)能量在頻率分量上的分布情況，與頻譜密度函數(shù)相似，引入個(gè)能量密度頻譜函數(shù)，簡(jiǎn)稱為能量譜。能量譜G（）為各頻率點(diǎn)上單位頻帶中的信號(hào)能量，所以信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的全部能量為可得到其單位為焦耳/赫茲。得到信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與信號(hào)的能量譜是一對(duì)傅氏變換對(duì)，即有

二.功率譜

對(duì)功率信號(hào)而言最重要的參數(shù)是平均功率，即信號(hào)的均方值(方均值)。用得到能量譜的方法，我們可以得到功率譜密度函數(shù)。1.功率譜密度函數(shù)定義令fT(t)為f(t)的截短函數(shù)如圖所示，即

圖f(t)的截短函數(shù)這樣信號(hào)的平均功率可由功率譜密度表示功率譜的單位為W(瓦特)/Hz(赫茲)。

2.

P(ω)與R(τ)的關(guān)系

功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義為

4.7周期信號(hào)的傅里葉變換

周期信號(hào)-------傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)-------傅里葉變換周期無(wú)窮大求和變求積分

周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。目的：把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。先討論指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換，已知常數(shù)1的傅里葉變換為：正弦、余弦周期信號(hào)的傅里葉變換

正弦、余弦周期信號(hào)的頻譜一般周期信號(hào)的傅里葉變換

令周期信號(hào)f(t)的周期為T1，角頻率為

1=2

f1其中：周期信號(hào)的頻譜函數(shù)是一個(gè)沖激序列。例求周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。解：結(jié)果：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)的間隔為T1，用符號(hào)

T(t)表示周期單位沖激序列：FS

可見(jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于

=0,1,21,n1,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T1。FT

T(t)是周期函數(shù)，求其傅里葉級(jí)數(shù)：再求T(t)的傅里葉變換。

可見(jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于

=0,1,21,n1,頻率處的沖激函數(shù)，其強(qiáng)度大小相等，均等于1。利用單脈沖信號(hào)的傅里葉變換求周期信號(hào)的傅里葉變換單脈沖信號(hào)：從周期脈沖信號(hào)f(t)中截取一個(gè)周期，得到單脈沖信號(hào)f0(t)。周期信號(hào)為T的信號(hào)可以看成f0(t)與周期為T的沖激序列

T(t)的卷積，即單脈沖的傅里葉變換F0(

):為非周期信號(hào)直接用傅里葉變換定義公式。按照時(shí)域卷積定理，可以直接求得周期信號(hào)的傅里葉變換。

可見(jiàn)，利用單脈沖信號(hào)的傅里葉變換可以很方便地求得周期信號(hào)的傅里葉變換。周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Fn等于單脈沖信號(hào)的傅里葉變換F0(

)在n

1頻率點(diǎn)的值乘以1/T1?；?qū)懗?/p>

還可利用單脈沖的傅里葉變換求周期性信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換解：先求矩形單脈沖信號(hào)f0(t)的傅里葉變換F0(w)………再求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)Fn……求得周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：最后求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換F(w)?？闯觯褐芷谛盘?hào)頻譜是離散的；非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)。4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：其基本信號(hào)為ej

t一、基本信號(hào)ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=–∞總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。

設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號(hào)ej

t時(shí)，其響應(yīng)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j

)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。y(t)=H(j

)ej

tH(j

)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t二、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)頻率響應(yīng)H(j

)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j

)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j

)之比，即

H(j

)

稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。

H(j

)

是

的偶函數(shù)，θ(

)是

的奇函數(shù)。例：某LTI系統(tǒng)的

H(j

)

和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j

)=F(j

)H(j

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j

)=H(j

)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j

)]=2+2sin(5t)解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)三、頻率響應(yīng)H(j

)的求法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。例1：某系統(tǒng)的微分方程為

y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以u(píng)C(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)=e-tε(t)

失真與無(wú)失真：系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不同，信號(hào)在傳輸過(guò)程中將產(chǎn)生失真。線性系統(tǒng)引起的信號(hào)失真有兩個(gè)原因：幅度失真與相位失真。稱為線性失真。幅度失真與相位失真都不產(chǎn)生新的頻率分量；而非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。無(wú)失真是指響應(yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)相比，只是大小與出現(xiàn)的時(shí)間不同，而波形不變化。四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類：一類是信號(hào)的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。

1、無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)應(yīng)為

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關(guān)系為Y(j

)=Ke–j

tdF(j

)系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是：

(a)對(duì)h(t)的要求：

h(t)=K

(t–td)(b)對(duì)H(j

)的要求：

H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。

(2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是B(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)2、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。

c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：

(1)沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g2

c()e-jtd]=可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。推導(dǎo)：已知：，根據(jù)對(duì)稱性：將

換成2

c，得：根據(jù)時(shí)移特性：(2)階躍響應(yīng)

g(t)=h(t)*

(t)=經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分特點(diǎn)：有明顯失真，只要

c<∞，則必有振蕩，其過(guò)沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.08953、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0,t<0

即響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。就頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足

并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。例1在如圖所示電路中，輸出電壓u(t),輸入電流is(t),試求電路頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)。為了能無(wú)失真?zhèn)鬏敚嚧_定R1和R2的數(shù)值。解：系統(tǒng)函數(shù)為+-無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：R1=R2=1

，這時(shí)H(j)=12R1R如圖所示為信號(hào)f(t)通過(guò)一個(gè)理想濾波器濾波器的截止頻率為5Hz，對(duì)于以下的f(t)，求輸出y(t)。理想低通濾波器(1)(2)解：(1)(2)例24.9取樣定理

取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)。可以說(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。

一、信號(hào)的取樣

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)。

請(qǐng)同學(xué)們注意區(qū)別：取樣信號(hào)與抽樣函數(shù)Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個(gè)含義。如圖一連續(xù)信號(hào)f(t)用取樣脈沖序列s(t)(開(kāi)關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為TS，fS=1/TS稱為取樣頻率。得取樣信號(hào)fS(t)=f(t)s(t)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)FS(j

)=(1/2

)F(j

)*S(j

)沖激取樣

若s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列

Ts(t),則稱為沖激取樣。

如果f(t)是帶限信號(hào)[即f(t)的頻譜只在區(qū)間（-

m，

m)為有限值]，