信息光學(xué)第二章

第二章標(biāo)量衍射理論主講人：徐世祥基爾霍夫積分定理基爾霍夫衍射公式菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射幾種典型衍射本章主要內(nèi)容教學(xué)目的要求本章是教學(xué)重點(diǎn)，是信息光學(xué)的物理基礎(chǔ)。要求學(xué)生掌握標(biāo)量衍射理論，側(cè)重利用菲涅耳衍射與卷積，夫瑯和費(fèi)衍射與傅立葉變化關(guān)系解決問(wèn)題。§2.1引言

光的衍射現(xiàn)象：光波在空間傳播遇到障礙時(shí)，其傳播方向會(huì)偏離直線傳播，彎入到障礙物的幾何陰影中，并呈現(xiàn)光強(qiáng)的不均勻分布的現(xiàn)象。

光的衍射是光的波動(dòng)性的主要標(biāo)志之一。

幾何光學(xué)中強(qiáng)調(diào)的光是直線傳播的；而這里又說(shuō)光不是直線傳播的，有衍射現(xiàn)象。這兩種說(shuō)法是不是相互矛盾的呢？不是。幾何光學(xué)所說(shuō)的直線傳播是在忽略光的波動(dòng)性情況下的近似。（幾何光學(xué)理論是近似的）什么情況下幾何光學(xué)近似成立？1）波長(zhǎng)等于零的情況下(不現(xiàn)實(shí))；2）傳輸距離足夠短。總結(jié)一句話：菲涅爾數(shù)足夠大（幾百量級(jí)）。菲涅爾數(shù)如何用波動(dòng)性去解釋和計(jì)算衍射光場(chǎng)的分布呢？矢量波衍射理論：嚴(yán)格的電磁波理論，利用一定的邊界條件求解麥克斯韋方程組，但復(fù)雜，大多數(shù)只能數(shù)值求解。標(biāo)量波衍射理論：光波當(dāng)作標(biāo)量處理。簡(jiǎn)單，但屬近似處理。標(biāo)量波衍射理論適用的條件：1）衍射孔徑大大于波長(zhǎng)；2）觀測(cè)點(diǎn)到孔徑的距離不要太近。菲涅爾數(shù)足夠小。標(biāo)量波衍射理論的核心問(wèn)題用確定邊界上的復(fù)振幅分布來(lái)表達(dá)光場(chǎng)中任一觀測(cè)點(diǎn)的復(fù)振幅分布。如果邊界上的復(fù)振幅分布相同，即使光的振動(dòng)方向不同，所得到的結(jié)果也應(yīng)該一樣?；莞估碚摶莞梗颇碚摶鶢柣舴蚶碚搸缀畏椒?，直觀。缺乏嚴(yán)格理論根據(jù)引入干涉理論，不完善引入格林函數(shù)，嚴(yán)格標(biāo)量衍射惠更斯原理

惠更斯原理可以用來(lái)確定（1）波陣面的形成（2）波面的傳播方向,但不能給出衍射光強(qiáng)的定量分布。波動(dòng)所達(dá)到面上的每一點(diǎn)都是次級(jí)子波源，每一子波源發(fā)出的次級(jí)球面波以一定的速度擴(kuò)展形成新的波陣面。§2.2基爾霍夫衍射理論波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)，都可以看作一個(gè)次級(jí)子波源，在其后空間任一點(diǎn)處的光振動(dòng)則是這些次級(jí)波源產(chǎn)生的次級(jí)波相干疊加的結(jié)果。求解此公式主要問(wèn)題：K(

)沒(méi)有確切的表達(dá)式惠更斯－菲涅耳原理

基爾霍夫利用格林定理，并采用球面波作為求解波動(dòng)方程的格林函數(shù)，解決了惠更斯—菲涅耳原理的積分問(wèn)題——基爾霍夫衍射理論?；舅枷耄簩⒖臻g上一點(diǎn)的光場(chǎng)用包圍該點(diǎn)的任意封閉曲面上的光場(chǎng)及其一階導(dǎo)數(shù)表示出來(lái)?；鶢柣舴蜓苌淅碚撚没鶢柣舴蚨ɡ韥?lái)考察無(wú)限大不透明屏幕上一個(gè)小孔所引起的衍射問(wèn)題：平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式對(duì)邊界條件的假設(shè)：1）在孔徑

上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布U及其導(dǎo)數(shù)與沒(méi)有屏幕時(shí)完全相同；2）在屏幕的背光面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布及其微商恒為0；3）滿足基爾霍夫邊界條件，則：平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式缺陷：下列條件都不嚴(yán)格。1)在孔徑上，光場(chǎng)分布U及其導(dǎo)數(shù)與沒(méi)有屏幕時(shí)完全相同；2)在屏幕的背光面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布及其微商恒為0。*原則上可通過(guò)選格林函數(shù)改善。平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式積分面只需考慮衍射孔區(qū)域。菲涅耳－基爾霍夫衍射公式條件1:

r01>>

條件2:小孔由位于P2處的單色球面波照明，且P1P2＝r21和r21>>

1）點(diǎn)光源與觀測(cè)點(diǎn)的位置對(duì)等。如將同一點(diǎn)光源與觀測(cè)點(diǎn)的位置互換，所產(chǎn)生的效果相同。該互易性質(zhì)，符合物理圖象。討論2）如果菲涅耳－基爾霍夫衍射公式變?yōu)镻0點(diǎn)光場(chǎng)可等價(jià)看成由孔徑內(nèi)無(wú)窮多個(gè)次級(jí)波源的疊加，這些次級(jí)波源振幅U’(P1)正比于投射到P1點(diǎn)上的波的振幅。

K(

)有具體形式。

＝180，

K（

）＝0

1/i

不影響實(shí)驗(yàn)與理論的一致性。上式正是一個(gè)描述線性系統(tǒng)輸入－輸出的疊加積分。菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！描述線性系統(tǒng)輸入－輸出的疊加積分疊加積分式說(shuō)明了惠更斯－菲涅爾原理：觀察點(diǎn)的光場(chǎng)應(yīng)是帶有不同權(quán)重的相干球面子波的線性疊加。光波由P1點(diǎn)所在平面?zhèn)鞑サ絇0點(diǎn)所在平面的過(guò)程實(shí)際是一個(gè)衍射過(guò)程，這過(guò)程等效于一個(gè)系統(tǒng)的作用。由于滿足疊加積分，故此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)h(P1,P0)表征了它的傳輸特征。觀察平面上復(fù)振幅分布孔徑平面上復(fù)振幅分布脈沖響應(yīng)小結(jié)1惠更斯原理：波所達(dá)到面上的每一點(diǎn)都是次級(jí)子波源，每一子波源發(fā)出的次級(jí)球面波以一定的速度擴(kuò)展形成新的波陣面。惠更斯－菲涅爾原理是根據(jù)波動(dòng)現(xiàn)象的直覺(jué)得來(lái)的，它把惠更斯的次級(jí)波源概念與楊氏的干涉原理相結(jié)合來(lái)解決光波的傳播和衍射等問(wèn)題，其中傾斜因子是假設(shè)的，沒(méi)給出具體函數(shù)形式。2惠更斯－菲涅爾原理：3基爾霍夫衍射公式：無(wú)限大不透明屏幕上一個(gè)平面小孔衍射的基爾霍夫衍射公式基于標(biāo)量波動(dòng)方程、格林定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邊界假設(shè)條件。如果小孔被一單色球面波照明，菲涅耳－基爾霍夫衍射公式一步變?yōu)樯鲜鋈齻€(gè)公式物理意義的統(tǒng)一解釋：衍射場(chǎng)中P0點(diǎn)的光振動(dòng)，是由于衍射孔面

內(nèi)的無(wú)數(shù)子波源發(fā)射的子波疊加的結(jié)果。

面上子波源所發(fā)射子波的復(fù)振幅正比于照明光波在

面上的復(fù)振幅U(P1)。各公式的差異僅僅在于對(duì)子波源規(guī)定了不同的性質(zhì)。菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！從空間域到頻率域（角譜）§2.3衍射規(guī)律的頻率域表達(dá)1.衍射規(guī)律的頻域描述頻率為（fx,fy）的指數(shù)基元函數(shù)代表了以方向余弦cos

＝

fx,cos

＝

fy

，而cos

=[1

(

fx)2

(

fy)2]?傳播的平面波；這個(gè)平面波分量的復(fù)振幅就是Gz(fx,fy)dfxdfy在fx=cos

/

,fy=cos

/

處求值.U(x,y,z)分解為各種空間頻率（fx,fy）的指數(shù)基元的集合，每個(gè)基元的權(quán)重密度為Gz(fx,fy)那么Gz(fx,fy)和G0(fx,fy)有什么關(guān)系呢？U(x,y,z)必須滿足亥姆霍茲方程該式表示了頻譜函數(shù)Gz(fx,fy)與G0(fx,fy)之間的聯(lián)系，它是衍射規(guī)律的頻域表達(dá)式；表明可以用頻譜的方式來(lái)描述光波的衍射過(guò)程；角譜的傳播，僅多了一個(gè)位相因子；頻譜傳播的物理意義：(1)當(dāng)(

fx)2+(

fy)2<1時(shí)，頻譜傳播一段距離z的效應(yīng)是使空間頻率為（fx,fy）的頻譜分量?jī)H產(chǎn)生一個(gè)位相變化，它的振幅和傳播方向是不變的。不同的頻譜分量（fx,fy不同）對(duì)應(yīng)的位相改變量也不同。傳播的結(jié)果將導(dǎo)致在新的譜面上產(chǎn)生不同分量之間位相的重新分布。(2)當(dāng)(

fx)2+(

fy)2=1時(shí)，有

=90o，表示與z軸垂直傳播的平面光波。(3)當(dāng)(

fx)2+(

fy)2>1時(shí)，此時(shí)當(dāng)[1－(

fx)2+(

fy)2]1/2為虛數(shù)。表明滿足條件(

fx)2+(

fy)2>1的頻譜分量沿z軸方向傳播時(shí)，將隨著z的增大急劇衰減，稱這些光波分量為衰逝波。*注意:若照明光波波長(zhǎng)為

，那么衍射屏上所具有的精細(xì)結(jié)構(gòu)中fn=[(fx)2+(fy)2]1/2>1/

的高頻信息將不能被傳播到足夠遠(yuǎn)的衍射場(chǎng)中。光束傳輸過(guò)程同時(shí)也是空間濾波過(guò)程！等價(jià)空間濾波器的傳遞函數(shù)為屬低通濾波器!2.衍射孔徑對(duì)角譜的效應(yīng)孔徑透射函數(shù)在頻率域自由空間的傳遞函數(shù)相當(dāng)于一圓孔型的低通濾波器?？臻g域的圓孔對(duì)角譜有何作用？顯然，對(duì)于Ui(x,y)=1(單位均勻平面波照明)有平面波的角譜自由一個(gè)，即零頻分量。小孔的展寬效應(yīng)：小孔越小，頻譜展寬越顯著。（本質(zhì)還是小孔遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）卷積的展寬效應(yīng)!矩形小孔基爾霍夫理論是在空間域討論光的傳播：是把孔徑平面光場(chǎng)看作點(diǎn)源的集合；觀察平面上的場(chǎng)分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權(quán)重因子的球面子波的相干疊加；球面子波在觀察平面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。角譜理論是在頻域討論光的傳播：孔徑平面場(chǎng)分布看作許多不同方向傳播的平面波的線性組合；觀察平面上場(chǎng)分布等于這些平面波分量相干疊加，但每個(gè)平面波分量引入相移了；相移的大小取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換?；鶢柣舴蚶碚撆c角譜理論比較如果把描述球面子波相干疊加的基爾霍夫理論稱為衍射的球面波理論，角譜理論則可以稱作衍射的平面波理論。

基爾霍夫理論和角譜理論是統(tǒng)一的，只是從不同的角度描述光的傳播特性?！?.4菲涅爾衍射和夫瑯和費(fèi)衍射兩種類型衍射現(xiàn)象：菲涅爾衍射（近場(chǎng)衍射）和夫瑯和費(fèi)衍射（遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）(根據(jù)不同的衍射區(qū)域分的)。相對(duì)的、近似的。不同的區(qū)域，衍射圖樣具有不同的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上的近似程度也不同。標(biāo)量衍射理論、基爾霍夫理論數(shù)學(xué)上處理非常困難。在幾何陰影區(qū)，衍射現(xiàn)象不明顯（幾何光學(xué)近似）。這里注意力集中于衍射現(xiàn)象較為明顯，數(shù)學(xué)上比較容易處理的區(qū)域。衍射區(qū)域的大概劃分菲涅爾數(shù)足夠小。觀察點(diǎn)的P0(x0,y0)的場(chǎng)振幅可寫(xiě)為：近似條件：孔徑

與觀察平面之間的距離z遠(yuǎn)大于孔徑

的最大線度；只考慮觀察平面上z軸附近一個(gè)有限小區(qū)域（近軸近似）；孔徑被沿z軸傳輸?shù)墓庹彰?。由衍射屏和觀察屏之間的關(guān)系圖可得：菲涅耳近似只考慮z軸附近的區(qū)域，則可將上式進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)如果只取b的一次項(xiàng)，則菲涅耳近似菲涅耳衍射公式菲涅耳近似的物理意義：由b2以上項(xiàng)對(duì)積分的影響可以忽略。菲涅耳數(shù)菲涅耳衍射性質(zhì)菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性空不變系統(tǒng)。如果令菲涅耳衍射的卷積積分表達(dá)式菲涅耳衍射的卷積積分表達(dá)式表明：若把菲涅耳衍射看作是一個(gè)系統(tǒng)，則這個(gè)系統(tǒng)等效為一個(gè)線性空不變系統(tǒng)，因此這個(gè)衍射過(guò)程存在一個(gè)相應(yīng)的傳遞函數(shù)如下：菲涅耳衍射系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與衍射屏和觀測(cè)屏上的坐標(biāo)相對(duì)位置有關(guān)，而與絕對(duì)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。菲涅耳衍射正比于原函數(shù)和一球面波乘積的傅立葉變換。將菲涅耳衍射公式改寫(xiě)成夫瑯和費(fèi)衍射得到夫瑯和費(fèi)公式可提到積分外夫瑯和費(fèi)近似在夫瑯和費(fèi)近似下，因子（x12+y12）對(duì)位相的影響可忽略。而觀察面上的場(chǎng)分布可直接從孔徑上的場(chǎng)分布的傅立葉變換求出即：

夫瑯和費(fèi)衍射范圍包含在菲涅衍射范圍之內(nèi)，所以凡能用來(lái)計(jì)算菲涅耳衍射的公式都能用來(lái)計(jì)算夫瑯和費(fèi)衍射。夫瑯和費(fèi)近似從形式上破壞了的卷積關(guān)系，即破壞了衍射過(guò)程“系統(tǒng)”的線性空不變特性。由于僅對(duì)于線性空不變系統(tǒng)，其在頻域中的作用才可以用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示，因而對(duì)夫瑯和費(fèi)衍射而言，不存在專門(mén)的傳遞函數(shù)。不過(guò)，由于菲涅耳衍射區(qū)包含了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)，因此菲涅耳衍射過(guò)程的傳遞函數(shù)也適用于夫瑯和費(fèi)衍射。夫瑯和費(fèi)衍射和菲涅衍射衍射關(guān)系1矩孔衍射：寬和長(zhǎng)分別為a和b的矩形衍射孔，用單位振幅的單色平面光波垂直照明，求離孔距離為z的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布?！?.5夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例第一步：明確入射光場(chǎng)為1，經(jīng)矩形孔后，矩形的透射函數(shù)就是光場(chǎng)在矩形孔后面的表達(dá)式，則第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布第四步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布特性討論a、b越大，中心光強(qiáng)的值就越大；波長(zhǎng)越長(zhǎng)，中心光強(qiáng)值就越小。遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)中心光斑分布特性討論中心(x0=0,y0=0)光強(qiáng)：a、b越大，中心光斑尺寸越??；各零點(diǎn)間距越小。m、n為不為零的整數(shù)光強(qiáng)分布的零點(diǎn)確定：中心光斑大?。喝绻鸻很小而b非常大，即單縫衍射情況，從前面討論可知：在x方向，中心光斑尺寸變大，相鄰零點(diǎn)間距也很大。在y方向，則看不到衍射發(fā)生（中心光斑以及相鄰零點(diǎn)間距太小）。2雙縫衍射：寬和兩縫間距分別為a和d，用單位振幅的單色平面光波垂直照明雙縫，求離縫距離為z的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布。第一步：明確入射光場(chǎng)為1，經(jīng)雙縫后，透射函數(shù)表達(dá)式為第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布單縫衍射因子干涉因子第四步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布特性討論（作業(yè)）3多縫衍射：縫寬和縫間距分別為a和d，縫數(shù)為N，用單位振幅的單色平面光波垂直照明多縫屏，求離屏距離為z的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布。多縫的透過(guò)函數(shù)為第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布多光束干涉因子單縫衍射因子多縫衍射是衍射和干涉兩種效應(yīng)共同作用的結(jié)果。多縫衍射圖樣中的亮紋和暗紋位置可通過(guò)分析單縫衍射因子和多光束干涉因子的極大值和極小值條件得到。衍射因子零點(diǎn)條件：

afx=m

fx=m/a(m0)I0單fx0-1/a單縫衍射光強(qiáng)曲線1/a2/a-2/a單縫衍射因子中心處：

afx=0fxN204/d-8/d-4/d8/d多光束干涉光強(qiáng)曲線光強(qiáng)有極大值，稱為主極大，m為主極大的級(jí)次，d稱為光柵常數(shù)。關(guān)于多光束干涉因子主極大的位置與縫數(shù)無(wú)關(guān)，主極大的級(jí)次受到衍射角的限制。光柵常數(shù)越小，條紋間隔越大。各級(jí)主極大的強(qiáng)度為它們是單縫衍射在各級(jí)主極大位置上產(chǎn)生的強(qiáng)度的N2倍，零級(jí)主極大的強(qiáng)度最大，等于N2I0光強(qiáng)相鄰的主極大之間有N-1個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)?shù)扔?/p>

的整數(shù)倍而不是

的整數(shù)倍時(shí),即干涉因子有極小值為零。在相鄰兩個(gè)零值之間也應(yīng)有一個(gè)次極大，次極大的寬度隨N增大而減小。(兩個(gè)主極大之間有幾個(gè)次極大？)總的光強(qiáng)分布為干涉圖案被衍射函數(shù)調(diào)制的結(jié)果。注意干涉主極大與衍射的零點(diǎn)重合時(shí)強(qiáng)度為零。當(dāng)a足夠小時(shí)，衍射光斑很大，觀測(cè)到的圖案即為由多縫干涉引起。IN2I0單04/d8/d-8/dfx單縫衍射輪廓線光柵衍射光強(qiáng)曲線-4/dd=4aI0fx0-1/a單縫衍射光強(qiáng)曲線1/a2/a-2/a1多光束干涉光強(qiáng)曲線fxN204/d-8/d-4/d8/d4.正弦型振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型振幅光柵的透過(guò)率函數(shù)定義為：x1y1夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布觀察屏上光強(qiáng)分布為：5.正弦型位相光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型位相光柵的透過(guò)率函數(shù)定義為：對(duì)位相因子進(jìn)行變換：觀察屏上衍射光場(chǎng)分布：第一類貝塞爾函數(shù)傅立葉－貝賽爾變換——求圓對(duì)稱函數(shù)的傅立葉變換。在極坐標(biāo)系中，圓對(duì)稱函數(shù)僅僅是半徑r的函數(shù)，與極角無(wú)關(guān)。6圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射傅立葉－貝賽爾變換是二維傅立葉變換用于圓對(duì)稱函數(shù)的一個(gè)特殊情況，有關(guān)傅立葉變換的定理完全適用于傅立葉－貝賽爾變換圓孔的透過(guò)率函數(shù)為：由于孔徑是圓對(duì)稱的，利用傅立葉－貝賽爾變換及其相似性定理得到：d=2a觀察平面上的衍射光波場(chǎng)分布為：觀察平面上的光強(qiáng)場(chǎng)分布為：有用的資料，不用記！傅立葉成像，自成像，泰保效應(yīng)(TalbotEffect)：用單色光波垂直照射一個(gè)周期性物體（如透射光柵）時(shí)，在物體的后面周期性距離上出現(xiàn)物體的像。這種自成像效應(yīng)就稱為泰保效應(yīng)，也稱傅立葉成像、自成像。它不是一種透鏡成像