信息光學第二章

第二章標量衍射理論主講人：徐世祥基爾霍夫積分定理基爾霍夫衍射公式菲涅耳衍射夫瑯和費衍射幾種典型衍射本章主要內容教學目的要求本章是教學重點，是信息光學的物理基礎。要求學生掌握標量衍射理論，側重利用菲涅耳衍射與卷積，夫瑯和費衍射與傅立葉變化關系解決問題?！?.1引言

光的衍射現象：光波在空間傳播遇到障礙時，其傳播方向會偏離直線傳播，彎入到障礙物的幾何陰影中，并呈現光強的不均勻分布的現象。

光的衍射是光的波動性的主要標志之一。

幾何光學中強調的光是直線傳播的；而這里又說光不是直線傳播的，有衍射現象。這兩種說法是不是相互矛盾的呢？不是。幾何光學所說的直線傳播是在忽略光的波動性情況下的近似。（幾何光學理論是近似的）什么情況下幾何光學近似成立？1）波長等于零的情況下(不現實)；2）傳輸距離足夠短?？偨Y一句話：菲涅爾數足夠大（幾百量級）。菲涅爾數如何用波動性去解釋和計算衍射光場的分布呢？矢量波衍射理論：嚴格的電磁波理論，利用一定的邊界條件求解麥克斯韋方程組，但復雜，大多數只能數值求解。標量波衍射理論：光波當作標量處理。簡單，但屬近似處理。標量波衍射理論適用的條件：1）衍射孔徑大大于波長；2）觀測點到孔徑的距離不要太近。菲涅爾數足夠小。標量波衍射理論的核心問題用確定邊界上的復振幅分布來表達光場中任一觀測點的復振幅分布。如果邊界上的復振幅分布相同，即使光的振動方向不同，所得到的結果也應該一樣?；莞估碚摶莞梗颇碚摶鶢柣舴蚶碚搸缀畏椒?，直觀。缺乏嚴格理論根據引入干涉理論，不完善引入格林函數，嚴格標量衍射惠更斯原理

惠更斯原理可以用來確定（1）波陣面的形成（2）波面的傳播方向,但不能給出衍射光強的定量分布。波動所達到面上的每一點都是次級子波源，每一子波源發(fā)出的次級球面波以一定的速度擴展形成新的波陣面?！?.2基爾霍夫衍射理論波前上任何一個未受阻擋的點，都可以看作一個次級子波源，在其后空間任一點處的光振動則是這些次級波源產生的次級波相干疊加的結果。求解此公式主要問題：K(

)沒有確切的表達式惠更斯－菲涅耳原理

基爾霍夫利用格林定理，并采用球面波作為求解波動方程的格林函數，解決了惠更斯—菲涅耳原理的積分問題——基爾霍夫衍射理論?；舅枷耄簩⒖臻g上一點的光場用包圍該點的任意封閉曲面上的光場及其一階導數表示出來?；鶢柣舴蜓苌淅碚撚没鶢柣舴蚨ɡ韥砜疾鞜o限大不透明屏幕上一個小孔所引起的衍射問題：平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式對邊界條件的假設：1）在孔徑

上，光場復振幅分布U及其導數與沒有屏幕時完全相同；2）在屏幕的背光面上，光場復振幅分布及其微商恒為0；3）滿足基爾霍夫邊界條件，則：平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式缺陷：下列條件都不嚴格。1)在孔徑上，光場分布U及其導數與沒有屏幕時完全相同；2)在屏幕的背光面上，光場復振幅分布及其微商恒為0。*原則上可通過選格林函數改善。平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式積分面只需考慮衍射孔區(qū)域。菲涅耳－基爾霍夫衍射公式條件1:

r01>>

條件2:小孔由位于P2處的單色球面波照明，且P1P2＝r21和r21>>

1）點光源與觀測點的位置對等。如將同一點光源與觀測點的位置互換，所產生的效果相同。該互易性質，符合物理圖象。討論2）如果菲涅耳－基爾霍夫衍射公式變?yōu)镻0點光場可等價看成由孔徑內無窮多個次級波源的疊加，這些次級波源振幅U’(P1)正比于投射到P1點上的波的振幅。

K(

)有具體形式。

＝180，

K（

）＝0

1/i

不影響實驗與理論的一致性。上式正是一個描述線性系統(tǒng)輸入－輸出的疊加積分。菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！描述線性系統(tǒng)輸入－輸出的疊加積分疊加積分式說明了惠更斯－菲涅爾原理：觀察點的光場應是帶有不同權重的相干球面子波的線性疊加。光波由P1點所在平面?zhèn)鞑サ絇0點所在平面的過程實際是一個衍射過程，這過程等效于一個系統(tǒng)的作用。由于滿足疊加積分，故此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。其脈沖響應函數h(P1,P0)表征了它的傳輸特征。觀察平面上復振幅分布孔徑平面上復振幅分布脈沖響應小結1惠更斯原理：波所達到面上的每一點都是次級子波源，每一子波源發(fā)出的次級球面波以一定的速度擴展形成新的波陣面?；莞梗颇鶢栐硎歉鶕▌蝇F象的直覺得來的，它把惠更斯的次級波源概念與楊氏的干涉原理相結合來解決光波的傳播和衍射等問題，其中傾斜因子是假設的，沒給出具體函數形式。2惠更斯－菲涅爾原理：3基爾霍夫衍射公式：無限大不透明屏幕上一個平面小孔衍射的基爾霍夫衍射公式基于標量波動方程、格林定理等數學基礎和邊界假設條件。如果小孔被一單色球面波照明，菲涅耳－基爾霍夫衍射公式一步變?yōu)樯鲜鋈齻€公式物理意義的統(tǒng)一解釋：衍射場中P0點的光振動，是由于衍射孔面

內的無數子波源發(fā)射的子波疊加的結果。

面上子波源所發(fā)射子波的復振幅正比于照明光波在

面上的復振幅U(P1)。各公式的差異僅僅在于對子波源規(guī)定了不同的性質。菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！從空間域到頻率域（角譜）§2.3衍射規(guī)律的頻率域表達1.衍射規(guī)律的頻域描述頻率為（fx,fy）的指數基元函數代表了以方向余弦cos

＝

fx,cos

＝

fy

，而cos

=[1

(

fx)2

(

fy)2]?傳播的平面波；這個平面波分量的復振幅就是Gz(fx,fy)dfxdfy在fx=cos

/

,fy=cos

/

處求值.U(x,y,z)分解為各種空間頻率（fx,fy）的指數基元的集合，每個基元的權重密度為Gz(fx,fy)那么Gz(fx,fy)和G0(fx,fy)有什么關系呢？U(x,y,z)必須滿足亥姆霍茲方程該式表示了頻譜函數Gz(fx,fy)與G0(fx,fy)之間的聯系，它是衍射規(guī)律的頻域表達式；表明可以用頻譜的方式來描述光波的衍射過程；角譜的傳播，僅多了一個位相因子；頻譜傳播的物理意義：(1)當(

fx)2+(

fy)2<1時，頻譜傳播一段距離z的效應是使空間頻率為（fx,fy）的頻譜分量僅產生一個位相變化，它的振幅和傳播方向是不變的。不同的頻譜分量（fx,fy不同）對應的位相改變量也不同。傳播的結果將導致在新的譜面上產生不同分量之間位相的重新分布。(2)當(

fx)2+(

fy)2=1時，有

=90o，表示與z軸垂直傳播的平面光波。(3)當(

fx)2+(

fy)2>1時，此時當[1－(

fx)2+(

fy)2]1/2為虛數。表明滿足條件(

fx)2+(

fy)2>1的頻譜分量沿z軸方向傳播時，將隨著z的增大急劇衰減，稱這些光波分量為衰逝波。*注意:若照明光波波長為

，那么衍射屏上所具有的精細結構中fn=[(fx)2+(fy)2]1/2>1/

的高頻信息將不能被傳播到足夠遠的衍射場中。光束傳輸過程同時也是空間濾波過程！等價空間濾波器的傳遞函數為屬低通濾波器!2.衍射孔徑對角譜的效應孔徑透射函數在頻率域自由空間的傳遞函數相當于一圓孔型的低通濾波器?？臻g域的圓孔對角譜有何作用？顯然，對于Ui(x,y)=1(單位均勻平面波照明)有平面波的角譜自由一個，即零頻分量。小孔的展寬效應：小孔越小，頻譜展寬越顯著。（本質還是小孔遠場衍射）卷積的展寬效應!矩形小孔基爾霍夫理論是在空間域討論光的傳播：是把孔徑平面光場看作點源的集合；觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權重因子的球面子波的相干疊加；球面子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應。角譜理論是在頻域討論光的傳播：孔徑平面場分布看作許多不同方向傳播的平面波的線性組合；觀察平面上場分布等于這些平面波分量相干疊加，但每個平面波分量引入相移了；相移的大小取決于系統(tǒng)的傳遞函數，它是系統(tǒng)脈沖響應的傅立葉變換?；鶢柣舴蚶碚撆c角譜理論比較如果把描述球面子波相干疊加的基爾霍夫理論稱為衍射的球面波理論，角譜理論則可以稱作衍射的平面波理論。

基爾霍夫理論和角譜理論是統(tǒng)一的，只是從不同的角度描述光的傳播特性?！?.4菲涅爾衍射和夫瑯和費衍射兩種類型衍射現象：菲涅爾衍射（近場衍射）和夫瑯和費衍射（遠場衍射）(根據不同的衍射區(qū)域分的)。相對的、近似的。不同的區(qū)域，衍射圖樣具有不同的性質，在數學上的近似程度也不同。標量衍射理論、基爾霍夫理論數學上處理非常困難。在幾何陰影區(qū)，衍射現象不明顯（幾何光學近似）。這里注意力集中于衍射現象較為明顯，數學上比較容易處理的區(qū)域。衍射區(qū)域的大概劃分菲涅爾數足夠小。觀察點的P0(x0,y0)的場振幅可寫為：近似條件：孔徑

與觀察平面之間的距離z遠大于孔徑

的最大線度；只考慮觀察平面上z軸附近一個有限小區(qū)域（近軸近似）；孔徑被沿z軸傳輸的光照明。由衍射屏和觀察屏之間的關系圖可得：菲涅耳近似只考慮z軸附近的區(qū)域，則可將上式進行級數展開如果只取b的一次項，則菲涅耳近似菲涅耳衍射公式菲涅耳近似的物理意義：由b2以上項對積分的影響可以忽略。菲涅耳數菲涅耳衍射性質菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性空不變系統(tǒng)。如果令菲涅耳衍射的卷積積分表達式菲涅耳衍射的卷積積分表達式表明：若把菲涅耳衍射看作是一個系統(tǒng)，則這個系統(tǒng)等效為一個線性空不變系統(tǒng)，因此這個衍射過程存在一個相應的傳遞函數如下：菲涅耳衍射系統(tǒng)的脈沖響應函數與衍射屏和觀測屏上的坐標相對位置有關，而與絕對坐標無關。菲涅耳衍射正比于原函數和一球面波乘積的傅立葉變換。將菲涅耳衍射公式改寫成夫瑯和費衍射得到夫瑯和費公式可提到積分外夫瑯和費近似在夫瑯和費近似下，因子（x12+y12）對位相的影響可忽略。而觀察面上的場分布可直接從孔徑上的場分布的傅立葉變換求出即：

夫瑯和費衍射范圍包含在菲涅衍射范圍之內，所以凡能用來計算菲涅耳衍射的公式都能用來計算夫瑯和費衍射。夫瑯和費近似從形式上破壞了的卷積關系，即破壞了衍射過程“系統(tǒng)”的線性空不變特性。由于僅對于線性空不變系統(tǒng)，其在頻域中的作用才可以用系統(tǒng)的傳遞函數表示，因而對夫瑯和費衍射而言，不存在專門的傳遞函數。不過，由于菲涅耳衍射區(qū)包含了夫瑯和費衍射區(qū)，因此菲涅耳衍射過程的傳遞函數也適用于夫瑯和費衍射。夫瑯和費衍射和菲涅衍射衍射關系1矩孔衍射：寬和長分別為a和b的矩形衍射孔，用單位振幅的單色平面光波垂直照明，求離孔距離為z的觀察平面上的夫瑯和費衍射分布?！?.5夫瑯和費衍射計算實例第一步：明確入射光場為1，經矩形孔后，矩形的透射函數就是光場在矩形孔后面的表達式，則第二步：利用夫瑯和費衍射求遠場光場分布第三步：夫瑯和費衍射遠場光強分布第四步：夫瑯和費衍射遠場光強分布特性討論a、b越大，中心光強的值就越大；波長越長，中心光強值就越小。遠場光強中心光斑分布特性討論中心(x0=0,y0=0)光強：a、b越大，中心光斑尺寸越小；各零點間距越小。m、n為不為零的整數光強分布的零點確定：中心光斑大小：如果a很小而b非常大，即單縫衍射情況，從前面討論可知：在x方向，中心光斑尺寸變大，相鄰零點間距也很大。在y方向，則看不到衍射發(fā)生（中心光斑以及相鄰零點間距太?。?雙縫衍射：寬和兩縫間距分別為a和d，用單位振幅的單色平面光波垂直照明雙縫，求離縫距離為z的觀察平面上的夫瑯和費衍射分布。第一步：明確入射光場為1，經雙縫后，透射函數表達式為第二步：利用夫瑯和費衍射求遠場光場分布第三步：夫瑯和費衍射遠場光強分布單縫衍射因子干涉因子第四步：夫瑯和費衍射遠場光強分布特性討論（作業(yè)）3多縫衍射：縫寬和縫間距分別為a和d，縫數為N，用單位振幅的單色平面光波垂直照明多縫屏，求離屏距離為z的觀察平面上的夫瑯和費衍射分布。多縫的透過函數為第二步：利用夫瑯和費衍射求遠場光場分布第三步：夫瑯和費衍射遠場光強分布多光束干涉因子單縫衍射因子多縫衍射是衍射和干涉兩種效應共同作用的結果。多縫衍射圖樣中的亮紋和暗紋位置可通過分析單縫衍射因子和多光束干涉因子的極大值和極小值條件得到。衍射因子零點條件：

afx=m

fx=m/a(m0)I0單fx0-1/a單縫衍射光強曲線1/a2/a-2/a單縫衍射因子中心處：

afx=0fxN204/d-8/d-4/d8/d多光束干涉光強曲線光強有極大值，稱為主極大，m為主極大的級次，d稱為光柵常數。關于多光束干涉因子主極大的位置與縫數無關，主極大的級次受到衍射角的限制。光柵常數越小，條紋間隔越大。各級主極大的強度為它們是單縫衍射在各級主極大位置上產生的強度的N2倍，零級主極大的強度最大，等于N2I0光強相鄰的主極大之間有N-1個零點。當等于

的整數倍而不是

的整數倍時,即干涉因子有極小值為零。在相鄰兩個零值之間也應有一個次極大，次極大的寬度隨N增大而減小。(兩個主極大之間有幾個次極大？)總的光強分布為干涉圖案被衍射函數調制的結果。注意干涉主極大與衍射的零點重合時強度為零。當a足夠小時，衍射光斑很大，觀測到的圖案即為由多縫干涉引起。IN2I0單04/d8/d-8/dfx單縫衍射輪廓線光柵衍射光強曲線-4/dd=4aI0fx0-1/a單縫衍射光強曲線1/a2/a-2/a1多光束干涉光強曲線fxN204/d-8/d-4/d8/d4.正弦型振幅光柵的夫瑯和費衍射正弦型振幅光柵的透過率函數定義為：x1y1夫瑯和費衍射求遠場光場分布觀察屏上光強分布為：5.正弦型位相光柵的夫瑯和費衍射正弦型位相光柵的透過率函數定義為：對位相因子進行變換：觀察屏上衍射光場分布：第一類貝塞爾函數傅立葉－貝賽爾變換——求圓對稱函數的傅立葉變換。在極坐標系中，圓對稱函數僅僅是半徑r的函數，與極角無關。6圓孔的夫瑯和費衍射傅立葉－貝賽爾變換是二維傅立葉變換用于圓對稱函數的一個特殊情況，有關傅立葉變換的定理完全適用于傅立葉－貝賽爾變換圓孔的透過率函數為：由于孔徑是圓對稱的，利用傅立葉－貝賽爾變換及其相似性定理得到：d=2a觀察平面上的衍射光波場分布為：觀察平面上的光強場分布為：有用的資料，不用記！傅立葉成像，自成像，泰保效應(TalbotEffect)：用單色光波垂直照射一個周期性物體（如透射光柵）時，在物體的后面周期性距離上出現物體的像。這種自成像效應就稱為泰保效應，也稱傅立葉成像、自成像。它不是一種透鏡成像