專題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見(jiàn)考法歸類

專題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見(jiàn)考法歸類1、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：（1）定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．（2）在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F，且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線．2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：（1）四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開(kāi)口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開(kāi)口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開(kāi)口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．（2）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的作用參數(shù)p稱為焦準(zhǔn)距或焦參數(shù)，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．p確定了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（3）如何記憶拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程？①方程特點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸上，x是一次項(xiàng)，y是平方項(xiàng)；焦點(diǎn)在y軸上，y是一次項(xiàng)，x是平方項(xiàng)．②一次項(xiàng)表明焦點(diǎn)所在軸，它的符號(hào)表明開(kāi)口方向，有如下口訣：焦點(diǎn)軸一次項(xiàng)，符號(hào)確定開(kāi)口向；若y是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向下正向上；若x是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向左正向右．（4）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)與二次函數(shù)y＝ax2(a>0)區(qū)別：y2＝2px(p>0)與y＝ax2(a>0)對(duì)應(yīng)的圖形都是拋物線形，但開(kāi)口方向和對(duì)稱軸都不一樣．y2＝2px(p>0)：焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，對(duì)稱軸為x軸，開(kāi)口向右；y＝ax2(a>0)，即x2＝eq\f(1,a)y，焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，對(duì)稱軸為y軸，開(kāi)口向上．3、拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題．(2)解決最值問(wèn)題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問(wèn)題．4、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵：確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù)．(2)方法：①直接法，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程；②直接根據(jù)定義求p，最后寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)方程；③利用待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，找有關(guān)的方程(組)求系數(shù)，其一般步驟為：5、求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟：6、圓錐曲線的共性探究動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為一個(gè)常數(shù)，即eq\f(|MF|,|MA|)＝e.(1)當(dāng)0＜e＜1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；(2)當(dāng)e＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線；(3)當(dāng)e＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．此時(shí)定點(diǎn)F為圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線l叫做圓錐曲線對(duì)應(yīng)該焦點(diǎn)F的一條準(zhǔn)線x＝eq\f(a2,c)，常數(shù)e就是該圓錐曲線的離心率，此結(jié)論稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義(也稱為第二定義)．考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用考點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)三求拋物線的方程求參數(shù)考點(diǎn)四拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五求拋物線的軌跡方程考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用1．（2023春·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分定點(diǎn)不在定直線上和定點(diǎn)在定直線上，兩種情況分類討論，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【分析】由題意，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，可得該動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線距離相等，當(dāng)定點(diǎn)不在定直線上時(shí)，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)且垂直于定直線的直線.故選C．2．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．【答案】【分析】將直線方程向左平移1個(gè)單位，可知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，結(jié)合拋物線定義即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】將化為，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，該拋物線以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線，開(kāi)口向右，設(shè)，所以，解得，所以拋物線方程為，故答案為：.3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，則與點(diǎn)距離的最小值為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值12，故．4．【多選】（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（

）A．的最小值為 B．最小值為C．最小值為 D．最小值為【答案】BCD【分析】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，通過(guò)拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)，通過(guò)設(shè)點(diǎn)，化折線為直線表示出距離，利用函數(shù)思想或數(shù)形結(jié)合判斷最小值的大小.【詳解】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)到距離為設(shè)點(diǎn)為，則整理得，，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)為，則點(diǎn)到距離時(shí)，最小為，最小值為，故A錯(cuò)誤.點(diǎn)為，最小為最小值為1，最小為，故B正確.等于點(diǎn)到直線的距離，最小值為到直線的距離減去，即，故C正確.到的距離為最小值為到的距離與和的最小值，即到的距離最小值，設(shè)為則到距離為當(dāng)時(shí)，最小值為2，最小值為2，得最小值為，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)定直線或曲線的距離的最值，轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)定直線或曲線的距離的最值，拋物線上的點(diǎn)到到定點(diǎn)定曲線的距離之和的最小值利用拋物線的定義將動(dòng)點(diǎn)（在拋物線上）到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互化，折線轉(zhuǎn)化為直線.也可利用點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式，利用函數(shù)思想求最值.5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求取得最小值，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，如圖，則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當(dāng)D，B，A三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線方程可知.故選：B.6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】5【分析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，根據(jù)拋物線的定義可得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，小值．【詳解】拋物線，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如圖，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小值為．故答案為：．7．（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是．【答案】/【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再利用拋物線定義建立關(guān)系，并求出最小值作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于N，連PF，顯然垂直于拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線定義知：，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，而，所以的最小值為.故答案為：8．（2023秋·陜西延安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離以及拋物線定義得出結(jié)果.【詳解】拋物線，即，其焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線為，圓變形為，則圓心為拋物線的焦點(diǎn)，半徑為.點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線，取最小值時(shí)，最小值為.如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由拋物線定義可知，所以取最小值時(shí)，即取最小值，，當(dāng)三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..則的最小值為.故答案為：.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【分析】分別畫(huà)出拋物線和圓圖象，由拋物線定義以及圓上點(diǎn)與圓外一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離滿足，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為．故答案為：10．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大，點(diǎn)，求的最小值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】最小值為,【分析】首先確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，再利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為到準(zhǔn)線的距離，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意可知，動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，拋物線方程為，由于點(diǎn)M在拋物線上，所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，于是.當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即取最小值，這時(shí)的縱坐標(biāo)為2，可設(shè)，代入拋物線方程得，即.11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值.【答案】12【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義將點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到焦點(diǎn)的距離之和減去1，繼而利用幾何意義求得答案.【詳解】由拋物線方程可知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為P到準(zhǔn)線的距離減去1，由拋物線定義知P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，設(shè)P到x軸的距離為d，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故，即點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值為12.12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（1）設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).①求點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知拋物線，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離.【答案】（1）①；②4；（2），【分析】（1）①根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于P到點(diǎn)的距離，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到的距離與P到的距離之和最小，數(shù)形結(jié)合得解；②同理可處理.（2）設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，用兩點(diǎn)間距離公式求出轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.【詳解】（1）①拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，∵點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于P到點(diǎn)的距離.∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到的距離與P到的距離之和最小.顯然P是的連線與拋物線的交點(diǎn)，最小值為.②同理與P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等.如圖：過(guò)B作準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn).∵，∴.∴的最小值為4.（2）由題意設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，最短距離是.考點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程13．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)位置寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線開(kāi)口向左，焦點(diǎn)在軸上，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：D14．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根據(jù)題意可確定拋物線焦點(diǎn)的位置，繼而求出焦準(zhǔn)距p，即可得答案.【詳解】（1）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可知拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則拋物線焦點(diǎn)可能在y軸正半軸或x軸負(fù)半軸上，則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（3）由于直線與x軸的交點(diǎn)為，由題意可知拋物線焦點(diǎn)為，則，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）由題意拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.15．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【分析】由題意確定焦點(diǎn)位置，設(shè)出方程，根據(jù)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)求得拋物線的焦準(zhǔn)距p，即得答案.【詳解】由于拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，即.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】由題意可知該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以其對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程為為或.故選：D17．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】或【分析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)可能在軸正半軸或軸負(fù)半軸上，分兩種情況討論利用待定系數(shù)法求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)拋物線方程為，，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)拋物線方程為，，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為4，則該拋物線的方程為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法直接求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)拋物線：.由拋物線的定義可得：，解得：.所以拋物線的方程為：.故答案為：.考點(diǎn)三求拋物線的方程求參數(shù)19．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）.A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)拋物線方程及其定義確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由拋物線方程知：，即，根據(jù)拋物線定義知：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故選：B20．（2003·江蘇·高考真題）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拋物線方程標(biāo)準(zhǔn)化后寫(xiě)出拋物線準(zhǔn)線方程即可求得結(jié)果.【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以準(zhǔn)線方程是，所以，解得.故選：B.21．（2023春·云南昭通·高二校考期中）設(shè)第四象限的點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，若，則（

）A．4 B． C． D．32【答案】B【分析】根據(jù)焦半徑公式求的值，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求的值.【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程：，所以，又因?yàn)樵诘谒南笙?，所?故選：.22．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)拋物線旋轉(zhuǎn)規(guī)律可得，其焦點(diǎn)坐標(biāo)從軸負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到軸正半軸，即可得.【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，易知繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后得到，即可得，解得.故選：A23．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，曲線與交于點(diǎn)，軸，則.【答案】【分析】根據(jù)拋物線方程得，根據(jù)軸得，，再代入拋物線方程可求出結(jié)果.【詳解】由得，，故，因?yàn)檩S，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案為：.24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是焦點(diǎn)為F的拋物線C：（）上一點(diǎn)，，，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線定義和題給條件列出關(guān)于p的方程，解之即可求得p的值.【詳解】設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于G，過(guò)F作，垂足為H，∴，，由拋物線的定義知，∵，∴，，∴，解得．故選：D．25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的焦點(diǎn)．若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.【答案】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，可得點(diǎn)，分析可知直線的傾斜角為，利用直線的斜率公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】如下圖所示：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，聯(lián)立可得，即點(diǎn)易知軸，則軸，則，所以，直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，所以，，整理可得，且有，故，等式兩邊平方可得，即，解得（6舍去）故答案為：.考點(diǎn)四拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用26．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國(guó)傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤(rùn)”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點(diǎn)代入求出，即可得到拋物線方程，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，代入方程計(jì)算可得.【詳解】以碗體的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，向上方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點(diǎn)代入，得，解得，則，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，代入到，解得，解得．故選：C27．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)為了增強(qiáng)衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時(shí)衛(wèi)星波束反射聚集點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)【分析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）利用待定系數(shù)法、代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為：，把代入方程中，得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)拋物線的方程為，把代入方程中，得，所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：.28．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，探照燈反射鏡由拋物線的一部分繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣可以保證發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)反射之后平行射出.已知燈口圓的直徑為60cm，燈的深度為40cm.(1)將反射鏡的旋轉(zhuǎn)軸與鏡面的交點(diǎn)稱為反射鏡的頂點(diǎn).光源應(yīng)安置在旋轉(zhuǎn)軸上與頂點(diǎn)相距多遠(yuǎn)的地方？(2)為了使反射的光更亮，增大反射鏡的面積，將燈口圓的直徑增大到66cm，并且保持光源與頂點(diǎn)的距離不變.求探照燈的深度.【答案】(1)【分析】（1）在反射鏡的軸截面上建立平面直角坐標(biāo)系，利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）如圖，在反射鏡的軸截面上建立平面直角坐標(biāo)系，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以旋轉(zhuǎn)軸為x軸（拋物線開(kāi)口方向是x軸的正方向），以1cm為單位長(zhǎng)度，則可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.燈口圓與軸截面在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，解得，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故光源應(yīng)安置在與頂點(diǎn)相距處；（2）由（1）可得拋物線方程為.燈口圓與軸截面在第一象限的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)?故將代入拋物線方程求得.此時(shí)，探照燈的深度為48.4cm.29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過(guò)隧道時(shí)的限制高度為m.【分析】由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，明確點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線方程，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設(shè)，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，某大橋中央橋孔的跨度為20m，拱頂呈拋物線形，拱頂距水面10m，橋墩高出水面4m.現(xiàn)有一貨輪欲通過(guò)此孔，該貨輪水下寬度不超過(guò)18m.目前吃水線上部分中央船體高16m，寬16m.若不考慮水下深度，該貨輪在此狀況下能否通過(guò)橋孔？試說(shuō)明理由.【答案】不能，理由見(jiàn)解析.【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法和代入法進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由題意可知：，把它代入方程中，得，所以方程為，而貨輪寬16m，把代入中，得，點(diǎn)離水面高度為，而吃水線上部分中央船體高16m，所以不能通過(guò)橋孔.考點(diǎn)五求拋物線的軌跡方程31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)軸的距離比到點(diǎn)（2，0）的距離小2，求點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】或【分析】根據(jù)題意列方程可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，兩邊平方得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以點(diǎn)P的軌跡方程為：或.32．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和直線相切，求圓心的軌跡方程，并畫(huà)出圖形.【答案】，圖形見(jiàn)解析.【分析】設(shè)出動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)給定條件列出方程，化簡(jiǎn)并作出圖形作答.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，于是，其中是點(diǎn)到直線的距離，因此，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡方程是，其圖形為拋物線，圖形為：33．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到的距離比M到x軸的距離大2，求M的軌跡方程，并在平面直角坐標(biāo)系中作出軌跡曲線．【答案】，作圖見(jiàn)解析【分析】設(shè)M的坐標(biāo)是，根據(jù)題已列出方程，化簡(jiǎn)可得答案，繼而作出圖象.【詳解】設(shè)M的坐標(biāo)是，則根據(jù)題意可知，化簡(jiǎn)得．當(dāng)時(shí)，方程可變?yōu)?，這表示的是端點(diǎn)在原點(diǎn)方向?yàn)閥軸正方向的射線，且不包括端點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程可變?yōu)椋@表示的是焦點(diǎn)為的拋物線，如圖所示：34．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)A在直線l上，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡方程的形狀．【答案】，軌跡是開(kāi)口向左的拋物線．【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可列方程求解.【詳解】由條件可知，直線l的方程為，因此點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．設(shè)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．因此因?yàn)榈某湟獥l件是，所以，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．從而可以看出，軌跡是開(kāi)口向左的拋物線．35．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，利用，求出、代入曲線方程可得答案.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，，因?yàn)?，所以，，可得，，代入得，整理得，所以?dòng)點(diǎn)Q的