2023-2024學(xué)年山東省聊城市東昌府區(qū)等九校聯(lián)考九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年山東省聊城市東昌府區(qū)等九校聯(lián)考九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題包括12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，那么DE的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，添加下列條件后（）A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．4．（3分）如圖，在⊙O中，∠BOC＝130°上，則∠BAC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．130°5．（3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，那么sinA的值為（）A． B． C． D．6．（3分）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來(lái)大小一樣的圓形玻璃（）A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊7．（3分）如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的坡度為i＝1：2.5，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC，若大廳水平距離AC的長(zhǎng)為7.5m，則兩層之間的高度BC為（）A．3m B．4m C．5m D．6m8．（3分）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，OA：AD＝2：3，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．12 B．18 C．20 D．509．（3分）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，CD＝1，則EB的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）半徑為5的圓內(nèi)有長(zhǎng)為的弦，則此弦所對(duì)的圓周角為（）A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°11．（3分）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，BE＝7，且AB＝CD（）A．2 B． C． D．12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，0），∠BAO＝60°，把Rt△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，則Rt△AO'B'的外接圓圓心坐標(biāo)是（）A． B． C． D．二、填空題（本題共5個(gè)空，每空3分，共15分）13．（3分）在△ABC中，若|sinB﹣|+度．14．（3分）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O相切于點(diǎn)A、B，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，若PA＝12．15．（3分）設(shè)⊙O的半徑為6cm，點(diǎn)P在直線l上，已知OP＝6cm．16．（3分）如圖，海中有一個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，航行12海里到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得小島A在它的北偏東30°方向上海里．17．（3分）如圖，正方形OA1B1C1的邊長(zhǎng)為1，以對(duì)角線OB1為邊作第二個(gè)正方形OB1B2C2，再以對(duì)角線OB2為邊作第三個(gè)正方形OB2B3C3，…，則第二個(gè)正方形OB1B2C2的面積為，第n個(gè)正方形OBnBn?n的面積為（用含n的代數(shù)式表示）．三、解答題（本題共7小題，共69分）18．（8分）計(jì)算（1）；（2）．19．（9分）如圖，AE平分∠BAC，D為AE上一點(diǎn)（1）求證：△ABE∽△ACD；（2）若D為AE中點(diǎn)，BE＝4，求CD的長(zhǎng)．20．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫(huà)出△OAB的一個(gè)位似△OA1B1，使它與△OAB的位似比為2：1；（2）畫(huà)出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△O2A2B2；（3）判斷△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)M，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，求AB的長(zhǎng)．22．（10分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，CD＝123．（12分）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13米的距離（B、F、C在一條直線上）（1）求教學(xué)樓AB的高度；（2）學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A、E之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）24．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若ED，AB的延長(zhǎng)線相交于F，且AE＝5，求⊙O的半徑．

2023-2024學(xué)年山東省聊城市東昌府區(qū)等九校聯(lián)考九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本題包括12小題，每小題3分，共36分）1．【分析】根據(jù)sinA＝代入數(shù)據(jù)直接得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴sinA＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．2．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l7，∴，∵AB＝3，BC＝5，∴，∴DE＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根據(jù)相似三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠6+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，A．∵＝，∴＝，符合相似三角形的判定定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∠BAC＝∠DAE，符合相似三角形的判定定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∠BAC＝∠DAE，即符合相似三角形的判定定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D．＝，∠BAC＝∠DAE，不能推出△ABC∽△ADE；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，能熟記相似三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．4．【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可得出∠BAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠BOC＝130°，點(diǎn)A在上，∴∠BAC＝∠BOC＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．5．【分析】如圖，取格點(diǎn)E．連接BE，CE．構(gòu)造直角三角形求出AC，EC即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，取格點(diǎn)E，CE．在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°＝5，∴sinA＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．6．【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大小．【解答】解：第②塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，就交于了圓心．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．7．【分析】根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比計(jì)算即可．【解答】解：∵自動(dòng)扶梯AB的坡度為i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.2，∵AC＝7.5m，∴BC＝4m，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．8．【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到△ABC與△DEF的位似比為OA：AD，再利用比例性質(zhì)得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，∴，且△ABC∽△DEF，∵OA：AD＝2：3，∴＝＝，又△ABC∽△DEF，∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：7，∵△ABC的周長(zhǎng)為8，∴△DEF的周長(zhǎng)為20．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換，解題關(guān)鍵是掌握位似變換的相關(guān)性質(zhì)，運(yùn)用比例解題．9．【分析】由題意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直徑，易得CO是△ABE的中位線得到EB＝2OC，在Rt△ACO中，設(shè)OA＝x，則OC＝x﹣1，依據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：由題意可知，OC垂直平分AB，∴CO是△ABE的中位線，∴EB＝2OC，在Rt△ACO中，設(shè)OA＝x，∵AO2＝OC8+AC2，∴x2＝（x﹣8）2+25，解得：，即，，∴EB＝2OC＝3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明CO是△ABE的中位線．10．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，由OD⊥AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，由AB的長(zhǎng)求出AD與BD的長(zhǎng)，且得出OD為角平分線，在Rt△AOD中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠AOD的度數(shù)，進(jìn)而確定出∠AOB的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，即可求出弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，∵OD⊥AB，∴D為AB的中點(diǎn)，即AD＝BD＝，在Rt△AOD中，OA＝5，∴sin∠AOD＝＝，又∵∠AOD為銳角，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，又∵圓內(nèi)接四邊形AEBC對(duì)角互補(bǔ)，∴∠AEB＝120°，則此弦所對(duì)的圓周角為60°或120°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．11．【分析】過(guò)O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，連接OC、OB，根據(jù)垂徑定理求出CN＝DN，AM＝BM＝5，求出CN＝DN＝BM＝AM＝5，求出四邊形ONEM是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ON＝OM＝EM＝5﹣3＝2即可．【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，∴CD＝AB＝5+7＝10，過(guò)O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，OB，∵ON⊥CD，OM⊥AB，∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝6，∵ON2＝OC2﹣CN3，OM2＝OB2﹣BM7，OC＝OB，∴ON＝OM，∵CD⊥AB，ON⊥CD，∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，∴四邊形ONEM是正方形，∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理和正方形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．12．【分析】先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OA，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得O′B′＝OB，AO′＝AO，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90°可得O′B′∥x軸，然后求出結(jié)論．【解答】解：∵A（1，0），∴OA＝2，∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴OB＝，∵Rt△AO′B′是由Rt△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度后得到，∴O′B′＝OB＝，AO′＝AO＝7，∵旋轉(zhuǎn)角是90°，∴O′A⊥x軸，∴O′B′∥x軸，∵Rt△AO'B'的外接圓的圓心坐標(biāo)是AB′的中點(diǎn)，∴Rt△AO'B'的外接圓的圓心坐標(biāo)是（1+，）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓和外心，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)﹣旋轉(zhuǎn)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共5個(gè)空，每空3分，共15分）13．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到sinB＝，tanA＝，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠B與∠A的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠C的度數(shù)．【解答】解：∵|sinB﹣|+，∴sinB＝，tanA＝，∴∠B＝30°，∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案為90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，是一道小型綜合題．14．【分析】由PA、PB分別和⊙O相切于點(diǎn)A、B，得PA＝PB＝12；因?yàn)檫^(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，所以DC＝DA，EC＝EB，所以PD+DE+PE＝PA+PB，即可求出△PDE的周長(zhǎng)，得出問(wèn)題的答案．【解答】解：∵PA、PB分別和⊙O相切于點(diǎn)A、B．∴PA＝PB＝12，∵過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，∴DC＝DA，EC＝EB，∴PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝12+12＝24，∴△PDE的周長(zhǎng)為24，故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切長(zhǎng)定理，根據(jù)題中所給的條件及切線長(zhǎng)定理將△PDE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為PA與PB的和是解題的關(guān)鍵．15．【分析】由條件可知點(diǎn)P在⊙O上，則可知直線l與⊙O相切，可求得答案．【解答】解：∵r＝6cm，OP＝6cm，∴r＝OP，∵點(diǎn)P在直線l上，OP＝6cm，∴點(diǎn)O到直線l的距離≤6cm，∴直線l與⊙O相切或相交，故答案為：相切或相交．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，由條件判斷出點(diǎn)P在圓上是解題的關(guān)鍵．16．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由三角形的外角性質(zhì)得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，銳角由銳角三角函數(shù)定義求出AE的長(zhǎng)即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由題意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC?sin∠ACE＝12×＝2，即小島A到航線BC的距離是6海里，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)已知求出前4個(gè)正方形的面積，然后根據(jù)前四個(gè)值總結(jié)出一般性規(guī)律，寫(xiě)出代數(shù)式即可．【解答】解：∵正方形OA1B1C7的邊長(zhǎng)為1，則OB1的長(zhǎng)為，∴正方形OA1B1C5的面積為1＝26，第二個(gè)正方形OB1B2C2的面積為2＝26，第三個(gè)正方形OB2B3C3的面積為4＝28，第四個(gè)正方形OB3B4C6的面積為8＝28，……第n個(gè)正方形OBn﹣1Bn?n的面積為2n﹣6．故答案為：2，2n﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是計(jì)算前幾個(gè)正方形的面積，總結(jié)規(guī)律，然后得出一般性結(jié)論．三、解答題（本題共7小題，共69分）18．【分析】（1）根據(jù)殊角的三角函數(shù)值、負(fù)指數(shù)冪、化簡(jiǎn)二次根式和絕對(duì)值的運(yùn)算法則計(jì)算后，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減即可得解；（2）根據(jù)殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、化簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算后，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減即可得解．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義可得∠BAE＝∠CAD，進(jìn)而可以證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠B＝∠C．∴△ABE∽△ACD；（2）解：∵D為AE中點(diǎn)，BE＝4，∴AE＝2AD，∵△ABE∽△ACD，∴＝，∴＝，∴CD＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△ACD∽△ABC是解題的關(guān)鍵．20．【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解；（3）根據(jù)位似中心的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）如圖，△OA1B1即為所作圖形；（2）如圖，△O3A2B2即為所作圖形；（3）△OA2B1和△OA2B2是位似圖形，點(diǎn)M為所求位似中心，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣位似變換，平移變換，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)∠A＝30°，tanB＝，AC＝6可求出AD與BD的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC?sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝8，在Rt△CDB中，∵tanB＝∴＝∴BD＝4，∴AB＝AD+DB＝9+4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．22．【分析】延長(zhǎng)AD、BC交于E，根據(jù)正切、正弦的概念分別求出BE、CE，計(jì)算即可．【解答】解：延長(zhǎng)AD、BC交于E，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，BE＝