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第二節(jié)基本不等式內(nèi)容索引必備知識·自主學(xué)習(xí)核心考點·精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)·微專題核心素養(yǎng)測評【教材·知識梳理】1.基本不等式條件不等式等號成立重要不等式a,b∈Ra2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號基本不等式a>0,b>0
2.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則:(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y有_____值是2(簡記:____________).(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有_____值是(簡記:____________).最小積定和最小最大和定積最大【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)重要不等式和基本不等式成立的條件、等號成立的條件都是相同的.()(2)a,b都是非負(fù)數(shù),a+b≥2,那么a+b的最小值是2. ()(3)函數(shù)f(x)=x+的最小值是2. ()提示:(1)×.變量范圍不同.(2)×.2是否是最小值既要看ab是否為定值,還要看等號是否成立.(3)×.函數(shù)f(x)=x+的值域為(-∞,-2]∪[2,+∞),沒有最小值.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽視定值拼湊考點一、角度12忽視定值構(gòu)造考點一、角度23忽視整體構(gòu)造考點一、角度4【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修5P91例3改編)當(dāng)x>1時,x+的最小值為
.
【解析】當(dāng)x>1時,x+=x-1++1≥+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時等號成立.答案:32.(必修5P92例4(1)改編)一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,則這個矩形的長為
m,寬為
m時菜園面積最大.
【解析】設(shè)矩形的長為xm,寬為ym,則x+2y=30,所以S=xy=當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,y=時取等號.答案:15
【思想方法】轉(zhuǎn)化與化歸思想在恒成立問題中的應(yīng)用
【典例】設(shè)x>0,y>0,不等式≥0恒成立,則實數(shù)m的最小值是()A.-2 B.-4 C.1 D.2【解析】選B.因為x>0,y>0,不等式≥0恒成立,所以只需m≥因為當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號.所以m≥-4,所以m的最小值為-4.【思想方法指導(dǎo)】恒成立問題一般可以轉(zhuǎn)化為最值問題,通過分離參數(shù)等方法,轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求另一側(cè)函數(shù)式的最大值或最小值.
【遷移應(yīng)用】已知m>0,xy>0,當(dāng)x+y=2時,不等式≥4恒成立,則m的取值范圍是()A.[,+∞) B.[2,+∞)C.(0,] D.(,2]【解析】選B.因為m>0,xy>0,x+y=2,所以
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