非線性回歸模型的線性化

關于非線性回歸模型的線性化在這樣一些非線性關系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個問題。2024/5/202第2頁,共24頁，星期六，2024年，5月3線性模型的含義線性模型的基本形式是:

線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以或之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。（2）參數(shù)的線性因變量Y是各參數(shù)βi的線性函數(shù)。這種模型稱為標準的線性回歸模型．第3頁,共24頁，星期六，2024年，5月非線性回歸模型的分類：1雖然被解釋變量Y與解釋變量之間不存在線性關系，但與未知參數(shù)之間存在著線性關系，這種類型的非線性回歸模型被稱為非標準線性回歸模型。其一般形式為：其中是關于的p個已知的非線性函數(shù)，是（p+1）個未知參數(shù)．4第4頁,共24頁，星期六，2024年，5月2雖然被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間不存在線性關系，但是可以通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為可線性化的非線性回歸模型．如柯布－道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型：

3如果被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間都不存在線性關系，而且也不能通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為不可線性化的非線性回歸模型．5第5頁,共24頁，星期六，2024年，5月4.2線性化方法1、非標準線性回歸模型的線性化方法非標準線性回歸模型的線性化方法是變量替換法。非標準線性回歸模型的一般形式為：2024/5/206第6頁,共24頁，星期六，2024年，5月1、非標準線性回歸模型的線性化方法非標準線性回歸模型的線性化方法是變量替換法。非標準線性回歸模型的一般形式為：

＋u令則可以把原模型轉(zhuǎn)化為一個標準的多元線性回歸模型74.2線性化方法第7頁,共24頁，星期六，2024年，5月下面介紹在經(jīng)濟問題時經(jīng)常遇到的幾種非標準線性回歸模型（1）多項式函數(shù)模型多項式函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型

8第8頁,共24頁，星期六，2024年，5月例：

yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

令x1t=xt，x2t=xt2，x3t=xt3，上式變?yōu)?/p>

yt=b0+b1x1t+b2x2t+b3x3t+ut

這是一個三元線性回歸模型。如經(jīng)濟學中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左圖相似。(b1>0,b2>0,b3>0)

(b1<0,b2>0,b3<0)第9頁,共24頁，星期六，2024年，5月例4.1：總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關系（課本91頁）Ｃ＾t=2434.7+85.7

xt-0.028xt2+0.00004xt3

(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15第10頁,共24頁，星期六，2024年，5月(b1>0,b2>0)

(b1<0,b2<0另一種多項式方程的表達形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut

令x1t=xt，x2t=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1x1t+b2x2t+ut

如經(jīng)濟學中的邊際成本曲線、平均成本曲線與左圖相似。第11頁,共24頁，星期六，2024年，5月（2）雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型12雙曲線函數(shù)還有另一種表達方式，yt=a+b/xt+ut

令xt*=1/xt，得

yt=a+bxt*+ut

上式已變換成線性回歸模型。第12頁,共24頁，星期六，2024年，5月1/yt=a+b/xt

+ut

yt=a+b/xt+ut

（2）雙曲函數(shù)模型第13頁,共24頁，星期六，2024年，5月（3）對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型14(β>0)

(β<0)

第14頁,共24頁，星期六，2024年，5月（4）、S-型曲線模型S-性曲線模型的一般形式為：首先對上式做倒數(shù)變換得：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型15第15頁,共24頁，星期六，2024年，5月2可線性化的非線性回歸模型的線性化方法

下面幾種在研究經(jīng)濟問題時經(jīng)常遇到的可線性化的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)模型

第16頁,共24頁，星期六，2024年，5月指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為對上式兩邊取對數(shù)得到令則可將原模型化為標準的線性回歸模型；2024/5/2017（1）指數(shù)函數(shù)模型第17頁,共24頁，星期六，2024年，5月（2）冪函數(shù)模型（全對數(shù)模型）冪函數(shù)模型的一般形式為：對上式兩邊取對數(shù)得到：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型：2024/5/2018第18頁,共24頁，星期六，2024年，5月對于柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)模型其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動投入量，u是隨機誤差項，A、和為未知參數(shù)。試利用天津市1980年~1996年的有關統(tǒng)計資料，估計天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。19例４.２：天津市GDP函數(shù)(教材第95頁)第19頁,共24頁，星期六，2024年，5月首先建立天津市的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型i=1，2……，17兩邊取對數(shù)得到：令則可將C-D生產(chǎn)函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成標準的二元線性回歸模型20例４.２第20頁,共24頁，星期六，2024年，5月第21頁,共24頁，星期六，2024年，5月例4.2：天津市GDP函數(shù)

=-10.46+1.02X1t+1.47

X2t(-8.1)(34.7)(6.2)R2=0.9986,DW=1.7,N=17