第09講 用待定系數(shù)法確定二次的函數(shù)的表達(dá)式（2大考點(diǎn)）（解析版）

第09講用待定系數(shù)法確定二次的函數(shù)的表達(dá)式（2大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．二．二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共10小題）1．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）某二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），（1，6），且它的形狀與拋物線y＝﹣3x2形狀相同，開口方向相反，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，根據(jù)已知條件可得到，然后解方程組即可．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，根據(jù)題意得，解得．所以二次函數(shù)的解析式為y＝3x2+2x+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．2．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）形狀與開口都與拋物線y＝﹣2x2+3x﹣1相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣5）的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2﹣5．【分析】設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+h）2+k，由條件可以得出a＝﹣2，再將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式就可以求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2﹣5，且該拋物線的形狀與開口方向和拋物線y＝﹣2x2+3x﹣1相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2﹣5，故答案為：y＝﹣2x2﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)頂點(diǎn)式運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，在解答時(shí)運(yùn)用拋物線的性質(zhì)求出a值是關(guān)鍵．3．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）已知拋物線y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象，寫出拋物線上點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得答案；（2）描點(diǎn)畫出圖象，觀察圖象可得B的坐標(biāo)；（3）設(shè)C（m，m2），根據(jù)△ABC的面積等于△OAB面積的一半列方程可解得C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（2，1）代入y＝ax2得：1＝4a，解得a＝，∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y＝x2；（2）畫出函數(shù)圖象如下：A（2，1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，1）；（3）拋物線上存在點(diǎn)C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，理由如下：設(shè)C（m，m2），如圖：∵A（2，1），B（﹣2，1），∴AB＝4，∴S△AOB＝×4×1＝2，∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，∴×4×|m2﹣1|＝×2，解得m＝±或m＝±，∴C的坐標(biāo)為（，）或（﹣，）或（，）或（﹣，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，能畫出二次函數(shù)的圖象．4．（2021秋?建鄴區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)（0，3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上，且當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y有最小值2．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如果兩個(gè)不同的點(diǎn)C（m，6），D（n，6）也在這個(gè)函數(shù)的圖象上，則m+n＝2．（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）由題意可得（1，2）是拋物線的頂點(diǎn)，且過（0，3），可利用頂點(diǎn)式求出關(guān)系式；（2）根據(jù)點(diǎn)C（m，6），D（n，6）坐標(biāo)特點(diǎn)可知這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可求出m+n的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y有最小值2，∴點(diǎn)（1，2）為拋物線的頂點(diǎn)，于是可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y＝a（x﹣1）2+2，把（0，3）代入得，a+2＝3，∴a＝1，∴拋物線的關(guān)系式為y＝（x﹣1）2+2，即y＝x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)C（m，6），D（n，6）都在拋物線上，因此點(diǎn)C、D關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴＝1，∴m+n＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式的方法是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022?宜興市一模）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，并且對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線的表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣1）2【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要寫出一個(gè)符合的即可．【解答】解：符合的表達(dá)式是y＝（x﹣1）2，故答案為：（x﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．6．（2022?通州區(qū)一模）已知拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，8），（4，3）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)（t，y1），（t+1，y2）在該拋物線上，當(dāng)t＞2時(shí)，試比較y1與y2的大?。唬?）點(diǎn)A（m，n）為該拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)2m﹣n取得最大值時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)增減性解答即可；（3）把A的坐標(biāo)代入拋物線可得n＝m2﹣4m+3，再設(shè)w＝2m﹣n，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得答案．【解答】解：（1）把（﹣1，8），（4，3）代入得，，解得．所以，該拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；（2）對(duì)稱軸為x＝﹣＝2，∵a＞0，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大．∵t＜t+1，∴y1＜y2；（3）∵點(diǎn)A（m，n）為該拋物線上一點(diǎn)，∴n＝m2﹣4m+3，設(shè)w＝2m﹣n＝2m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+6m﹣3＝﹣（m﹣3）2+6，∴當(dāng)m＝3時(shí)，w最大，此時(shí)A（3，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?啟東市期末）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直接寫出當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍．【分析】（1）把點(diǎn)（0，6）代入求出c，把點(diǎn)（﹣1，4）和（1，6）代入得出，求出a、b，即可求出答案；（2）求出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），即可得出答案．【解答】解：（1）由表得，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)（0，6），∴c＝6，∵拋物線y＝ax2+bx+6過點(diǎn)（﹣1，4）和（1，6），∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+6；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)（0，6）和（1，6），∴拋物線的對(duì)稱軸方程為直線x＝，∵當(dāng)x＝時(shí)，y＝，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（2）∵對(duì)稱軸是直線x＝，過點(diǎn)（﹣2，0），∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），∴當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍是x＜﹣2或x＞3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．8．（2022?南通一模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣1（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣1），當(dāng)1﹣2m≤x≤1+3m時(shí)，y的最小值為﹣2．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)n＜x＜n+1時(shí)，y的取值范圍是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，列出關(guān)于n的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣1（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣1），∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax﹣1，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．∵當(dāng)1﹣2m≤x≤1+3m時(shí)，y的最小值為﹣2．∴當(dāng)x＝1時(shí)，a﹣2a﹣1＝﹣2，解得：a＝1．∴y＝x2﹣2x﹣1；（2）由（1）知，拋物線為y＝（x﹣1）2﹣2．∵當(dāng)n＜x＜n+1時(shí)，y的取值范圍是2n+1＜y＜2n+4，∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在對(duì)稱軸x＝1的同側(cè)．分兩種情況討論：①n+1＜1，即n＜0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，當(dāng)x＝n時(shí)，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，解得：n＝﹣1或n＝5，當(dāng)x＝n+1時(shí)，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，解得：n＝﹣1或n＝3，∵n＜0，∴n＝﹣1．②n＞1時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝n時(shí)，（n﹣1）2﹣2＝2n+1，整理得：n2﹣4n﹣2＝0．當(dāng)x＝n+1時(shí)，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，整理得：n2﹣2n﹣6＝0．∵n2﹣4n﹣2＝0與n2﹣2n﹣6＝0不一致，∴不合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)n＜x＜n+1時(shí)，y的取值范圍是2n+1＜y＜2n+4時(shí)，n＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)的極值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣m）（用含m的代數(shù)式表示）；若作AC⊥AB，且∠ABC＝∠ABO（C、O在AB的兩側(cè)），設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝+x﹣4．【分析】延長(zhǎng)CA，交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)N，作CM⊥NA于M．利用ASA證明△ABC≌△ABD，得出AC＝AD，利用AAS證明△AMC≌△AND，得出AM＝AN，CM＝DN．根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再證明△ABN∽△CAM，求出CM＝4，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2m，m2﹣m﹣4），即x＝﹣2m，y＝m2﹣m﹣4，將m＝﹣x代入y＝m2﹣m﹣4，即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：延長(zhǎng)CA，交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)N，作CM⊥NA于M，如圖，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC＝AD，同理可得：△AMC≌△AND，∴AM＝AN，CM＝DN．∵拋物線y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A（﹣m，m2﹣m），點(diǎn)B（0，﹣m），∴AM＝AN＝m，ON＝m2﹣m，OB＝m，∴BN＝m+（m2﹣m）＝m2．∵∠ABN＝90°﹣∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠CMA＝90°，∴△ABN∽△CAM，∴，即：，∴CM＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2m，m2﹣m﹣4），∴x＝﹣2m，y＝m2﹣m﹣4，∴m＝﹣x，∴y＝?（﹣x）2﹣（﹣x）﹣4，∴所求函數(shù)的解析式為：y＝+x﹣4．故答案為y＝+x﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確作出輔助線，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y的取值范圍為﹣9≤y＜0；（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB＝21，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5），再將C（0，﹣5）代入求出a的值，即可得到該拋物線的解析式；利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．由S△PAB＝21，可得y＝±7．把y＝7與y＝﹣7分別代入y＝x2﹣4x﹣5，求出x的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5），將C（0，﹣5）代入，得﹣5＝﹣5a，解得a＝1，則該拋物線的解析式為y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5；∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣9）；（2）由圖可得，當(dāng)0＜x＜5時(shí)，﹣9≤y＜0．故答案為﹣9≤y＜0；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．∵A（﹣1，0）、B（5，0），∴AB＝6．∵S△PAB＝21，∴×6×|y|＝21，∴|y|＝7，∴y＝±7．①當(dāng)y＝7時(shí)，x2﹣4x﹣5＝7，解得x1＝﹣2，x2＝6，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，7）或（6，7）；②當(dāng)y＝﹣7時(shí)，x2﹣4x﹣5＝﹣7，解得x1＝+2，x2＝﹣+2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（+2，﹣7）或（﹣+2，﹣7）；綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，7）或（6，7）或（+2，﹣7）或（﹣+2，﹣7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．二．二次函數(shù)的三種形式（共6小題）11．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）把二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1配方成頂點(diǎn)式為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣2【分析】利用配方法把一般式配成頂點(diǎn)式即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．12．（2021秋?江都區(qū)校級(jí)月考）用配方法將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣9化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法進(jìn)而將原式變形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確配方是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?崇川區(qū)月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+4x﹣6，（1）將二次函數(shù)的解析式化為y＝a（x﹣h）2+k的形式．（2）寫出二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）用配方法可將拋物線一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；（2）根據(jù)（1）中的頂點(diǎn)式確定開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；（2）由（1）知，該拋物線解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；a＝2＞0，則二次函數(shù)圖象的開口方向向上．對(duì)稱軸是直線x＝﹣1、頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式和二次函數(shù)的性質(zhì)．二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．14．（2021秋?張家港市月考）用配方法將二次函數(shù)y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝2（x+1）2+3．．【分析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，在加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式．【解答】解：y＝2x2+4x+5＝2（x2+2x+1﹣1）+5＝2（x+1）2+3，故答案為：y＝2（x+1）2+3．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．15．（2021秋?灌云縣校級(jí)月考）把二次函數(shù)y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正確的是（）A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2+4x﹣3＝x2+4x+4﹣7＝（x+2）2﹣7，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（2021秋?灌云縣校級(jí)月考）（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；（2）用配方法求二次函數(shù)y＝x2+2x+3的最小值．【分析】（1）先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上4，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．（2）利用配方法求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，配方得：（x﹣2）2＝5．所以．解得x1＝2+，x2＝2﹣．（2）配方得：y＝（x+1）2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，2），開口向上，則該函數(shù)最小值為2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020·江蘇徐州·九年級(jí)期末）已知拋物線與二次函數(shù)的圖像相同，開口方向相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線與二次函數(shù)的圖像相同，開口方向相同，確定出二次項(xiàng)系數(shù)a的值，然后再通過頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出拋物線的表達(dá)式．【詳解】∵拋物線與二次函數(shù)的圖像相同，開口方向相同，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴拋物線的表達(dá)式為故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的頂點(diǎn)式，掌握二次函數(shù)表達(dá)式中的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇·南通市海門區(qū)能仁中學(xué)九年級(jí)月考）在拋物線y＝x2﹣4-4上的一個(gè)點(diǎn)是（）A．（4，0） B．（2，0） C．（-2，0） D．（0，-4）【答案】D【分析】把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)式，比較縱坐標(biāo)是否相符，逐一檢驗(yàn)．【詳解】解：A、x=4時(shí)，y=x2-4x-4=-4≠0，點(diǎn)（4，0）不在拋物線上；B、x=2時(shí)，y=x2-4x-4=-8≠0，點(diǎn)（2，0）不在拋物線上；C、x=-2時(shí)，y=x2-4x-4=8≠0，點(diǎn)（-2，0）不在拋物線上；D、x=0時(shí)，y=x2-4x-4=-4，點(diǎn)（0，-4）在拋物線上．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．3．（2020·江蘇吳江·九年級(jí)期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，則拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中求出c的值即可.【詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，∴c=1，∴拋物線的解析式為：.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法，需熟練掌握并靈活運(yùn)用．4．（2019·江蘇射陽·二模）加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系p＝at2+bt+c（a、b、c是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為（）A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【答案】B【分析】根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得．【詳解】解：根據(jù)題意，將（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，得：，解得：，即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，當(dāng)t＝﹣＝3.75時(shí)，p取得最大值，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·江蘇惠山·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，則△CEF面積的最小值是（）A．16 B．15 C．12 D．11【答案】B【分析】過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則△FEH∽△EBA，設(shè)AE=x，可得出△CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．【詳解】解：過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴為的中點(diǎn)，∴設(shè)AE=x，∵AB∴HF∴當(dāng)時(shí)，△CEF面積的最小值故選：B．【點(diǎn)睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．建立△CEF面積與AE長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x﹣3﹣2﹣112345y﹣14﹣7﹣22mn﹣7﹣14則m、n的大小關(guān)系為（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．無法確定【答案】A【分析】從表中任意選取兩組已知數(shù)代入二次函數(shù)的解析式求得解析式，再分別代入和，求得與的值便可．【詳解】解：把，和，都代入中，得解得，，二次函數(shù)的解析式為：，把，和，代入得，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)的值，正確解方程組是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇宜興·九年級(jí)期末）如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)A，交過點(diǎn)A且平行于x軸的直線于另一點(diǎn)B，交x軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），對(duì)稱軸為直線，連接BD、AD、BC，若點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段OC上，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．B的坐標(biāo)是（－10，－8） B． C．D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0） D．【答案】D【分析】由拋物線交軸于點(diǎn)A，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段OC上，過點(diǎn)B作BE軸于點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F，由勾股定理可得EF的長(zhǎng)，則可得點(diǎn)F坐標(biāo)，然后由對(duì)稱性可得點(diǎn)D坐標(biāo)，由對(duì)稱軸x=，可得拋物線的表達(dá)式，根據(jù)以上計(jì)算或推理，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】∵拋物線y=ax2+bx-8交y軸于點(diǎn)A∴A(0,-8)對(duì)稱軸為直線，AB∥x軸，B(-10，-8)，故A選項(xiàng)不符合題意；如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F則BE=8，OE=AB=10，點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段OC上，∴BF=AB=10，在Rt△BFE中，由勾股定理得EF=6，OF=OE-EF=10-6=4F(-4，0)，D(m，0)，∵在Rt△ADO中，OA=8，OD=m，由FD=AD則m+4=兩邊平方得：D（6，0）故D選項(xiàng)不符合題意；由對(duì)稱軸x=，過點(diǎn)D（6，0），故B選項(xiàng)不符合題意；故D選項(xiàng)符合題意；故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，及勾股定理，一元一次方程的解法，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．8．（2020·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為1，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把代入，可得到，再利用和建立方程組即可求出二次函數(shù)的解析式，畫出圖像即可求解．【詳解】解：令，則∴∴由題意可得：解得：∴如圖所示：若最小值為最大值為，結(jié)合圖像可得：故答案選：C【點(diǎn)睛】本題主要考察了待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，利用待定系數(shù)法和根的判別式建立方程求出二次函數(shù)解析式作出圖像是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2020·江蘇·蘇州市金閶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校九年級(jí)期中）若二次函數(shù)的的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則_________．【答案】【分析】利用拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式，把點(diǎn)代入即可．【詳解】二次函數(shù)的y=ax2的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,?2)，-2=a，a=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查二次項(xiàng)系數(shù)問題，關(guān)鍵掌握?qǐng)D像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式使問題得以解決．10．（2020·江蘇·濱?？h濱淮農(nóng)場(chǎng)學(xué)校九年級(jí)月考）拋物線與直線交于，則拋物線的解析式______________．【答案】．【分析】由題意，先求出m的值，然后利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式．【詳解】解：根據(jù)題意，把點(diǎn)代入直線，則，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，），把交點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法進(jìn)行解題．11．（2021·江蘇新吳·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則稱點(diǎn)P為“對(duì)等點(diǎn)”．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像上存在兩個(gè)不同的“對(duì)等點(diǎn)”，且這兩個(gè)“對(duì)等點(diǎn)”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值為_________．【答案】【分析】設(shè)這兩個(gè)“對(duì)等點(diǎn)”的坐標(biāo)為和，代入拋物線的解析式，兩式相減，計(jì)算即可求得．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)“對(duì)等點(diǎn)”的坐標(biāo)為和，代入得，兩式相減得，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式．12．（2021·江蘇濱?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線是二次函數(shù)的圖像，那么的值是_________．【答案】-1【分析】根據(jù)圖示知，的圖象經(jīng)過（0，0），所以將點(diǎn)（0，0）代入方程，利用待定系數(shù)法即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖示知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），∴0＝a+1，解得，a＝-1；故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的待定系數(shù)法，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來解答問題．13．（2021·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校二模）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則代數(shù)式的值等于______．【答案】2017【分析】由題意可把點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式得，則有，進(jìn)而整體代入求值即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴；故答案為2017．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·江蘇沛縣·九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…﹣2﹣1012…y…1771﹣11…則當(dāng)x＝4時(shí)，y＝_____．【答案】17【分析】根據(jù)表格中的點(diǎn)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再將x＝4代入所求的解析式中即可求出y的值.【詳解】解：將（0，1）、（1，﹣1）、（2，1）代入中可得方程組，解得，，，∴二次函數(shù)解析式為，將代入函數(shù)解析式中，得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及解析式的求法．15．（2021·江蘇省天一中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有五個(gè)點(diǎn)，將二次函數(shù)的圖象記為W．下列的判斷中①點(diǎn)A一定不在W上；②點(diǎn)B，C，D可以同時(shí)在W上；③點(diǎn)C，E不可能同時(shí)在W上．所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．【答案】①②【分析】由m≠0可得點(diǎn)A不在拋物線上，故可判斷①；先根據(jù)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出函數(shù)關(guān)系式，再把D點(diǎn)坐標(biāo)代入即可判斷點(diǎn)D是否在函數(shù)圖象上；將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，能求出a，m則可判斷出C、E均在函數(shù)圖象上，否則，則不在函數(shù)圖象上.【詳解】由二次函數(shù)知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m），而m≠0，故（2，0）不在函數(shù)圖象上，所以，點(diǎn)A不在函數(shù)圖象上，即點(diǎn)A一定不在W上，故①正確；把C（-2，4），B（0，-2）代入得，，解得，，∴當(dāng)x=4時(shí)，y=-2,所以，點(diǎn)D在函數(shù)的圖象上，因此，點(diǎn)B，C，D可以同時(shí)在W上，故②正確；把C（-2，4），E（7，0）分別代入得，，解得，∴所以，點(diǎn)C，E可能同時(shí)在W上，故③錯(cuò)誤.故答案為：①②.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.16．（2021·江蘇·沭陽紅巖學(xué)校九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)（是常數(shù)，）的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：02606下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為；③若點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是__________________．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①③④【分析】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可直接判斷①；由拋物線的性質(zhì)可判斷②；把點(diǎn)和點(diǎn)代入解析式求出y1、y2即可③；當(dāng)y=﹣5時(shí)，利用一元二次方程的根的判別式即可判斷④，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由拋物線過點(diǎn)（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式是，∴a=1＞0，故①正確；當(dāng)時(shí)，y有最小值，故②錯(cuò)誤；若點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則，，∴，故③正確；當(dāng)y=﹣5時(shí)，方程即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；綜上，正確的結(jié)論是：①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題以表格的形式考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2021·江蘇·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過A（﹣4，0），C（2，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．【答案】（1）；（2）S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為，S的最大值為4．【分析】（1）將將A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，可求出a,b，即可確定解析式；（2）過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，可得，從而得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)得出最大值，即可求解．【詳解】解（1）將A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)時(shí)，，∴，即OB=4，∵點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴，∴，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為，∴S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為，S的最大值為4．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為（1，5）．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接AC、BC，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由條件直接設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出值，從而求出解析式；（2）連接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐標(biāo)，從而求出AB的值，由三角形的面積公式就可以求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，把C（0，4）代入中得：，，拋物線的解析式為：；（2）如圖所示：連接AC、BC，拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，則，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，設(shè)計(jì)了拋物線的頂點(diǎn)式以及三角形面積的求法，熟練掌握待定系數(shù)法和x軸交點(diǎn)的求法是解題的關(guān)鍵．19．（2021·江蘇·高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x軸于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B（2，－4）．（1）求拋物線的解析式；（2）直線y＝kx+m（k＞0）過點(diǎn)B，且與拋物線交于另一點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），交y軸于點(diǎn)C．過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AB，CE．①若k＝1，求△CDE的面積；②求證：CE∥AB．【答案】（1）y=x2-4x；（2）①；②見解析【分析】（1）先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出直線BD的解析式，然后得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求解即可；②過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，則∠AFB=∠COE=90°，由（1）得A（4，0），B（2，-4），則AF=2，BF=4，，聯(lián)立得，，求得，從而可以得到，即可證明△AFB∽△EOC，得到∠FAB=∠OEC，由此即可證明．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x軸于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B（2，－4）∴拋物線的對(duì)稱軸為，∴A（4，0）∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）①當(dāng)k=1時(shí)，直線的解析式為，∵直線經(jīng)過B（2，-4），∴，∴，∴直線的解析式為，∴，解得或（舍去）∴D（3，-3），∴DE=3，OE=3，∴；②如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，∴∠AFB=∠COE=90°，由（1）得A（4，0），B（2，-4），∴F（2，0），∴AF=2，BF=4，∴聯(lián)立得，∴，∴，∴OE=，∵C是直線與y軸的交點(diǎn)，∴C（0，m），∴OC=-m，∴，∴，∴△AFB∽△EOC，∴∠FAB=∠OEC，∴AB//CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．20．（2021·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)和．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．【答案】（1）；（2），直線．【分析】（1）把點(diǎn)和代入中，即可求解；（2）把一般式化為頂點(diǎn)式即可得解；【詳解】解：（1）把點(diǎn)和代入中，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）∵，該拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)頂點(diǎn)式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．21．（2021·江蘇·海安市紫石中學(xué)九年級(jí)月考）小明同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象時(shí)，由于粗心，他算錯(cuò)了一個(gè)y值，列出了下面表格：x…﹣10123…y＝ax2+bx+c…53236…（1）請(qǐng)指出這個(gè)錯(cuò)誤的y值，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（m，y1），N（m+4，y2）在二次函數(shù)y＝a