二次函數(shù)綜合題2021年一模（解析版）

二次函數(shù)綜合題2021年一模1．某電子科技公司研發(fā)生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每件成本為65元，零售商到公司一次性批發(fā)x件時(shí)，批發(fā)單價(jià)為y元，y與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其中批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍．（1）當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）某零售商一次性批發(fā)180件，需要支付多少元？（3）零售商廠一次性批發(fā)件，該公司的利潤(rùn)為w元，問(wèn)：x為何值時(shí)，w最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）16560元；（3），w的值最大，最大值為5250元．【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解析式即可．（2）根據(jù)（1）求出此時(shí)的批發(fā)單價(jià)，再乘以批發(fā)數(shù)量即可．（3）分類(lèi)討論①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)，結(jié)合利潤(rùn)=銷(xiāo)售量×（售價(jià)-成本）列出w與x的函數(shù)關(guān)系即可得出答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象可知該一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)(100，100)和點(diǎn)(300，80)．∴，解得：．故當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為．（2）根據(jù)題意可知一次性批發(fā)180件時(shí)，批發(fā)單價(jià)為元．故共需支付元．（3）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可列等式：，∵x為10的整數(shù)倍．∴當(dāng)x取220或230時(shí)，w有最大值，且最大值為元．②當(dāng)時(shí)，可列等式：，即當(dāng)x=350時(shí)，w有最大值，且最大值為元，綜上，當(dāng)x=350時(shí)，w最大，且為5250．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．掌握利用待定系數(shù)法求解析式以及理解題意利用利潤(rùn)=銷(xiāo)售量×（售價(jià)-成本）列出w與x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．2．長(zhǎng)豐草莓已經(jīng)到了收獲季節(jié)，已知草莓的成本價(jià)為10元/千克，投入市場(chǎng)銷(xiāo)售時(shí)，調(diào)查市場(chǎng)行情，發(fā)現(xiàn)該草莓銷(xiāo)售不會(huì)虧本，且每天銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）若產(chǎn)量足夠，當(dāng)該品種的草莓定價(jià)為多少時(shí)，每天銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）由于種植不當(dāng)，某草莓種植戶的一個(gè)大棚今年共采摘草莓1200千克，該品種草莓的保質(zhì)期為15天，請(qǐng)問(wèn)如何定價(jià)該農(nóng)戶可獲得最大利潤(rùn)，并求出該批全部售出的最大利潤(rùn)．【答案】（1）y＝﹣10x+300，10≤x≤30；（2）該品種的草莓定價(jià)為20元/千克時(shí)，每天銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1000元；（3）定銷(xiāo)售價(jià)為22元時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)14400元【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點(diǎn)式即可得出最大值；（3）求出每天銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)最大時(shí)的銷(xiāo)售量，可得在保質(zhì)期內(nèi)能銷(xiāo)售完這批草莓，可得如何定價(jià)，根據(jù)定價(jià)可得最大利潤(rùn)．【詳解】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，將（10，200）、（15，150）代入，得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+300，由﹣10x+300≥0得x≤30，所以x的取值范圍為10≤x≤30；（2）設(shè)每天銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)為w，則w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10（x﹣20）2+1000，∵10≤x≤30，a＝﹣10＜0，∴當(dāng)x＝20時(shí)，w取得最大值，最大值為1000；答：該品種的草莓定價(jià)為20元/千克時(shí)，每天銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1000元；（3）由（2）知，當(dāng)獲得最大利潤(rùn)時(shí)，定價(jià)為20元/千克，則每天的銷(xiāo)售量為千克，保質(zhì)期為15天，總銷(xiāo)售量為，又，可調(diào)高定價(jià)解得答：定價(jià)22元時(shí)利潤(rùn)最高，最大利潤(rùn)為元．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，據(jù)此列出二次函數(shù)的解析式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)N，頂點(diǎn)為C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作線段平行于y軸，分別交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，作于點(diǎn)G．①若設(shè)，試用含t的式子表示的長(zhǎng)度；②當(dāng)四邊形周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求的面積．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）①求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可表示出DE的長(zhǎng)度；②用含t的式子表示四邊形周長(zhǎng)，得到，則當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值，求出AE，EM的長(zhǎng)度即可計(jì)算出的面積．【詳解】解：（1）∵直線，令得，令得∴，∵將，代入，得，∴∴（2）①∵，∴∵，∴②∵，∴，，∴，，∵，，∴當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值，此時(shí)，點(diǎn)M在直線AB上，得到：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合，根據(jù)圖像正確表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．4．已知二次函數(shù)c和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-1）．（1）分別求m、n和b、c的值；（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上方，寫(xiě)出△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值．【答案】（1），，，；（2）．【分析】（1）將將A（-3，0），B（0，3），代入二次函數(shù)，將A（-3，0），C（0，-1）代入一次函數(shù)，分別求解即可；（2）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）得到△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式是；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作軸，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）得到△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式是；則可知△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式，在利用配方法得到，可以得出面積的最大值．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-1）．∴將A（-3，0），B（0，3），代入二次函數(shù)得：，解之得：，將A（-3，0），C（0，-1）代入一次函數(shù)得：，解之得：，（2）由（1）可知，二次函數(shù)的關(guān)系式是，當(dāng)時(shí)，有，則有：，∴二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：（-3，0），（1，0），∴當(dāng)時(shí)，圖像如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作軸交軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）則由圖像可知，，，，∴∵點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上，∴∴當(dāng)時(shí)，圖像如下圖所示，過(guò)點(diǎn)C作軸，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)，∵點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）則由圖像可知，，，，∴∵點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上，∴綜上所述，△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式是，∵∴△ACP的面積最大值是．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積，最值等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于的二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)，代入解析式中解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式得到對(duì)稱(chēng)軸，從而知在中，當(dāng)x=-2時(shí)，y有最大值，當(dāng)時(shí)，y有最小值，求之相減即可；（3）根據(jù)兩函數(shù)相交可得出x與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)有兩個(gè)交點(diǎn)可得出>0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出a，b的值，然后根據(jù)，整理得出m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵的圖象過(guò)點(diǎn)，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為∴當(dāng)時(shí)，y的最大值為(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值為∴的最大值與最小值的差為；（3）由題意及（1）得整理得即∵一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和，∴化簡(jiǎn)得即解得m≠5∴a，b為方程的兩個(gè)解又∵∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1綜上所述，m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．6．如圖，拋物線y＝﹣（x﹣m）2+3的頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B(m﹣3，0)在x軸的負(fù)半軸上，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)P(h，n)也在第一象限內(nèi)．（1）若交點(diǎn)P(h，n)是AC的中點(diǎn)，且h＝1，求n的值；（2）連接OP，令OCP面積為S，求關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（要求寫(xiě)出m的取值范圍），并求出S的最大值．【答案】（1）2；（2）（＜＜），S取最大值【分析】（1）由題意可知頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，即可求得m＝2，得到解析式，把P（1，n）代入即可求得n；（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D（h，0），由y＝﹣（x﹣m）2+3知A（m，3），且B（m﹣3，0），可知∠ABO＝45°，PD＝BD，即可得出﹣（h﹣m）2+3＝h﹣m+3，解得h＝m（舍去）或h＝m﹣1，然后根據(jù)三角形面積公式得到（1＜m＜3），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得S的最大值．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)P（1，n）是AC的中點(diǎn)，∴m＝2，∴n＝﹣（1﹣2）2+3＝2；（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D（h，0），過(guò)作于由y＝﹣（x﹣m）2+3知A（m，3），且B（m﹣3，0），∠ABO＝45°，PD＝BD，∵PD＝n＝﹣（h﹣m）2+3，BD＝h﹣（m﹣3）＝h﹣m+3，∴﹣（h﹣m）2+3＝h﹣m+3，∴（h﹣m）（h﹣m+1）＝0，∴h＝m（舍去）或h＝m﹣1，∵OC＝OB＝3﹣m，∴，∵3﹣m＞0，h＝m﹣1＞0，∴1＜m＜3，∴當(dāng)m＝2時(shí)，S取最大值．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形與坐標(biāo)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形面積與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．對(duì)于二次函數(shù)和一次函數(shù)，我們把稱(chēng)為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E.現(xiàn)有點(diǎn)A(1,0)和拋物線E上的點(diǎn)B(2,n)，請(qǐng)完成下列任務(wù)：【嘗試】（1）當(dāng)t=2時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上；（3）求n的值.【發(fā)現(xiàn)】通過(guò)（2）和（3）的演算可知，對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo).【應(yīng)用】二次函數(shù)是二次函數(shù)和一次函數(shù)的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說(shuō)明理由.【答案】嘗試：（1）（，-）．（2）點(diǎn)A（1，0）在拋物線l上．（3）n＝-1．發(fā)現(xiàn)：（1，0）、（2，-1）．應(yīng)用：不是,理由見(jiàn)解析【分析】嘗試：（1）將t的值代入“再生二次函數(shù)”中，通過(guò)配方可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線E上直接進(jìn)行驗(yàn)證即可；（3）已知點(diǎn)B在拋物線E上，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．發(fā)現(xiàn)：將拋物線l展開(kāi)，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時(shí)無(wú)論t取何值都不會(huì)對(duì)函數(shù)值產(chǎn)生影響），即可求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．應(yīng)用：將發(fā)現(xiàn)中得到的兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：嘗試：（1）∵將t＝2代入拋物線l中，得：＝2x2?7x+5＝2（x?）2?，∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，-）．（2）∵將x＝1代入y=2x2?7x+5，得y＝0，∴點(diǎn)A（1，0）在拋物線l上．（3）將x＝2代入拋物線y=2x2?7x+5的解析式中，得：n＝-1．發(fā)現(xiàn)：∵將拋物線E的解析式展