第04講 有理數(shù)的乘方（3大考點(diǎn)7種解題方法）（解析版）

第04講有理數(shù)的乘方（3大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級(jí)，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．三．有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便．四．近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對(duì)數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些．五．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．六．科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的0）七．科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．若科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)a×10﹣n，還原為原來(lái)的數(shù)，需要把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)n位得到原數(shù)．（2）把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個(gè)互逆的過(guò)程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法．考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：有理數(shù)的乘方（共3小題）1．（2022春?萊州市期末）小明在計(jì)算某數(shù)的平方時(shí)，將這個(gè)數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個(gè)數(shù)為﹣5或7．【分析】可設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則平方是x2，將這個(gè)數(shù)的平方誤看成它的2倍，根據(jù)“答案少了35”則答案是2x+35，作為相等關(guān)系可得出x2＝2x+35，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意得x2＝2x+35，解得：x＝﹣5，x＝7，故答案為：﹣5或7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方、平方根定義，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）（1）請(qǐng)寫(xiě)出所有平方等于本身的數(shù)．（2）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)平方小于本身的數(shù)；（3）請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)平方大于本身的數(shù)；（4）已知a≠0且a≠1，比較a與a2的大?。痉治觥扛鶕?jù)實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)寫(xiě)出符合要求的數(shù)即可．【解答】解：（1）因?yàn)?2＝0，12＝1，∴平方等于本身的數(shù)只有0和1．（2）＝，∴是符合條件的一個(gè)數(shù)．（3）32＝9＞3，52＝25＞5．∴3和5是符合條件的兩個(gè)數(shù)．（4）a2﹣a＝a（a﹣1），當(dāng)a＜0時(shí)，a﹣1＜0，a2﹣a＞0∴a＜a2．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a﹣1＜0，a2﹣a＜0，∴a＞a2．當(dāng)a＞1時(shí)，a﹣1＞0，a2﹣a＞0，∴a＜a2．綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，a＜a2．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＞a2．當(dāng)a＞1時(shí)，a＜a2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，理解實(shí)數(shù)的性質(zhì)，利用作差法比較大小是求解本題的關(guān)鍵．3．（2022春?廣陵區(qū)期末）如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程組，那么（2x﹣y）2022＝1．【分析】將x﹣2y＝﹣7記作①，x+y＝6記作②，得2x﹣y＝﹣1，再代入求解．【解答】解：將x﹣2y＝﹣7記作①，x+y＝6記作②．②+①，得2x﹣y＝﹣1．∴（2x﹣y）2022＝（﹣1）2022＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方，熟練掌握等式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）4．（2021秋?任丘市期末）已知（a+1）2與|b﹣2|互為相反數(shù)，求（a+b）2019+a99的值．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0，列出方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵（a+1）2與|b﹣2|互為相反數(shù)，∴（a+1）2+|b﹣2|＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴（a+b）2019+a99＝（﹣1+2）2019+（﹣1）99＝1+（﹣1）＝0，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．考點(diǎn)三：有理數(shù)的混合運(yùn)算（共6小題）5．（2022春?欒城區(qū)期末）計(jì)算（﹣2）2021+（﹣2）2022等于（）A．﹣24043 B．﹣2 C．﹣22021 D．22021【分析】原式提取公因式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝（﹣2）2021+（﹣2）2021×（﹣2）＝（﹣2）2021×（1﹣2）＝﹣1×（﹣22021）＝22021．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：32﹣（﹣2）3＝17．【分析】先計(jì)算乘方，再計(jì)算減法即可．【解答】解：原式＝9﹣（﹣8）＝9+8＝17，故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義及減法法則．7．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）x、y表示兩個(gè)有理數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”為：x*y＝3x+my，其中m為有理數(shù)，已知1*2＝5，則m的值為1．【分析】根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算公式結(jié)合1*2＝5列出關(guān)于m的方程，解之即可．【解答】解：根據(jù)題意知3+2m＝5，解得m＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算公式及已知等式列出關(guān)于m的方程．8．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】先計(jì)算乘方和后面的乘法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可．【解答】解：原式＝16÷+﹣＝16×+﹣＝+﹣＝+﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．9．（2021秋?鐵東區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答．【解答】解：＝﹣1+24÷（﹣8）﹣9×＝﹣1+（﹣3）﹣1＝﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?井研縣期末）計(jì)算：（﹣2）2+3×（﹣1）2021﹣|1﹣5|÷2．【分析】先算乘方與絕對(duì)值，再算乘除，最后算加減即可．【解答】解：（﹣2）2+3×（﹣1）2021﹣|1﹣5|÷2＝4+3×（﹣1）﹣4÷2＝4﹣3﹣2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．考點(diǎn)四：近似數(shù)和有效數(shù)字（共2小題）11．（2022?濟(jì)寧）用四舍五入法取近似值，將數(shù)0.0158精確到0.001的結(jié)果是（）A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02【分析】利用四舍五入的方法，從萬(wàn)分位開(kāi)始四舍五入取近似值即可．【解答】解：0.0158≈0.016，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，正確利用四舍五入法取近似值是解題的關(guān)鍵．12．（2022?曲阜市一模）將0.3512精確到百分位是（）A．0.35 B．0.351 C．0.4 D．0.350【分析】百分位是小數(shù)點(diǎn)后第二位，因此小數(shù)點(diǎn)后面只需要保留兩位數(shù)字，用四舍五入法即可．【解答】解：千分位的數(shù)是2，故用四舍五入法精確到百分位的結(jié)果位0.35．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查近似數(shù)．解題的關(guān)鍵是理解百分位的概念，能夠判斷出小數(shù)點(diǎn)后面保留幾位數(shù)字．考點(diǎn)五：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共2小題）13．（2022?日照）全民免費(fèi)接種新冠病毒疫苗是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，通過(guò)接種疫苗，讓更多人獲得免疫力，盡早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全國(guó)31個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗336905萬(wàn)劑次．?dāng)?shù)據(jù)336905萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.336905×1010 B．3.36905×1010 C．3.36905×109 D．33.6905×109【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：336905萬(wàn)＝3369050000＝3.36905×109．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．14．（2022?北海二模）2022年冬奧會(huì)會(huì)徽“冬夢(mèng)”的主題調(diào)為藍(lán)色，寓意著夢(mèng)想與未來(lái)以及冰雪的明亮純潔，據(jù)了解此次冬奧會(huì)的會(huì)徽在網(wǎng)上關(guān)鍵詞的收錄量約為42700000次，用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．42.7×106 B．4.27×106 C．4.27×107 D．4.27×105【分析】把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）使用的是科學(xué)記數(shù)法．用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)n位數(shù)，則10的指數(shù)是n﹣1．一些較大的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一些小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示成a×10﹣n的形式．【解答】解：42700000＝4.27×107．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，其中確定a和n的值是關(guān)鍵，注意1≤a＜10，n＝位數(shù)﹣1．考點(diǎn)六:乘方的應(yīng)用規(guī)律15.（2020秋?盧龍縣期末）一根1m長(zhǎng)的繩子，第一次剪去繩子的23，第二次剪去剩下繩子的2A．(13)99m B．(2【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答即可．【解答過(guò)程】解：∵第一次剪去繩子的23，還剩13第二次剪去剩下繩子的23，還剩13……∴第100次剪去剩下繩子的23后，剩下繩子的長(zhǎng)度為（13）100故選：C．16.（2021春?松北區(qū)期末）某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每半小時(shí)分裂1次，每次一分為二，若這種細(xì)菌由一個(gè)分裂到16個(gè)，那么這個(gè)過(guò)程要經(jīng)過(guò)分鐘．【解題思路】根據(jù)細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每半小時(shí)分裂1次，則n小時(shí)后，分裂到22n個(gè)，從而列方程求解．【解答過(guò)程】解：設(shè)經(jīng)過(guò)n小時(shí)，根據(jù)題意，得22n＝16，2n＝4，n＝2．2小時(shí)＝120分鐘，故答案為：120．17.（2020秋?農(nóng)安縣期中）有一種紙的厚度為0.1毫米，若拿兩張重疊在一起，將它對(duì)折一次后，厚度為22×0.1毫米．（1）對(duì)折2次后，厚度為多少毫米？（2）對(duì)折6次后，厚度為多少毫米？【解題思路】（1）根據(jù)對(duì)折規(guī)律確定出所求厚度即可；（2）根據(jù)對(duì)折規(guī)律確定出所求厚度即可．【解答過(guò)程】解：（1）根據(jù)題意得：2×22×0.1＝0.8（毫米）；（2）根據(jù)題意得：25×22×0.1＝12.8（毫米）．考點(diǎn)七：乘方應(yīng)用中的新定義問(wèn)題18.（2021?永州）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱(chēng)為以10為底的N的對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為lgN，其滿(mǎn)足運(yùn)算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因?yàn)?02＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計(jì)算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（）A．5 B．2 C．1 D．0【解題思路】根據(jù)題意，按照題目的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答過(guò)程】解：（lg2）2+lg2?lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故選：C．19.（2020秋?驛城區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問(wèn)題．如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因?yàn)橹笖?shù)式22＝4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：log24＝2；②因?yàn)橹笖?shù)式42＝16，所以以4為底16的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：log416＝2．（1）請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對(duì)數(shù)式：①62＝36；②43＝64；（2）將下列對(duì)數(shù)式改為指數(shù)式：①log525＝2；②log327＝3；（3）計(jì)算：log232．【解題思路】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）利用對(duì)數(shù)的定義寫(xiě)成冪的形式；（3）先利用乘方的意義得到25＝32，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解．【解答過(guò)程】解：（1）①62＝36；對(duì)數(shù)式記作：log636＝2；②43＝64；對(duì)數(shù)式記作：log464＝3；（2）①log525＝2；指數(shù)式為52＝25，②log327＝3；指數(shù)式為33＝27；（3）∵25＝32，log232＝5．20.（2020秋?寧化縣月考）（1）計(jì)算下面兩組算式：①（3×5）2與32×52；②[（﹣2）×3]2與（﹣2）2×32；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果猜想：（ab）3等于什么？（直接寫(xiě)出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（ab）n等于什么？請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由．（4）利用上述結(jié)論，求（﹣4）2020×0.252021的值．【解題思路】（1）根據(jù)題意計(jì)算出結(jié)果即可（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果寫(xiě)出猜想即可．（3）當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，寫(xiě)出猜想的結(jié)果，然后根據(jù)乘方的意義說(shuō)明理由即可．（4）利用（3）的結(jié)論計(jì)算出值即可．【解答過(guò)程】解：（1）計(jì)算下面兩組算式：①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225．②[（﹣2）×3]2＝36；（﹣2）2×32＝4×9＝36．（2）根據(jù)（1）計(jì)算結(jié)果猜想：（ab）3＝a3b3．（3）當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（ab）n＝anbn．理由：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)．（ab）n=ab?ab?ab?ab即：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（ab）n＝anbn．（4）（﹣4）2020×0.252021＝（﹣4）2020×0.252020×0.25＝（﹣4×0.25）2020×0.25＝0.25．21.（2020秋?聊城期中）概念學(xué)習(xí)：規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n個(gè)a（a≠0）a÷a÷a÷??÷a︸n個(gè)初步探究：直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：2③＝，(-1深入思考：例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=(（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．5⑥＝；(-1（2）算一算：22÷(-1【解題思路】（1）利用新定義求解；（2）先把除方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算．【解答過(guò)程】解：2③=12，（1）5⑥=(15)4，（2）22÷(-=2=4×=7故答案為：12；﹣2；（1）(15)4鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）把3450000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示要領(lǐng)標(biāo)記即可．【詳解】∵3450000用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法表示，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)平方數(shù)以及絕對(duì)值的非負(fù)性計(jì)算求解即可．【詳解】由題意得，，解得，所以，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方數(shù)以及絕對(duì)值的非負(fù)性，涉及乘方的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平方數(shù)以及絕對(duì)值的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式，計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方和有理數(shù)的四則混合運(yùn)算計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：A．原式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．原式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．原式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．原式，故本選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法，含乘方的有理數(shù)計(jì)算，絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．4．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面的式子很有趣：，…，則（）A．225 B．625 C．115 D．100【答案】A【分析】根據(jù)：，…，可以得出一個(gè)相等關(guān)系：，據(jù)此作答即可．【詳解】由題意知，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．5．（2021·安徽合肥38中七年級(jí)月考）從權(quán)威部門(mén)獲悉，中國(guó)海洋面積是289.7萬(wàn)平方公里，數(shù)289.7萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．289.7×104 B．2.897×107 C．2.897×106 D．0.2897×107【答案】C【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：將2897000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.897×106．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．6．（2021·焦作市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）現(xiàn)有以下五個(gè)結(jié)論：①若a與b互為相反數(shù)，則a+b＝0；②倒數(shù)等于其本身的數(shù)是0和1；③任何數(shù)的平方都是正數(shù)；④絕對(duì)值等于其本身的有理數(shù)是零；⑤幾個(gè)有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則乘積為奇數(shù)．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】利用相反數(shù)的定義對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)倒數(shù)的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；利用0的平方為0可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用絕對(duì)值的意義對(duì)④進(jìn)行判斷；利用零乘以任何數(shù)得零對(duì)⑤進(jìn)行判斷．【詳解】解：若a與b互為相反數(shù)，則a+b＝0，所以①的說(shuō)法正確；倒數(shù)等于其本身的數(shù)是﹣1和1，所以②的說(shuō)法錯(cuò)誤；任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以③的說(shuō)法錯(cuò)誤；絕對(duì)值等于其本身的有理數(shù)是正數(shù)和零，所以④的說(shuō)法錯(cuò)誤；幾個(gè)非零的有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則乘積為奇數(shù)，所以⑤的說(shuō)法錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方：求個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．也考查了倒數(shù)、絕對(duì)值、相反數(shù)和有理數(shù)的乘法運(yùn)算．二、填空題7．（2021·上海市市北初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）上海市于2011年6月8日宣布撤銷(xiāo)黃浦區(qū)、盧灣區(qū)建制，設(shè)立新的黃浦區(qū)，新黃浦區(qū)全區(qū)戶(hù)籍人口約有906300人，把這個(gè)人口數(shù)用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示為_(kāi)_______．【答案】．【分析】對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù)．【詳解】解：906300=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．8．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）新疆有三寶，“石油煤炭?jī)珊趯?，棉花遍野品質(zhì)高”，2020年，新疆棉花總產(chǎn)量達(dá)5161000噸，占全國(guó)棉花總產(chǎn)量的87.3%，數(shù)據(jù)5161000用科學(xué)記數(shù)法可表示為_(kāi)______．【答案】5.161×106【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：5161000=5.161×106．故答案為：5.161×106．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．9．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有理數(shù)中，非負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)是________．【答案】4【分析】首先計(jì)算出每個(gè)數(shù)的大小，然后根據(jù)非負(fù)整數(shù)的概念求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以其中的非?fù)整數(shù)是．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的計(jì)算，非負(fù)整數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的計(jì)算方法，非負(fù)整數(shù)的概念．10．（2021·云南昆明市·）下列各數(shù)﹣0.2，|﹣2|，﹣（﹣2），﹣（﹣2）2，（﹣2）3中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有_____個(gè)．【答案】3【分析】先將各數(shù)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：由于|﹣2|＝2，，，，所以﹣0.2，，是負(fù)數(shù)，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．11．（2021·廣東深圳市·）若，那么的值是______．【答案】1【分析】根據(jù)絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性，可求出a、b的值，將其代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵|a+1|+（b-2020）2=0，∴a+1=0，b-2020=0，∴a=-1，b=2020，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了偶次方及絕對(duì)值的非負(fù)性，利用絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇宿遷市·七年級(jí)期中）定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定α?β＝α﹣αβ，則﹣2?3＝___．【答案】6．【分析】根據(jù)α?β＝α﹣αβ，可以求得所求式子的值．【詳解】∵α?β＝α﹣αβ，∴﹣2?3＝（﹣2）﹣（﹣2）3＝（﹣2）﹣（﹣8）＝﹣2+8＝6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．13．（2021·山東濰坊市·七年級(jí)期中）n是正整數(shù)，則（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．【答案】0【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算，然后再合并即可．【詳解】解：（-2）2n+1+2×（-2）2n=-22n+1+22n+1=0．故填0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，掌握負(fù)數(shù)的偶次方為正、奇次方為負(fù)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2021·陜西西安市·七年級(jí)期中）大于的最小整數(shù)是__________．【答案】【分析】首先求出的值，進(jìn)而利用負(fù)數(shù)比較大小的方法得出最大整數(shù)．【詳解】解：∵，∴大于的最小整數(shù)是-3．故答案為：-3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的比較大小以及有理數(shù)的乘方，正確進(jìn)行乘方運(yùn)算是解題關(guān)鍵．15．（2021·江蘇七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于（﹣2）3，指數(shù)是_____，底數(shù)是______，（﹣2）3＝______；對(duì)于﹣42，指數(shù)是_____，底數(shù)是_____，冪是_____．【答案】3-2-824-16【分析】根據(jù)乘方的定義可解決本題．根據(jù)乘方的定義，得（﹣2）3的底數(shù)是﹣2，指數(shù)是3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8．同理，﹣42的底數(shù)是4，指數(shù)是2，冪是﹣16．故答案為：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16．16．（2021·貴州銅仁市·七年級(jí)期末）已知，則______．【答案】-5【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x和y的值，然后代入計(jì)算．【詳解】解：，∴x+1=0，y-2=0，∴x=-1，y=2，∴-1-4=-5，故答案為：-5．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，①非負(fù)數(shù)有最小值是零；②有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍然是非負(fù)數(shù)；③有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．初中范圍內(nèi)的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值，算術(shù)平方根和偶次方．17．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，則a是大于的整數(shù)，b是大于的分?jǐn)?shù)，則的結(jié)果為_(kāi)_____．【答案】64【分析】先根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求出a+b的值，再根據(jù)a是大于的整數(shù)，b是大于的分?jǐn)?shù)求解即可．【詳解】解：左邊，因?yàn)閍是大于的整數(shù)，b是大于的分?jǐn)?shù)，所以，，則．故答案為：64．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘法計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．18．（2021·焦作市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）人民日?qǐng)?bào)社客戶(hù)端推送的一則微博“我們14億人都是護(hù)旗手”，被全國(guó)網(wǎng)民大量轉(zhuǎn)發(fā)．請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示14億為_(kāi)____．【答案】1.4×109【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式．其中，為整數(shù)．【詳解】解：14億＝1400000000＝1.4×109．故答案為：1.4×109．【點(diǎn)睛】此題考查用科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的關(guān)鍵是確定與10的指數(shù)．確定時(shí)，要注意范圍，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1．19．（2021·焦作市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）對(duì)正有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算※如下：a※b＝2a+3b﹣1，則3※（2※1）＝_____．【答案】23【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得