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2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則該直線方程為()A. B.C.或 D.或2.若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是,則直線在軸上的截距是A.1 B.2C.3 D.43.已知弧長為的弧所對的圓心角為,則該弧所在的扇形面積為()A. B.C. D.4.若,,則一定有()A. B.C. D.以上答案都不對5.已知,則的值為()A. B.C.1 D.26.如果直線l,m與平面滿足和,那么必有()A.且 B.且C.且 D.且7.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t()A. B.C. D.8.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為A. B.C. D.9.如圖,在平面四邊形中,,,,將其沿對角線折成四面體,使平面平面,若四面體頂點(diǎn)在同一球面上,則該球的表面積為()A. B.C. D.10.函數(shù),的圖象大致是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若函數(shù)滿足:對任意實(shí)數(shù),有且,當(dāng)時(shí),,則時(shí),________12.在三棱錐中,,,,則三棱錐的外接球的表面積為________.13.已知函數(shù),,則________14.已知為直角三角形的三邊長,為斜邊長,若點(diǎn)在直線上,則的最小值為__________15.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.16.在內(nèi)不等式的解集為__________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知直線經(jīng)過點(diǎn),且與直線垂直.(1)求直線的方程;(2)若直線與平行且點(diǎn)到直線的距離為,求直線的方程.18.已知函數(shù),.(1)若關(guān)于的不等式的解集為,當(dāng)時(shí),求的最小值;(2)若對任意的、,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍19.已知函數(shù)且.(1)若,求的值;(2)若在上的最大值為,求的值.20.如圖所示,一塊形狀為四棱柱的木料,分別為的中點(diǎn).(1)要經(jīng)過和將木料鋸開,在木料上底面內(nèi)應(yīng)怎樣畫線?請說明理由;(2)若底面是邊長為2菱形,,平面,且,求幾何體的體積.21.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn),且滿足(1)求函數(shù)的解析式:(2)求函數(shù)在上最小值;(3)若滿足,則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),函數(shù)有兩個(gè)不相等且正的不動(dòng)點(diǎn),求t的取值范圍
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),滿足題意,方程為,即2x-y=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為,∵直線過(1,2),∴,∴,∴方程,故選:D﹒2、D【解析】∵點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)是B(﹣3,3),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,代入y=kx+b得①直線AB得斜率為,則k=2.代入①得,.∴直線y=kx+b為,解得:y=4.∴直線y=kx+b在y軸上的截距是4.故選D.3、B【解析】先求得扇形的半徑,由此求得扇形面積.【詳解】依題意,扇形的半徑為,所以扇形面積為.故選:B4、D【解析】對于ABC,舉例判斷,【詳解】對于AB,若,則,所以AB錯(cuò)誤,對于C,若,則,所以C錯(cuò)誤,故選:D5、A【解析】先使用誘導(dǎo)公式,將要求的式子進(jìn)行化簡,然后再將帶入即可完成求解.【詳解】由已知使用誘導(dǎo)公式化簡得:,將代入即.故選:A.6、A【解析】根據(jù)題設(shè)線面關(guān)系,結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系.【詳解】由,則;由,則;由上條件,m與可能平行、相交,與有可能平行、相交.綜上,A正確;B,C錯(cuò)誤,m與有可能相交;D錯(cuò)誤,與有可能相交故選:A7、A【解析】的對稱軸為,且,然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈膶ΨQ軸為,且所以若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?,則故選:A8、C【解析】要判斷函數(shù)的零點(diǎn)位置,我們可以根據(jù)零點(diǎn)存在定理,依次判斷區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值,然后根據(jù)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn),則與異號進(jìn)行判斷【詳解】,,故函數(shù)的零點(diǎn)必落在區(qū)間故選C【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn),解答的關(guān)鍵是零點(diǎn)存在定理:即連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上與異號,則函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)9、B【解析】由題意,的中點(diǎn)就是球心,求出球的半徑,即可得到球的表面積【詳解】解:由題意,四面體頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,和都是直角三角形,所以的中點(diǎn)就是球心,所以,球的半徑為:,所以球的表面積為:故選B【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題,考查四面體的外接球的表面積的求法,找出外接球的球心,是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,空間想象能力10、A【解析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性,以及函數(shù)在上的符號,利用排除法進(jìn)行判斷即可【詳解】解:函數(shù),則函數(shù)是奇函數(shù),排除D,當(dāng)時(shí),,則,排除B,C,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷,利用函數(shù)奇偶性和對稱性以及函數(shù)值的對應(yīng)性,結(jié)合排除法是解決本題的關(guān)鍵.難度不大二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】由,可知.所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).,時(shí),..對任意實(shí)數(shù),有,可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱,所以,又.所以.綜上可知,時(shí),.故答案為.點(diǎn)睛:抽象函數(shù)的周期性:(1)若,則函數(shù)周期為T;(2)若,則函數(shù)周期為(3)若,則函數(shù)的周期為;(4)若,則函數(shù)的周期為.12、【解析】構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為4,5,,則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑,即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積【詳解】∵三棱錐P?ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=,∴構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為4,5,,則長方體的對角線長等于三棱錐P?ABC外接球的直徑.設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則,∴三棱錐P?ABC外接球的直徑為,∴三棱錐P?ABC外接球的表面積為.故答案為:26π.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法,屬于難題.要求外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑,求外接球半徑的常見方法有:①若三條棱兩垂直則用(為三棱的長);②若面(),則(為外接圓半徑);③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球;④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.13、【解析】發(fā)現(xiàn),計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,,且,則.故答案為-2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì),由函數(shù)解析式,計(jì)算發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵,屬于中檔題.14、4【解析】∵a,b,c為直角三角形中的三邊長,c為斜邊長,∴c=,又∵點(diǎn)M(m,n)在直線l:ax+by+2c=0上,∴m2+n2表示直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,∴m2+n2的最小值為原點(diǎn)到直線l距離的平方,由點(diǎn)到直線的距離公式可得d==2,∴m2+n2的最小值為d2=4,故答案為4.15、【解析】解不等式即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù),有,解得.因此,函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.16、【解析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,根據(jù)余弦曲線可得,∴.故答案為:三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)直線方程為或.【解析】⑴利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系求出直線的斜率,代入即可得到直線的方程;⑵由已知設(shè)直線的方程為,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得或,即可得到直線的方程解析:(1)由題意直線的斜率為1,所求直線方程為,即.(2)由直線與直線平行,可設(shè)直線的方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式得,即,解得或.∴所求直線方程為或.18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)二次不等式的解集得,再根據(jù)基本不等式求解即可;(2)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立,再令,(),分類討論即可求解.【詳解】(1)由關(guān)于的不等式的解集為,所以知∴又∵,∴,取“”時(shí)∴即的最小值為,取“”時(shí)(2)∵時(shí),,∴根據(jù)題意得:在恒成立記,()①當(dāng)時(shí),由,∴②當(dāng)時(shí),由,∴③當(dāng)時(shí),由,綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題的第二問中關(guān)鍵是采用動(dòng)軸定區(qū)間的方法進(jìn)行求解,即討論對稱軸在定區(qū)間的左右兩側(cè)以及對稱軸在定區(qū)間上的變化情況,從而確定該函數(shù)的最值.19、(1);(2)或.【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷是奇函數(shù),再由即可求解;(2)討論和時(shí),函數(shù)在上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求出最值列方程,解方程可得的值.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱,,所以為奇函數(shù),故.【小問2詳解】,若,則單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,可得為減函數(shù),當(dāng)時(shí),,解得:,符合題意;若,則單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,可得為增函數(shù),當(dāng)時(shí),解得:,符合題意,綜上所述:的值為或.20、(1)見解析(2)3【解析】(1)根據(jù)面面平行的性質(zhì),兩個(gè)平行平面,被第三個(gè)平面所截,截得的交線互相平行,故得到就是應(yīng)畫的線;(2)幾何體是由三棱錐和四棱錐組成,分割成兩個(gè)棱錐求體積即可解析:(1)連接,則就是應(yīng)畫的線;事實(shí)上,連接,在四棱柱中,因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以,,所以平行四邊形,所以,又在四棱柱中,所以,所以點(diǎn)共面,又面,所以就是應(yīng)畫線.(2)幾何體是由三棱錐和四棱錐組成.因?yàn)榈酌媸沁呴L為的菱形,,平面,連接,即為三棱錐的高,又,所以,連接,為四棱錐的高,又,所以,所以幾何體的體積為.21、(1);(2);(3).【解析】(1)根據(jù)f(x)圖像過點(diǎn),且滿足列出關(guān)
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