考研數(shù)學(xué)二(線性方程組)模擬試卷8(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷8(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)Q＝方陣P3×3≠0，而PQ＝O，則【】A．t＝6時，必有秩(P)＝1．B．t＝6時，必有秩(P)＝2．C．t≠6時，必有秩(P)＝1．D．t≠6時，必有秩(P)＝2．正確答案：C涉及知識點：線性方程組2．設(shè)非齊次線性方程組Aχ＝b有兩個不同解，β1和β2其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為α1，α2，c1，c2為任意常數(shù)，則方程組Aχ＝b的通解為【】A．c1α1＋c2(α1＋α2)＋(β1－β2)B．c1α1＋c2(α1－α2)＋(β1＋β2)C．c1α1＋c2(β1＋β2)＋(β1－β2)D．c1α1＋c2(β1－β2)＋(β1＋β2)正確答案：B涉及知識點：線性方程組3．設(shè)α1＝(1，0，2)T及α2＝(0，1，－1)T都是線性方程組Aχ＝0的解，則其系數(shù)矩陣A＝【】A．B．C．D．正確答案：A涉及知識點：線性方程組4．設(shè)A為m×n矩陣，則齊次線性方程組Aχ＝0僅有零解的充要條件是A的【】A．列向量組線性無關(guān)．B．列向量組線性相關(guān)．C．行向量組線性無關(guān)．D．行向量組線性相關(guān)．正確答案：A涉及知識點：線性方程組5．設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A．且存在3階方陣B≠O．使AB＝O，則【】A．λ＝－2且｜B｜＝0．B．λ＝－2且｜B｜≠0．C．λ＝1且｜B｜＝0．D．λ＝1且｜B｜≠0．正確答案：C涉及知識點：線性方程組6．設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)＝m＜n．b為任一m維列向量，則【】A．線性方程組Aχ＝b必?zé)o解．B．線性方程組Aχ＝b必有唯一解．C．線性方程組Aχ＝b必有無窮多解．D．A的任意m個列向量都線性無關(guān)．正確答案：C涉及知識點：線性方程組7．設(shè)矩陣Am×n的秩為r，對于非齊次線性方程組AX＝b，【】A．當(dāng)r＝m時，Aχ＝b必有解．B．當(dāng)r＝n時，Aχ＝b必有唯一解．C．當(dāng)m＝n時，Aχ＝b必有唯一解．D．當(dāng)r＜n時，Aχ＝b必有無窮多解．正確答案：A涉及知識點：線性方程組8．設(shè)α1，α2，α3是4元非齊次線性方程組Aχ＝b的3個解向量，且秩(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程絹Aχ＝b的通解χ＝【】A．B．C．D．正確答案：C涉及知識點：線性方程組9．設(shè)A為n階實矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對于線性方程組(Ⅰ)：Aχ＝0和(Ⅱ)：ATAχ＝0，必有【】A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正確答案：A涉及知識點：線性方程組10．設(shè)有齊次線性方程組Aχ＝0和Bχ＝0，其中A、B均為m×n矩陣，現(xiàn)有4個命題：【】①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，則秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(b)，則Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解；③若Aχ＝0與Bχ＝0同解，則秩(A)＝秩(B)；④若秩(A)＝秩(B)，則Aχ＝0與Bχ＝0同解．以上命題中正確的是A．①②B．①③C．②④D．③④正確答案：B涉及知識點：線性方程組11．設(shè)A是n階矩陣，a是n維列向量，且秩＝秩(A)則線性方程組【】A．Aχ＝α必有無窮多解．B．Aχ＝α必有唯一解．C．＝0僅有零解．D．＝0必有非零解．正確答案：D涉及知識點：線性方程組12．設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Aχ＝b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系【】A．不存在．B．僅含一個非零解向量．C．含有兩個線性無關(guān)的解向量．D．含有三個線性無關(guān)的解向量．正確答案：B涉及知識點：線性方程組填空題13．設(shè)其中a1，a2，a3，a4，a5是兩兩不同的一組常數(shù)，則線性方程組ATX＝B的解是________．正確答案：(1，0，0，0，0)T．涉及知識點：線性方程組14．若方程組有解，則常數(shù)a1，a2，a3，a4應(yīng)滿足的條件是_______．正確答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0．涉及知識點：線性方程組15．若3階非零方陣B的每一列都是方程組的解，則λ＝______，｜B｜＝_______．正確答案：1，0．涉及知識點：線性方程組16．設(shè)n階方陣A的各行元素之和均為零，且秩(A)＝n－1，則齊次線性方程組AX＝0的通解為_______．正確答案：χ＝kξ，其中k作為任意常數(shù)．涉及知識點：線性方程組17．已知線性方程組無解，則a＝_______．正確答案：－1．涉及知識點：線性方程組解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．設(shè)向量α1＝(1，0，2，3)，α2＝(1，1，3，5)，α3＝(1，－1，a＋2，1)，α4＝(1，2，4，a＋8)，β＝(1，1，b＋3，5)．問：a，b為何值時，β不能用α1，α2，α3，α4線性表示；a，b為何值時，β能用α1，α2，α3，α4線性表示，并寫出該表達(dá)式．正確答案：當(dāng)a＝－1，b≠0時，β不能用α1，α2，α3，α4線性表示；當(dāng)a≠－1時，有唯一的線性表示：β＝當(dāng)＝－1，b＝0時，有β＝(－2c1＋c2)α1＋(1＋c1－2c2)α2＋c1α3＋c2α4(c1，c2為任意常數(shù))．涉及知識點：線性方程組19．問a、b為何值時，線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解?并求有無窮多解時的通解．正確答案：當(dāng)a≠1時有唯一解；當(dāng)a＝1且b≠－1時，無解；當(dāng)a＝1且b＝－1時，通解為χ1＝－1＋c1＋c2，χ2＝1－2c1－2c2，χ3＝c1，χ4＝c2(c1，c2為任意常數(shù))．或涉及知識點：線性方程組20．λ為何值時，線性方程組有解?并求其全部解．正確答案：當(dāng)λ≠1時無解；當(dāng)λ＝1時，通解為χ1＝1－c，χ2＝－1＋2c，χ3＝c(c為任意常數(shù))．涉及知識點：線性方程組21．設(shè)4元線性方程組(Ⅰ)為，又已知某齊次線性方程組(Ⅱ)的通解為k1(0，1，1，0)＋k2(－1，2，2，1)．(1)求線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；(2)問線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解，若沒有，則說明理由．正確答案：(1)由系數(shù)矩陣的初等行變換：令χ3＝1，χ4＝0，得ξ1＝(0，0，1，0)T；令χ3＝0，χ4＝1，得ξ2＝(－1，1，0，1)T，則ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一個基礎(chǔ)解系．(2)若χ是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，則存在常數(shù)λ1，λ2，λ3，λ4，使由此得λ1，λ2，λ3，λ4滿足齊次線性方程組解此齊次線性方程組，得其參數(shù)形式的通解為λ1＝C，λ2＝C，λ3＝C，λ4＝C，其中C：為任意常數(shù)．故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解為C(0，0，1，0)T＋C(－1，1，0，1)T＝C(－1，1，1，1)T，其中C為任意非零常數(shù)．涉及知識點：線性方程組22．已知線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．試寫出線性方程組的通解，并說明理由．正確答案：記方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)的系數(shù)矩陣分別為A、B，則可以看出題給的(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系中的n個向量就是的n個行向量的轉(zhuǎn)置向量．因此，由(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系可知ABT＝O轉(zhuǎn)置即得BAT＝0因此可知AT的n個列向量——即A的n個行向量的轉(zhuǎn)置向量都是方程組(Ⅱ)的解向量．由于B的秩為n(B的行向量組線性無關(guān))，故(Ⅱ)的解空間的維數(shù)為2n－r(B)＝2n－n＝n，所以(Ⅱ)的任何n個線性無關(guān)的解就是(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系．已知(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系含n個向量，即2n－r(A)＝n，故r(A)＝n，于是可知A的n個行向量線性無關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系，因此(Ⅱ)的通解為y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T其中c1，c2，…，cn為任意常數(shù)．涉及知識點：線性方程組23．設(shè)α1，α2，…，αs為線性方程組Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系，β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1，其中t1，t2為實常數(shù)．試問t1，t2滿足什么關(guān)系時，β1，β2，…，βs也為Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系．正確答案：由Aχ＝0的解的線性組合都是解知，β1，β2，…，βs都是Aχ＝0的解向量．由于已知Aχ＝0的基礎(chǔ)解系含s個向量，所以，只要β1，β2，…，βs線性無關(guān)，就可作為基礎(chǔ)解系，否則不能作為基礎(chǔ)解系．由于β1，β2，…，βs由線性無關(guān)向量組α1，α2，…，αs線性表示的系數(shù)矩陣為s階方陣故β1，β2，…，βs線性無關(guān)｜P｜＝t1s＋(－1)1+st2s，即當(dāng)t1，t2滿足t1s＋(－1)1+st2s≠0(s為偶數(shù)時，t1≠±t2；s為奇數(shù)時，t1≠－t2)時，β1，β2，…，βs也是Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系．涉及知識點：線性方程組24．設(shè)有3維列向量問λ取何值時(1)β可由α1，α2，α3線性表示，且表達(dá)式唯一?(2)β可由α1，α2，α3線性表示，但表達(dá)式不唯一?(3)β不能由α1，α2，α3線性表示?正確答案：(1)λ≠0且λ≠＝－3；(2)λ＝1；(3)λ＝－3．涉及知識點：線性方程組25．已知線性方程組(1)a、b為何值時，方程組有解?(2)當(dāng)方程組有解時，求出方程組的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系．(3)當(dāng)方程組有解時，求出方程組的全部解．正確答案：(1)a＝1，b＝3；(2)ξ1＝(1，－2，1，0，0)T，ξ2＝(1，－2，0，1，0)T，ξ3＝(5，－6，0，0，1)T；(3)(－2，3，0，0，0)T＋c1(1，－2，1，0，0)T＋c2(1，－2，0，1，0)T＋c3(5，－6，0，0，1)T，其中c1，c2，c3為任意常數(shù)．涉及知識點：線性方程組26．k為何值時，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多組解?在有解情況下，求出其全部解．正確答案：(1)當(dāng)k≠1且k≠4時，有唯一解：(2)當(dāng)k＝－1時，方程組無解；(3)當(dāng)k＝4時，有無窮多解，通解為χ＝(0，4，0)T＋c(－3，－1，1)T．涉及知識點：線性方程組27．設(shè)有線性方程組(1)證明：當(dāng)a1，a2，a3，a4兩兩不等時，此方程組無解；(2)設(shè)a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)時，方程組有解β1＝(－1，1，1)T，β2＝(1，1，－1)T，寫出此方程組的通解．正確答案：(1)此時，增廣矩陣的行列式是一個4階范德蒙行列式，不等于零，故r()＝4，而r()≤3．故方程組無解；(2)r(A)＝r()＝2＜3，方程組有無窮多解．導(dǎo)出組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系含3－r(A)＝3－2＝1個解向量．可取其基礎(chǔ)解系為β1－β2＝(－2，0，－2)T．故此方程組的通解為χ＝β1＋c(β1－β2)＝(－1，1，1)T＋c(－2，0，2)T．涉及知識點：線性方程組28．設(shè)矩陣A、B的行數(shù)都是m．證明：矩陣方程AX＝B有解的充分必要條件是r(A)＝r(AB)．正確答案：設(shè)B、X按列分塊分別為B＝[b1b2…bp]，X＝[χ1χ1…χp]，則AX＝B即[Aχ1Aχ2…Aχp]＝[b1b2…bp]，故AX＝B有解線性方程組Aχj＝(j＝1，2，…，p)有解，由非齊次線性方程組有解的充要條件，即得AN＝B有解r(A)＝r[Abj](j－1，2，…，p)A的列向量組的極大無關(guān)組也是矩陣[Ab](j＝1，2，…，p)的列向量組的極大無關(guān)組r(A)＝r[Ab1b2…bp]＝r(AB)．涉及知識點：線性方程組29．設(shè)矩陣X＝(χij)3×3為未知矩陣，問a、b、c各取何值時，矩陣方程Aχ＝B有解?并在有解時，求出其全部解．正確答案：由下列矩陣的初等行變換：可見，r(A)＝a＝1，b＝2，c＝1，于是由上題知Aχ＝B有解a＝1，b＝2，C＝1．此時，對矩陣D作初等行變換：于是若將矩陣B按列分塊為B＝[b1b2b3]，則得方程組Aχ＝b1的通解為：η1＝(1－l，－l，l)T；方程組Aχ＝b2的通解為：η2＝(2－m，2－m，m)T；方程組Aχ＝b3的通解為：η3＝(1－n，－1－n，n)T，所以，矩陣方程Aχ＝B的通解為χ＝[η1η2η3]＝，其中l(wèi)，m，n為任意常數(shù)．涉及知識點：線性方程組30．已知齊次線性方程組其中ai≠0，試討論a1，a2，…，an和b滿足何種關(guān)系時，(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解．在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系．正確答案：方程組的系數(shù)行列式｜A｜＝bn-1(b＋ai)，故當(dāng)｜A｜≠0，即b≠0且b＋ai≠0時，方程組只有零解．當(dāng)b＝0或b＋ai＝0時，方程組有非零解．當(dāng)b＝0時，設(shè)a1≠0，由系統(tǒng)矩陣A的初等行變換：得方程組的基礎(chǔ)解系可取為：當(dāng)b＋ai＝0時，有b＝－ai≠0，由系數(shù)矩陣的初等行變換：由此得方程組的用自由未知量表示的通解為：χ2＝χ1，χ3＝χ1，…，χn＝χ1(χ1任意)，令自由未知量χ1＝1，則方程組的基礎(chǔ)解系可取為ξ＝(1，1，…，1)T．涉及知識點：線性方程組31．設(shè)A為n階方陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明：正確答案：當(dāng)秩(A)＝n時，｜A*｜＝｜A｜n-1≠0，故秩(A*)＝n．當(dāng)秩(A)＝n－1時，｜A｜＝0且A中至少有某個元素的代數(shù)余子式不等于零，A*≠O，秩(A*)≥1，再由A*A＝｜A｜E＝O知，A的列向量均為方程組A*χ＝0的解向量，n－秩(A*)≥秩(A)＝n－1，秩(A*)≤1，綜合前已證過的秩(A*)≥1，得秩(A*)＝1．若秩(A)≤n－2，則A的每個元素的代數(shù)余子式都為零，A*＝O，秩(A*)＝0．涉及知識點：線性方程組32．設(shè)α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋26)T，β＝(1，3，－3)T，試討論當(dāng)a，b為何值時，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3惟一地線性表示，并求出表示式；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不惟一，并求表示式．正確答案：設(shè)有一組數(shù)χ1，χ2，χ3，使得χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β(*)對方程組(*)的增廣矩陣施行初等行變換：(1)當(dāng)a＝0，b為任意常數(shù)時，有可知r(A)≠r()，故方程組(*)無解，β不能由α1，α2，α3線性表示．(2)當(dāng)a≠0，且a≠b時，r(A)＝r()＝3，方程組(*)有唯一解：，χ3＝0．故此時β可由α1，α2，α3唯一地線性表示為：β＝(3)當(dāng)a＝b≠0時，對施行初等行變換：可知r(A)＝r()＝2，故方程組(*)有無窮多解，通解為，χ3＝c，其中c為任意常數(shù)．故此時β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不唯一，其表示式為β＝α2＋cα3．涉及知識點：線性方程組33．已知(1，－1，1，－1)T是線性方程組的一個解，試求(1)該方程組的全部解，并用對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；(2)該方程組滿足χ2＝χ3的全部分．正確答案：將解向量χ＝(1，－1，1，－1)T代入方程組，得λ＝μ．對方程組的增廣矩陣施行初等行變換：(1)當(dāng)λ≠時，有因r(A)＝r()＝3＜4，故