2014年中考數(shù)學(xué)試題解析分類匯編：解直角三角形

⑶設(shè)cm,當(dāng)∠的變化范圍為60°~120°(包括端點(diǎn)值)時(shí)，求的取值范圍.(結(jié)果精確到0.1cm)(參考數(shù)據(jù)，可使用科學(xué)計(jì)算器)解析：(1)如圖1，∵每個(gè)菱形的邊長都是20㎝，且DE=20㎝,∴CE=DE,∵∠CED=60°，∴⊿CED是等邊三角形，∴CD=20cm,∴C、D兩點(diǎn)之間的距離是20cm.(2)如圖2，作EH⊥CD于H,在⊿CED中，CE=DE，∠CED=120°∴∠ECD=30°,∴EH=CE=10,∴CH=10,∴CD=20,∴點(diǎn)C向左移動(dòng)了(20－20),∴點(diǎn)A向左移動(dòng)了(20－20)×3≈43.9cm.(3)如圖1，當(dāng)∠CED=60°時(shí)，∵ED=EG,∠CGD=30°，在Rt⊿CGD中，，∵CG=40,∴DG=20≈34.6；如圖2，當(dāng)∠CED=120°時(shí)，∠CGD=60°,∴DG=CG=20,∴20≤≤34.6.8．（2014?山東聊城，第21題，8分）如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶稱為我市的一道新景觀．在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀分別對(duì)東岸的觀景臺(tái)D進(jìn)行了測(cè)量，分別測(cè)得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離約為多少米（精確到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．通過解Rt△EAD和Rt△EBD分別求得AE、BE的長度，然后根據(jù)圖示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相關(guān)線段的長度代入列出關(guān)于ED的方程﹣=100．通過解該方程求得ED的長度．解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．則ED=≈≈323（米）．答：觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離約為323米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．主要是正切概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．9.(2014年貴州黔東南)黔東南州22．（10分）某校九年級(jí)某班開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，小明和小軍合作用一副三角板測(cè)量學(xué)校的旗桿，小明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°，小軍站在點(diǎn)D測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為30°，已知小明和小軍相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小軍的身高（CD）1.75米，求旗桿的高EF的長．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析： 過點(diǎn)A作AM⊥EF于M，過點(diǎn)C作CN⊥EF于N，則MN=0.25m．由小明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°，可得△AEM是等腰直角三角形，繼而得出得出AM=ME，設(shè)AM=ME=xm，則CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，繼而可求得旗桿的高EF．解答： 解：過點(diǎn)A作AM⊥EF于M，過點(diǎn)C作CN⊥EF于N，∴MN=0.25m，∵∠EAM=45°，∴AM=ME，設(shè)AM=ME=xm，則CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，∵∠ECN=30°，∴tan∠ECN===，解得：x≈8.8，則EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．答：旗桿的高EF為10.3m．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的問題．該題是一個(gè)比較常規(guī)的解直角三角形問題，建立模型比較簡單，但求解過程中涉及到根式和小數(shù)，算起來麻煩一些．10.（2014?遵義21．（8分））如圖，一樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測(cè)得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．專題：應(yīng)用題．分析：過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)CE=20米，坡度為i=1：，分別求出EF、CF的長度，在Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．解答：解：過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：樓房AB的高為（35+10）米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知識(shí)，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．11.（2014?十堰15．（3分））如圖，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是24海里．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.4）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．分析：作BD⊥AC于點(diǎn)D，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長，然后在直角△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于點(diǎn)D．則∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣35°=45°．在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，則BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了方向角含義，正確求得∠CBD以及∠CAB的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．12.（2014?婁底22．（8分））如圖，有小島A和小島B，輪船以45km/h的速度由C向東航行，在C處測(cè)得A的方位角為北偏東60°，測(cè)得B的方位角為南偏東45°，輪船航行2小時(shí)后到達(dá)小島B處，在B處測(cè)得小島A在小島B的正北方向．求小島A與小島B之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈2.45）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題分析：先過點(diǎn)C作CP⊥AB于P，根據(jù)已知條件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根據(jù)輪船的速度和航行的時(shí)間求出BC的值，在Rt△PCB中，根據(jù)勾股定理求出BP=CP的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AP的值，最后根據(jù)AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：過點(diǎn)C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵輪船的速度是45km/h，輪船航行2小時(shí)，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45，∵∠CAP=60°，∴tan60°==，∴AP=15，∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小島A與小島B之間的距離是100km．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．13.（(2014年河南)19.9分）在中俄“海上聯(lián)合—2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為300．位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B側(cè)得潛艇C的俯角為680.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度.（結(jié)果保留整數(shù)。參考數(shù)據(jù):sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5.≈1.7)解：過點(diǎn)C作CD⊥AB,交BA的延長線于點(diǎn)D.則AD即為潛艇C的下潛深度．根據(jù)題意得∠ACD=300，∠BCD=680．設(shè)AD=x.則BD＝BA十AD=1000＋x.在Rt△ACD中，CD=……………4分在Rt△BCD中，BD=CD·tan688∴1000+x=x·tan688…………………7分∴x=∴潛艇C離開海平面的下潛深度約為308米?！?分14.（2014?江蘇徐州,第25題8分）如圖，輪船從點(diǎn)A處出發(fā)，先航行至位于點(diǎn)A的南偏西15°且點(diǎn)A相距100km的點(diǎn)B處，再航行至位于點(diǎn)A的南偏東75°且與點(diǎn)B相距200km的點(diǎn)C處．（1）求點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離（精確到1km）；（2）確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．分析： （1）作輔助線，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可；（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC為直角三角形；然后根據(jù)方向角的定義，即可確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向．解答： 解：（1）如右圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．由圖得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50．∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC==100≈173（km）．答：點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離約為173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：點(diǎn)C位于點(diǎn)A的南偏東75°方向．點(diǎn)評(píng)： 考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．15.（2014?江蘇鹽城,第23題10分）鹽城電視塔是我市標(biāo)志性建筑之一．如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，老師要求測(cè)電視塔的高度AB．小明在D處用高1.5m的測(cè)角儀CD，測(cè)得電視塔頂端A的仰角為30°，然后向電視塔前進(jìn)224m到達(dá)E處，又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為60°．求電視塔的高度AB．（取1.73，結(jié)果精確到0.1m）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題分析：設(shè)AG=x，分別在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的長度，然后根據(jù)DE=224m，求出x的值，繼而可求出電視塔的高度AB．解答：解：設(shè)AG=x，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣=224，解得：x≈193.8．則AB=193.8+1.5=195.3（米）．答：電視塔的高度AB約為195.3米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解，注意利用兩個(gè)直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的常用方法．16.(2014?年山東東營,第22題8分)熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（≈1.732，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析： 過A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得BD和CD，即可求解．解答： 解：過A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×=120m，BC=40=277.12≈277.1m．答：這棟樓高約為277.1m．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了仰角與俯角的計(jì)算，一般三角形的計(jì)算，常用的方法是利用作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．17．（2014?四川遂寧，第22題，10分）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：sin2A1+sin2B1=1；sin2A2+sin2B2=1；sin2A3+sin2B3=1．（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1．（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．考點(diǎn)：勾股定理；互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系；解直角三角形．分析：（1）由前面的結(jié)論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=，sinB=，則sin2A+sin2B=，再根據(jù)勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；（3）利用關(guān)系式sin2A+sin2B=1，結(jié)合已知條件sinA=，進(jìn)行求解．解答：解：（1）1．（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．∵sinA=，sinB=，∴sin2A+sin2B=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴sinB==．點(diǎn)評(píng)：本題考查了在直角三角形中互為余角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單．18．（2014?四川瀘州，第22題，8分）海中兩個(gè)燈塔A、B，其中B位于A的正東方向上，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)C處測(cè)得燈塔A在西北方向上，燈塔B在北偏東30°方向上，漁船不改變航向繼續(xù)向東航行30海里到達(dá)點(diǎn)D，這是測(cè)得燈塔A在北偏西60°方向上，求燈塔A、B間的距離．（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．分析：根據(jù)方向角的定義以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AN，NC的長進(jìn)而求出BN即可得出答案．解答：解：如圖所示：由題意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，過點(diǎn)A作AF⊥FD，垂足為F，則∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，∴AF=FC=AN=NC，設(shè)AF=FC=x，∴tan30°===，解得：x=15（+1），∵tan30°=，∴=，解得：BN=15+5，∴AB=AN+BN=15（+1）+15+5=30+20，答：燈塔A、B間的距離為（30+20）海里．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方向角以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出NC的長是解題關(guān)鍵．19．（2014?四川內(nèi)江，第20題，9分）“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機(jī)觀測(cè)得在點(diǎn)A俯角為30°方向的F點(diǎn)處有疑似飛機(jī)殘骸的物體（該物體視為靜止）．為了便于觀察，飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)F在點(diǎn)B俯角為45°的方向上，請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)（點(diǎn)A、B、C在同一直線上），豎直高度CF約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：≈1.7）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題分析：易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF長．解答：解：∵∠BDC=90°，∠DBC=45°，∴BC=CF，∵∠CAF=30°，∴tan30°====，解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）．答：豎直高度CF約為1080米．點(diǎn)評(píng)：此題考查了考查俯角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．（2014?四川南充，第22題，8分）馬航MH370失聯(lián)后，我國政府積極參與搜救．某日，我兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到有關(guān)可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處．（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離；（2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時(shí)，30海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)P處．分析： （1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△APE中解出PE即可；（2）在Rt△BPF中，求出BP，分別計(jì)算出兩艘船需要的時(shí)間，即可作出判斷．解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，由題意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，設(shè)PE為x海里，則BE=PE=x海里，∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）海里，在Rt△PAE中，，即：解得：x=60海里，∴可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離為60海里；（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，則BP=PE=60≈84.8海里，B船需要的時(shí)間為：≈2.83小時(shí)，在Rt△PAE中，=sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100海里，∴A船需要的時(shí)間為：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A船先到達(dá)．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解仰角的定義，能利用三角函數(shù)值計(jì)算有關(guān)線段，難度一般．21．（2014?甘肅白銀、臨夏,第22題8分）為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具、圖（1）所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖（2）是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm．點(diǎn)A、C、E在同一條只顯示，且∠CAB=75°．（參考數(shù)據(jù)：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）（1）求車架檔A